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dbr:Projective_frame rdfs:label "Riferimento proiettivo"@it ,
"Rep\u00E8re projectif"@fr ,
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rdfs:comment "En g\u00E9om\u00E9trie projective, un rep\u00E8re projectif d'un espace projectif de dimension n est la donn\u00E9e ordonn\u00E9e de n + 2 points, soit un (n + 2)-uplet de points de l'espace, tels que n + 1 points quelconques choisis parmi ces n + 2 points ne soient jamais inclus dans un sous-espace projectif propre de l'espace de d\u00E9part (ou de fa\u00E7on \u00E9quivalente dans un hyperplan projectif de l'espace de d\u00E9part). Ainsi : \n* n vecteurs pour une base d'un espace vectoriel ; \n* n + 1 points pour un rep\u00E8re affine ; \n* n + 2 points pour un rep\u00E8re projectif. \n* Portail de la g\u00E9om\u00E9trie"@fr ,
"In mathematics, and more specifically in projective geometry, a projective frame or projective basis is a tuple of points in a projective space that can be used for defining homogeneous coordinates in this space. More precisely, in a projective space of dimension n, a projective frame is a n + 2-tuple of points such that no hyperplane contains n + 1 of them. A projective frame is sometimes called a simplex, although a simplex in a space of dimension n has at most n + 1 vertices."@en ,
"Eine projektive Basis ist in der Mathematik eine Menge von Punkten eines -dimensionalen projektiven Raums, von denen je projektiv unabh\u00E4ngig sind. Projektive Basen werden in der projektiven Geometrie zur Charakterisierung von Projektivit\u00E4ten und zur Definition projektiver Koordinaten verwendet."@de ,
"In matematica, e pi\u00F9 precisamente in geometria proiettiva, un riferimento proiettivo \u00E8 una struttura, simile a quella di base per gli spazi vettoriali, che permette di assegnare ad ogni punto di uno spazio proiettivo delle coordinate omogenee."@it .
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dbo:abstract "In mathematics, and more specifically in projective geometry, a projective frame or projective basis is a tuple of points in a projective space that can be used for defining homogeneous coordinates in this space. More precisely, in a projective space of dimension n, a projective frame is a n + 2-tuple of points such that no hyperplane contains n + 1 of them. A projective frame is sometimes called a simplex, although a simplex in a space of dimension n has at most n + 1 vertices. In this article, only projective spaces over a field K are considered, although most results can be generalized to projective spaces over a division ring. Let P(V) be a projective space of dimension n, where V is a K-vector space of dimension n + 1. Let be the canonical projection that maps a nonzero vector v to the corresponding point of P(V), which is the vector line that contains v. Every frame of P(V) can be written as for some vectors of V. The definition implies the existence of nonzero elements of K such that . Replacing by for and by , one gets the following characterization of a frame: n + 2 points of P(V) form a frame if and only if they are the image by p of a basis of V and the sum of its elements. Moreover, two bases define the same frame in this way, if and only if the elements of the second one are the products of the elements of the first one by a fixed nonzero element of K. As homographies of P(V) are induced by linear endomorphisms of V, it follows that, given two frames, there is exactly one homography mapping the first one onto the second one. In particular, the only homography fixing the points of a frame is the identity map. This result is much more difficult in synthetic geometry (where projective spaces are defined through axioms). It is sometimes called the first fundamental theorem of projective geometry. Every frame can be written as where is basis of V. The projective coordinates or homogeneous coordinates of a point p(v) over this frame are the coordinates of the vector v on the basis If one changes the vectors representing the point p(v) and the frame elements, the coordinates are multiplied by a fixed nonzero scalar. Commonly, the projective space Pn(K) = P(Kn+1) is considered. It has a canonical frame consisting of the image by p of the canonical basis of Kn+1 (consisting of the elements having only one nonzero entry, which is equal to 1), and (1, 1, ..., 1). On this basis, the homogeneous coordinates of p(v) are simply the entries (coefficients) of v. Given another projective space P(V) of the same dimension n, and a frame F of it, there is exactly one homography h mapping F onto the canonical frame of P(Kn+1). The projective coordinates of a point a on the frame F are the homogeneous coordinates of h(a) on the canonical frame of Pn(K). In the case of a projective line, a frame consists of three distinct points. If P1(K) is identified with K with a point at infinity \u221E added, then its canonical frame is (\u221E, 0, 1). Given any frame (a0, a1, a2), the projective coordinates of a point a \u2260 a0 are (r, 1), where r is the cross-ratio (a, a2; a1, a0). If a = a0, the cross ratio is the infinity, and the projective coordinates are (1,0)."@en ,
"Eine projektive Basis ist in der Mathematik eine Menge von Punkten eines -dimensionalen projektiven Raums, von denen je projektiv unabh\u00E4ngig sind. Projektive Basen werden in der projektiven Geometrie zur Charakterisierung von Projektivit\u00E4ten und zur Definition projektiver Koordinaten verwendet."@de ,
"En g\u00E9om\u00E9trie projective, un rep\u00E8re projectif d'un espace projectif de dimension n est la donn\u00E9e ordonn\u00E9e de n + 2 points, soit un (n + 2)-uplet de points de l'espace, tels que n + 1 points quelconques choisis parmi ces n + 2 points ne soient jamais inclus dans un sous-espace projectif propre de l'espace de d\u00E9part (ou de fa\u00E7on \u00E9quivalente dans un hyperplan projectif de l'espace de d\u00E9part). Ainsi : \n* un rep\u00E8re projectif d'une droite projective est donn\u00E9 par 3 points distincts de la droite ; \n* un rep\u00E8re projectif d'un plan projectif est un quadruplet de points du plan, tels que 3 parmi ceux-ci ne sont pas align\u00E9s ; \n* etc. Les rep\u00E8res projectifs jouent pour les espaces projectifs un r\u00F4le analogue \u00E0 celui des bases pour les espaces vectoriels, et des rep\u00E8res affines pour les espaces affines, c'est-\u00E0-dire qu'elle permettent de caract\u00E9riser les applications associ\u00E9es, en l'occurrence les applications projectives. En dimension finie n il faut : \n* n vecteurs pour une base d'un espace vectoriel ; \n* n + 1 points pour un rep\u00E8re affine ; \n* n + 2 points pour un rep\u00E8re projectif. Une application projective est d\u00E9finie et enti\u00E8rement d\u00E9termin\u00E9e par les images des points d'un rep\u00E8re projectif. Un rep\u00E8re projectif d'un espace projectif de dimension n sur un corps K permet de faire correspondre \u00E0 ce dernier l'espace projectif d\u00E9fini sur l'espace vectoriel Kn+1 (par une transformation projective ou homographie) et donc de d\u00E9finir un syst\u00E8me de coordonn\u00E9es homog\u00E8nes (n + 1 coordonn\u00E9es) sur l'espace d'origine. Intuitivement, on veut rep\u00E9rer un point de l'espace projectif en se donnant un point de l'espace vectoriel de dimension associ\u00E9. On veut donc choisir une base de cet espace, et consid\u00E9rer les points comme un rep\u00E8re de l'espace projectif. Ayant les coordonn\u00E9es dans ce rep\u00E8re, on consid\u00E8rerait alors le vecteur qui d\u00E9finit un unique point dans l'espace projectif. L'erreur de l'argument ci-dessus est que lorsque l'on ne conna\u00EEt que le rep\u00E8re projectif , on ne peut pas retrouver les vecteurs qui l'avaient d\u00E9fini, mais seulement des vecteurs de la forme . Si l'on consid\u00E8re le nouveau vecteur , celui-ci n'a aucune raison d'\u00EAtre colin\u00E9aire \u00E0 , et donc de donner le m\u00EAme point de l'espace projectif apr\u00E8s projection, sauf si tous les sont \u00E9gaux. L'id\u00E9e est donc alors d'adjoindre aux points une contrainte, qui peut \u00E9galement se voir comme un point de l'espace projectif, obligeant tout choix de vecteurs comme ci-dessus \u00E0 v\u00E9rifier . Pour cela, on impose une contrainte sur la somme qui doit \u00EAtre colin\u00E9aire \u00E0 la somme choisie initialement. Il est alors facile de voir que cela implique la contrainte recherch\u00E9e. Il suffit donc d'adjoindre aux le point , et alors tout choix de v\u00E9rifiant permet de retrouver le point de l'espace projectif correspondant aux coordonn\u00E9es comme indiqu\u00E9 ci-dessus. \n* Portail de la g\u00E9om\u00E9trie"@fr ,
"In matematica, e pi\u00F9 precisamente in geometria proiettiva, un riferimento proiettivo \u00E8 una struttura, simile a quella di base per gli spazi vettoriali, che permette di assegnare ad ogni punto di uno spazio proiettivo delle coordinate omogenee."@it ;
dbo:wikiPageWikiLink dbr:Mathematics ,
dbr:Simplex ,
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dbc:Projective_geometry ,
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dbr:Projective_frame dbp:wikiPageUsesTemplate dbt:Short_description ,
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