Bivecteur
二重向量
Bivector
Bivector
2-διάνυσμα
Bivektor
Bivektor
在幾何中，以一般化的觀點來說，标量是零維的幾何量，向量是一維的有向幾何量，依此類推，我們可以有二維的有向幾何量。中的外代數（exterior algebra）採用了這個一般化的觀點定義了二重向量（bivector）。一個二重向量亦即二維的有向幾何量，它是一個有向面積。 二重向量是使用外積（exterior product）來產生的：令 a 與 b 為向量，它們的外積 a ∧ b 即為一個二重向量，代表由 a 與 b 圍成的平行四邊形面積，其方向為 a 到 b 的時針方向。所以，外積是反對稱的，a ∧ b 的方向恰與 b ∧ a 相反。另外，a ∧ a 是一個「零二重向量」。 有時候，三維的二重向量被拿來當作一種偽向量。
Στα μαθηματικά, δυοδιάνυσμα ή 2-διάνυσμα είναι μια ποσότητα στην εξωτερική άλγεβρα ή στην γεωμετρική άλγεβρα η οποία επεκτείνει την ιδέα των βαθμωτών και των διανυσμάτων. Αν ένα κλιμακωτό θεωρείται ως τάξη μηδενικής ποσότητας,και ένα διάνυσμα είναι τάξη πρώτης ποσότητας,τότε ένα 2-διάνυσμα μπορεί να θεωρηθεί σαν να είναι δεύτερης τάξης. Τα 2-διάνυσμα έχουν εφαρμογές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και της φυσικής. Συσχετίζονται με μιγαδικούς αριθμούς σε δυο διαστάσεις και και τετραδόνια σε τρεις διαστάσεις. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να παράγουν περιστροφές σε κάθε διάσταση, και είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για την ταξινόμηση κάθε περιστροφής. Χρησιμοποιούνται επίσης στη φυσική, δένοντας έναν αριθμό από διαφορετικές (άσχετες) ποσότητες.
En algèbre, le terme de bivecteur désigne un tenseur antisymétrique d'ordre 2, c'est-à-dire une quantité X pouvant s'écrire , où les quantités ωa sont des formes linéaires et le signe désigne le produit extérieur. Un bivecteur peut être vu comme une application linéaire agissant sur les vecteurs et les transformant en formes linéaires. Les coefficients Xab peuvent être vus comme formant une matrice antisymétrique.
In der Mathematik ist ein Bivektor eine Summe von Summanden der Form mit Vektoren . Formal handelt es sich um Elemente der äußeren Algebra eines Vektorraums . Dabei ist
* und insbesondere ,
* ,
* für Körperelemente . Aus für Vektoren und Körperelemente folgt . Falls Vektoren der Standardbasis sind, ist der Vorfaktor der rechten Seite also der Flächeninhalt des von und aufgespannten Parallelogramms. Für kann man jeden Bivektor als mit zerlegen. In höherdimensionalen Vektorräumen benötigt man im Allgemeinen mehrere Summanden.
En matemáticas, un bivector o 2-vector es una cantidad en álgebra exterior o álgebra geométrica que amplía la idea de escalares y vectores. Si un escalar se considera una cantidad de orden cero, y un vector es una cantidad de orden uno, entonces se puede considerar que un bivector es de orden dos. En términos simples, cualquier superficie se asimila al mismo bivector si tiene la misma área, la misma orientación y es paralela al mismo plano (véase la figura).
In mathematics, a bivector or 2-vector is a quantity in exterior algebra or geometric algebra that extends the idea of scalars and vectors. If a scalar is considered a degree-zero quantity, and a vector is a degree-one quantity, then a bivector can be thought of as being of degree two. Bivectors have applications in many areas of mathematics and physics. They are related to complex numbers in two dimensions and to both pseudovectors and quaternions in three dimensions. They can be used to generate rotations in any number of dimensions, and are a useful tool for classifying such rotations. They are also used in physics, tying together a number of otherwise unrelated quantities.
Inom matematiken är en bivektor eller 2-vektor en kvantitet inom yttre algebra eller geometrisk algebra som utökar idén om skalärer och vektorer. Om en skalär anses vara en kvantitet av ordning noll och en vektor av ordning ett, kan en bivektor anses vara av ordning två. Bivektorer har tillämpningar inom många områden av matematik och fysik. De är relaterade till komplexa tal i två dimensioner och till både pseudovektorer och kvaternioner i tre dimensioner. De kan användas för att generera rotationer i valfritt antal dimensioner och är ett användbart verktyg för att klassificera sådana rotationer. De används också inom fysiken och binder samman ett antal orelaterade mängder.
884040
1124681386
n
3
January 2016
+
In der Mathematik ist ein Bivektor eine Summe von Summanden der Form mit Vektoren . Formal handelt es sich um Elemente der äußeren Algebra eines Vektorraums . Dabei ist
* und insbesondere ,
* ,
* für Körperelemente . Aus für Vektoren und Körperelemente folgt . Falls Vektoren der Standardbasis sind, ist der Vorfaktor der rechten Seite also der Flächeninhalt des von und aufgespannten Parallelogramms. Für kann man jeden Bivektor als mit zerlegen. In höherdimensionalen Vektorräumen benötigt man im Allgemeinen mehrere Summanden.
Στα μαθηματικά, δυοδιάνυσμα ή 2-διάνυσμα είναι μια ποσότητα στην εξωτερική άλγεβρα ή στην γεωμετρική άλγεβρα η οποία επεκτείνει την ιδέα των βαθμωτών και των διανυσμάτων. Αν ένα κλιμακωτό θεωρείται ως τάξη μηδενικής ποσότητας,και ένα διάνυσμα είναι τάξη πρώτης ποσότητας,τότε ένα 2-διάνυσμα μπορεί να θεωρηθεί σαν να είναι δεύτερης τάξης. Τα 2-διάνυσμα έχουν εφαρμογές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και της φυσικής. Συσχετίζονται με μιγαδικούς αριθμούς σε δυο διαστάσεις και και τετραδόνια σε τρεις διαστάσεις. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να παράγουν περιστροφές σε κάθε διάσταση, και είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για την ταξινόμηση κάθε περιστροφής. Χρησιμοποιούνται επίσης στη φυσική, δένοντας έναν αριθμό από διαφορετικές (άσχετες) ποσότητες. Τα 2-διανύσματα δημιουργούνται από το εξωτερικό γινόμενο σε διανύσματα: δίνεται δύο διανύσματα α και β, το εξωτερικό τους προϊόν α ∧ β είναι μια bivector, όπως είναι το άθροισμα του κάθε 2-διανύσματα. Όχι όλα τα 2-διανύσματα μπορούν να παραχθούν ως μοναδικό εξωτερικό γινόμενο. Πιο συγκεκριμένα, μια bivector που μπορεί να εκφραστεί ως ένα εξωτερικό γινόμενο ονομάζεται απλή: σε τρεις διαστάσεις όλα τα 2-διανύσματα είναι απλά, αλλά σε περισσότερες διαστάσεις αυτό δεν συμβαίνει. Το εξωτερικό γινόμενο είναι αντισυμμετρικό , έτσι το α ∧ β μια είναι η άρνηση του 2-διάνυσμα α ∧ β, που παράγουν τον αντίθετο προσανατολισμό, καθώς και το α ∧ α είναι το μηδενικό 2-διάνυσμα. Γεωμετρικά, ένα απλό 2-διάνυσμα μπορεί να ερμηνευθεί ως ένα προσανατολισμένο επίπεδο τμήμα, ως διανύσματα μπορούν να θεωρηθούν ως κατευθυνόμενο ευθύγραμμο τμήμα. Η 2-διάνυσμα α ∧ β έχει μέγεθος ίσο με το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου με τα άκρα Α και Β, έχει τη στάση του επιπέδου που εκτείνεται από α και β, και έχει προσανατολισμό τέτοιο ώστε με τη περιστροφή να ευθυγραμμιστούν το α με το β.
En algèbre, le terme de bivecteur désigne un tenseur antisymétrique d'ordre 2, c'est-à-dire une quantité X pouvant s'écrire , où les quantités ωa sont des formes linéaires et le signe désigne le produit extérieur. Un bivecteur peut être vu comme une application linéaire agissant sur les vecteurs et les transformant en formes linéaires. Les coefficients Xab peuvent être vus comme formant une matrice antisymétrique. Les bivecteurs sont abondamment utilisés en relativité générale, où plusieurs tenseurs peuvent être reliés à des bivecteurs. En particulier, le tenseur électromagnétique est un bivecteur, et le tenseur de Weyl peut être vu comme une application agissant sur les bivecteurs. Ce fait est d'ailleurs à l'origine d'une classification des différents espaces en fonction des caractéristiques que présente leur tenseur de Weyl dans ce contexte : il s'agit de la .
Inom matematiken är en bivektor eller 2-vektor en kvantitet inom yttre algebra eller geometrisk algebra som utökar idén om skalärer och vektorer. Om en skalär anses vara en kvantitet av ordning noll och en vektor av ordning ett, kan en bivektor anses vara av ordning två. Bivektorer har tillämpningar inom många områden av matematik och fysik. De är relaterade till komplexa tal i två dimensioner och till både pseudovektorer och kvaternioner i tre dimensioner. De kan användas för att generera rotationer i valfritt antal dimensioner och är ett användbart verktyg för att klassificera sådana rotationer. De används också inom fysiken och binder samman ett antal orelaterade mängder. Bivektorer genereras av den yttre produkten på vektorer: givet två vektorer a och b, är deras yttre produkt en bivektor a ∧ b, liksom varje summa av bivektorer. Inte alla bivektorer kan genereras som en enda yttre produkt. Mer exakt kallas en bivektor som kan uttryckas som en yttre produkt enkel; i upp till tre dimensioner är alla bivektorer enkla, men för högre dimensioner är detta inte fallet. Bivektorn b ∧ a är negationen av bivektorn a ∧ b, vilket ger motsatt orientering och en bivektor a ∧ a är nollbivektorn. Segment av parallella plan med samma orientering och area motsvarar samma bivektor a ∧ b.En enkel bivektor kan geometriskt tolkas som ett orienterat plant areasegment, på liknande sätt som vektorer kan anses vara riktade linjesegment. Bivektorn a ∧ b har en magnitud lika med storleken av det område i parallellogrammen med sidorna a och b, som spänns upp av a och b och vars orientering är den rotation som skulle få a att sammanfalla med b.I lekmannatermer är varje yta samma bivektor om den har samma area, samma orientering och är parallell med ett givet plan.
In mathematics, a bivector or 2-vector is a quantity in exterior algebra or geometric algebra that extends the idea of scalars and vectors. If a scalar is considered a degree-zero quantity, and a vector is a degree-one quantity, then a bivector can be thought of as being of degree two. Bivectors have applications in many areas of mathematics and physics. They are related to complex numbers in two dimensions and to both pseudovectors and quaternions in three dimensions. They can be used to generate rotations in any number of dimensions, and are a useful tool for classifying such rotations. They are also used in physics, tying together a number of otherwise unrelated quantities. Bivectors are generated by the exterior product on vectors: given two vectors a and b, their exterior product a ∧ b is a bivector, as is the sum of any bivectors. Not all bivectors can be generated as a single exterior product. More precisely, a bivector that can be expressed as an exterior product is called simple; in up to three dimensions all bivectors are simple, but in higher dimensions this is not the case. The exterior product of two vectors is alternating, so b ∧ a is the negation of the bivector a ∧ b, producing the opposite orientation, and a ∧ a is the zero bivector. Geometrically, a simple bivector can be interpreted as an oriented plane segment, much as vectors can be thought of as directed line segments. The bivector a ∧ b has a magnitude equal to the area of the parallelogram with edges a and b, has the attitude of the plane spanned by a and b, and has orientation being the sense of the rotation that would align a with b. In layman terms, any surface is the same bivector, if it has the same area, same orientation, and is parallel to the same plane (see figure).
En matemáticas, un bivector o 2-vector es una cantidad en álgebra exterior o álgebra geométrica que amplía la idea de escalares y vectores. Si un escalar se considera una cantidad de orden cero, y un vector es una cantidad de orden uno, entonces se puede considerar que un bivector es de orden dos. Los bivectores tienen aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas y la física. Están relacionados con los números complejos en dos dimensiones y con los vectores axiales y los cuaterniones en tres dimensiones. Se pueden usar para generar rotaciones en cualquier número de dimensiones, y son una herramienta útil para clasificar tales rotaciones. También se utilizan en física, uniendo varias cantidades no relacionables de otra manera. El producto exterior aplicado sobre los vectores genera bivectores: dados dos vectores a y b, su producto exterior a ∧ b es un bivector, al igual que la suma de cualquier bivector. No todos los bivectores se pueden generar como un solo producto exterior. Más precisamente, un bivector que se puede expresar como un producto exterior se llama simple. En hasta tres dimensiones, todos los bivectores son simples, pero en dimensiones superiores no es así. El producto exterior de dos vectores es anticonmutativo y , por lo que b ∧ a es el opuesto del bivector a ∧ b, que produce la orientación opuesta, y a ∧ a es el bivector cero. Geométricamente, un bivector simple se puede interpretar como un sector plano orientado, de forma análoga a pensar en un vector como un segmento con una dirección dada. El bivector a ∧ b tiene una magnitud igual al área del paralelogramo con lados a y b; tiene la colocación del plano que abarca a y b; y tiene el sentido de la rotación que alinearía a con b. En términos simples, cualquier superficie se asimila al mismo bivector si tiene la misma área, la misma orientación y es paralela al mismo plano (véase la figura).
在幾何中，以一般化的觀點來說，标量是零維的幾何量，向量是一維的有向幾何量，依此類推，我們可以有二維的有向幾何量。中的外代數（exterior algebra）採用了這個一般化的觀點定義了二重向量（bivector）。一個二重向量亦即二維的有向幾何量，它是一個有向面積。 二重向量是使用外積（exterior product）來產生的：令 a 與 b 為向量，它們的外積 a ∧ b 即為一個二重向量，代表由 a 與 b 圍成的平行四邊形面積，其方向為 a 到 b 的時針方向。所以，外積是反對稱的，a ∧ b 的方向恰與 b ∧ a 相反。另外，a ∧ a 是一個「零二重向量」。 有時候，三維的二重向量被拿來當作一種偽向量。
A ∧ B = 0, you can't invert it!
1
64846