| dbo:abstract
|
- La geometria hiperbòlica (o Lobatxevskiana ) és un model de geometria que satisfà només els quatre primers postulats de la geometria euclidiana. Encara que és similar en molts aspectes i molts dels teoremes de la geometria euclidiana continuen sent vàlids en geometria hiperbòlica, no se satisfà el cinquè postulat d'Euclides sobre les paral·leles. Igual que la geometria euclidiana i la geometria el·líptica, la geometria hiperbòlica és un model de curvatura constant:
* La geometria euclidiana satisfà els cinc postulats d'Euclides i té curvatura zero.
* La geometria hiperbòlica satisfà només els quatre primers postulats d'Euclides i té curvatura negativa.
* La geometria el·líptica satisfà només els quatre primers postulats d'Euclides i té curvatura positiva. (ca)
- V matematice je hyperbolická geometrie (nebo také Lobačevského geometrie) neeukleidovskou geometrií, což znamená, že nesplňuje pátý Eukleidův postulát (o rovnoběžkách). Ten říká, že v dvourozměrném prostoru pro přímku l a bod P ležící mimo ni existuje právě jedna přímka, která bodem P prochází a zároveň neprotíná l; neboli je rovnoběžná s l. V hyperbolické geometrii takové přímky existují alespoň dvě, takže tento postulát zde neplatí. Hyperbolická geometrie se dá zkonstruovat axiomaticky, ale je také možné udělat její model zadáním jisté metriky na hladké varietě. Existence hyperbolické geometrie implikuje nezávislost postulátu o rovnoběžkách na ostatních Eukleidových postulátech. Lokálně se dá hyperbolická geometrie modelovat na části plochy, která má zápornou , např. jednodílného hyperboloidu nebo . Charakteristickou vlastností hyperbolické geometrie je, že součet vnitřních úhlů každého trojúhelníku v této geometrii je menší než 180°. Součet vnitřních úhlů trojúhelníka může být libovolně malý. (cs)
- الهندسة الزائدية أو الهندسة القطعية الزائدية (والتي تسمى أيضًا هندسة لوباتشيفسكي أو هندسة بولياي - لوباتشيفسكي) هي هندسة لاإقليدية، تقابل مسلمة التوازي في الهندسة الإقليدية. ففي مسلمة التوازي في الهندسة الإقليدية، في أي مستوى ثنائي الأبعاد، من أي نقطة خارج مستقيم ما، يمر مستقيم وحيد بتلك النقطة ولا يقطع المستقيم الأول (أي يوازي المستقيم المذكور). أما في الهندسة الزائدية، فهناك ما لا يقل عن خطين آخرين يمران بتلك النقطة خارج المستقيم ولا تقطعانه، وبالتالي فإن مسلمة التوازي في هذه الحالة يمكن تطبيقها. هناك نماذج تم إنشاؤها ضمن الهندسة الإقليدية، تتفق مع مسلمات الهندسة الزائدية، مما يثبت أن مسلمة التوازي تختلف عن غيرها من مسلمات إقليدس. خاصية مميزة للهندسة الزائدية هو أن زوايا المثلث في الهندسة الزائدية يمكن أن تكون أقل من 180°. (ar)
- Die hyperbolische Geometrie (auch Lobatschewskische Geometrie oder Lobatschewski-Geometrie genannt) ist ein Beispiel für eine nichteuklidische Geometrie, das man erhält, wenn man zu den Axiomen der absoluten Geometrie anstelle des Parallelenaxioms, das die euklidischen Geometrien kennzeichnet, das diesem widersprechende hyperbolische Axiom hinzunimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) nicht wie in der euklidischen Geometrie nur genau eine, sondern mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel sind. Dass zwei Geraden „parallel“ zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie überall den gleichen Abstand haben (h und i haben nur einen gemeinsamen Punkt P). Es lässt sich zeigen, dass es dann zu einer beliebigen Geraden g durch jeden Punkt außerhalb von g unendlich viele Nichtschneidende („Parallelen“) gibt, die in der durch den Punkt und die Gerade bestimmten Ebene liegen. Zwei davon sind in einer Grenzlage und heißen grenzparallel (auch: horoparallel) zur Geraden, während die restlichen Geraden überparallel (auch: hyperparallel) genannt werden. (de)
- Στα μαθηματικά, η υπερβολική γεωμετρία (επίσης ονομάζεται γεωμετρία του Λομπατσέφσκι (Лобаче́вский)) είναι μια μη ευκλείδεια γεωμετρία, δηλαδή μια γεωμετρία στην οποία ορισμένα από τα αξιώματα της ευκλείδειας γεωμετρίας δεν ισχύουν. Συγκεκριμένα, στην υπερβολική γεωμετρία δεν ισχύει το αξίωμα των παραλλήλων. Το αξίωμα των παραλλήλων της δισδιάστατης ευκλείδειας γεωμετρίας αντιστοιχεί στην πρόταση ότι, για οποιαδήποτε (ευθεία) γραμμή I και ένα σημείο P που δεν ανήκει στην I υπάρχει ακριβώς μία και μόνο (ευθεία) γραμμή που διέρχεται από το P και δεν τέμνει την I, δηλαδή είναι παράλληλη στην I. Στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν τουλάχιστον δύο ξεχωριστές γραμμές που διέρχονται από το P και οι οποίες δεν τέμνουν την I, και το αξίωμα των παραλλήλων ευθειών είναι για την υπερβολική γεωμετρία εσφαλμένο. Έχουν κατασκευαστεί μοντέλα εντός της ευκλείδειας που υπακούν στα αξιώματα της υπερβολικής γεωμετρίας, το οποίο δείχνει ότι το αξίωμα των παραλλήλων είναι ανεξάρτητο από τα άλλα αξιώματα του Ευκλείδη. Δεν υπάρχει ακριβές υπερβολικό αντίστοιχο των ευκλείδειων παράλληλων ευθειών, με αποτέλεσμα η χρήση του όρου παράλληλο να ποικίλει ανάμεσα στους συγγραφείς. Σ ’αυτό το άρθρο, δύο γραμμές που δεν τέμνονται όσο κι αν τις επεκτείνουμε ονομάζονται ασυμπτωτικές και δύο γραμμές που έχουν μία κοινή κάθετο ονομάζονται υπερπαράλληλες: η απλή λέξη παράλληλη μπορεί να αναφέρεται και στα δύο είδη γραμμών. (el)
- En matematiko, hiperbola geometrio (nomata ankaŭ geometrio de Lobaĉevskij aŭ geometrio de Bolyai–Lobaĉevskij) estas ne-Eŭklida geometrio. La paralela postulato de Eŭklida geometrio estas anstataŭata jene: Por ĉiu havigita rekto R kaj punkto P ne sur R, en la ebeno enhavanta kaj la rekto R kaj la punkto P estas almenaŭ du diferencaj rektoj tra P kiuj ne intersekcias R.(komparu tion kun la aksiomo de Playfair, nome moderna versio de la paralela postulato de Eŭklido) Hiperbola geometrio de ebenoj, estas ankaŭ la geometrio de selaj kaj pseŭdosferaj surfacoj, nome surfacoj kun konstanta negativa Gauss-a kurbeco. Moderna uzado de hiperbola geometrio estas en la teorio de speciala relativeco, partikulare de la Spaco de Minkowski kaj de girovektora spaco. Kiam geometriistoj por la unua fojo konstatis, ke ili estas laboranta pri io disde la normiga Eŭklida geometrio, ili priskribis sian geometrion laŭ tre diferencaj nomoj; Felix Klein finfine havigis al la fako la nomon hiperbola geometrio por inkludi ĝin en la nune rare uzata sekvenco elipsa geometrio (sfera geometrio), parabola geometrio (Eŭklida geometrio), kaj hiperbola geometrio.En iama Sovetunio, ĝi estas ofte nomata geometrio de Lobaĉevskij, nome laŭ unu el ties malkovrintoj, nome la rusa geometro Nikolaj Ivanoviĉ Lobaĉevskij. Hiperbola geometrio povas esti komprenita al 3-a kaj pliaj dimensioj; vidu koncepton hiperbola spaco por pli ol tri kaj pli altaj dimensiaj okazoj. (eo)
- In mathematics, hyperbolic geometry (also called Lobachevskian geometry or Bolyai–Lobachevskian geometry) is a non-Euclidean geometry. The parallel postulate of Euclidean geometry is replaced with: For any given line R and point P not on R, in the plane containing both line R and point P there are at least two distinct lines through P that do not intersect R. (Compare the above with Playfair's axiom, the modern version of Euclid's parallel postulate.) Hyperbolic plane geometry is also the geometry of pseudospherical surfaces, surfaces with a constant negative Gaussian curvature. Saddle surfaces have negative Gaussian curvature in at least some regions, where they locally resemble the hyperbolic plane. A modern use of hyperbolic geometry is in the theory of special relativity, particularly the Minkowski model. When geometers first realised they were working with something other than the standard Euclidean geometry, they described their geometry under many different names; Felix Klein finally gave the subject the name hyperbolic geometry to include it in the now rarely used sequence elliptic geometry (spherical geometry), parabolic geometry (Euclidean geometry), and hyperbolic geometry.In the former Soviet Union, it is commonly called Lobachevskian geometry, named after one of its discoverers, the Russian geometer Nikolai Lobachevsky. This page is mainly about the 2-dimensional (planar) hyperbolic geometry and the differences and similarities between Euclidean and hyperbolic geometry. See hyperbolic space for more information on hyperbolic geometry extended to three and more dimensions. (en)
- La geometría hiperbólica /o lobachevskiana/ es un modelo de geometría que satisface solo los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometría euclidiana siguen siendo válidos en geometría hiperbólica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometría euclidiana y la geometría elíptica, la geometría hiperbólica es un modelo de curvatura constante:
* La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.
* La geometría hiperbólica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.
* La geometría elíptica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva. (es)
- En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée auparavant géométrie de Lobatchevski, lequel est le premier à en avoir publié une étude approfondie) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats d’Euclide, mais pour laquelle le cinquième postulat, qui équivaut à affirmer que par un point extérieur à une droite passe une et une seule droite qui lui est parallèle, est remplacé par le postulat selon lequel « par un point extérieur à une droite passent plusieurs droites parallèles à celle-ci » (il en existe alors une infinité). En géométrie hyperbolique, la plupart des propriétés métriques de la géométrie euclidienne ne sont plus valables ; en particulier le théorème de Pythagore n'est plus vérifié, et la somme des angles d'un triangle est toujours inférieure à 180°. Les droites restent cependant les lignes de plus court chemin joignant deux points, ce qui a permis à Beltrami, dans le cas du plan hyperbolique, de les modéliser comme des géodésiques sur une surface de courbure constante négative, comme les droites de la géométrie elliptique sont modélisées par des grands cercles sur une sphère. À la suite de Beltrami, Klein et Poincaré ont construit plusieurs autres modèles de géométrie hyperbolique, comme le modèle de l'hyperboloïde ou celui du disque de Poincaré. Ces modèles montrent l'indépendance de l'axiome des parallèles, c'est-à-dire l'impossibilité de le démontrer (ou de le réfuter) à partir des autres axiomes ; cela revient également à dire que si la géométrie euclidienne ne contient pas de contradiction, il en est de même de la géométrie hyperbolique. La détermination de la « vraie » géométrie de notre espace physique s'est posée dès la découverte des géométries non euclidiennes ; au début du XXIe siècle, les tests expérimentaux ne permettent toujours pas de décider ce qu'il en est, ce qui constitue le problème de la platitude, l'une des questions non résolues de la cosmologie. (fr)
- Dalam matematika, Geometri hiperbolik atau disebut juga Geometri Lobachevskian atau Geometri Bolyai-Lobachevskian) adalah geometri non-Euklides. dari geometri Euklides diganti dengan: Untuk setiap garis R dan titik P bukan pada R , di bidang yang mengandung kedua garis R dan titik P setidaknya ada dua garis yang berbeda melalui P yang tidak berpotongan R .(bandingkan ini dengan , versi modern Euklides) Bidang hiperbolik geometri juga merupakan geometri dan , permukaan dengan konstanta negatif . Penggunaan modern dari geometri hiperbolik ada dalam teori relativitas khusus, khususnya dan . Ketika geometer pertama kali menyadari bahwa mereka bekerja dengan sesuatu selain geometri Euclid standar, mereka mendeskripsikan geometri mereka dengan banyak nama berbeda.; Felix Klein akhirnya memberi subjek itu nama 'geometri hiperbolik' untuk memasukkannya ke dalam urutan (geometri bola), geometri parabola (Euklides).Di bekas Uni Soviet, geometri ini biasa disebut geometri Lobachevskian, dinamai menurut salah satu penemunya, ahli ilmu ukur Rusia Nikolai Lobachevsky. Halaman ini terutama membahas tentang geometri hiperbolik 2-dimensi (planar) dan perbedaan serta persamaan antara geometri Euclidean dan hiperbolik. Geometri hiperbolik dapat diperluas menjadi tiga dimensi atau lebih; lihat untuk lebih lanjut tentang kasus tiga dimensi dan lebih tinggi. (in)
- In de wiskunde is de hyperbolische meetkunde, of Bolyai-Lobatsjevski meetkunde, een niet-euclidische meetkunde. In de hyperbolische meetkunde vervangt men het parallellenpostulaat uit de Euclidische meetkunde. Het parallellenpostulaat is in de Euclidische meetkunde equivalent met de bewering dat, in de twee dimensionale ruimte, voor elke gegeven lijn l en een punt P, dat niet op l ligt, er precies één lijn door P loopt, die l niet kruist, dat wil zeggen evenwijdig aan l loopt. In de hyperbolische meetkunde zijn er ten minste twee verschillende lijnen door P die l niet snijden. In de hyperbolische meetkunde wordt dus niet meer aan het parallellenpostulaat voldaan. Binnen de Euclidische meetkunde zijn ruimten gedefinieerd, die aan de axioma's van de hyperbolische meetkunde voldoen, waarmee werd bewezen dat het parallellenpostulaat onafhankelijk is van de andere postulaten van Euclides. De hyperbolische meetkunde is rond 1830 ontdekt. Grondleggers van de hyperbolische meetkunde waren János Bolyai (1802–1860), die wordt beschouwd als een van de grondleggers van de niet-euclidische meetkunde, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en Nikolaj Lobatsjevski (1792-1856), ook vooral bekend vanwege zijn prestaties op het gebied van de niet-euclidische meetkunde. (nl)
- La geometria iperbolica, anche chiamata geometria di Bolyai-Lobachevskij, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele con il cosiddetto postulato iperbolico. È stata inizialmente studiata da Saccheri nel secolo XVIII, che tuttavia l'ha creduta inconsistente, e più tardi da Bolyai, Gauss e Lobačevskij, con il nome di geometria astrale. A 150 anni dalla sua nascita, la geometria iperbolica è ancora un argomento centrale della matematica, ravvivato alla fine degli anni settanta dalle scoperte di William Thurston. (it)
- 쌍곡기하학이란 평행선 공준을 대체하여 얻는 기하학이다. 평행선 공준을 모든 직선 R과 직선 R 밖 한 점 P에 대해, P를 지나면서 R과 교차하지 않는 직선(평행선)은 적어도 2개 존재한다로 바꾼 것이다. 평행선 공준과 동치인 가 주어진 직선 밖 한 점을 지나는, 그 직선의 평행선은 많아야 하나 존재한다. 인 반면에 쌍곡기하학에서는 평행선이 2개 이상 존재한다. 그 중에서 R의 한쪽 끝에서 거리가 0으로 접근하는 평행선은 각각의 방향에 대해 하나씩 존재하는데, 이러한 관계를 극한평행이라고 한다. [[쌍곡기하학은 안장곡면과 유사구(Pseudosphere)의 기하학이기도 하다. (ko)
- 双曲幾何学（そうきょくきかがく、英語: hyperbolic geometry）またはボヤイ・ロバチェフスキー幾何学 (英: Bolyai-Lobachevskian geometry) とは、まっすぐな空間（ユークリッド空間、放物幾何的空間）ではなく、負の曲率を持つ曲がった空間における幾何学である。ユークリッド幾何学の検証ということでサッケリーなども幾つかの定理を導いているが、完全で矛盾のない公理系を持ちながらユークリッド幾何学ではないような新しい幾何学と認識してまとめたのは同時期にそれぞれ独立に発表したロバチェフスキー（1829年発表）、ボヤイ（1832年発表）、およびガウス（発表せず）らの功績である。 ユークリッドのユークリッド原論の5番目の公準（任意の直線上にない一点を通る平行な直線がただ一本存在すること、 平行線公準）に対して、それを否定する公理を付け加え、その新たな平行線公理と無矛盾な体系として得られる幾何学である非ユークリッド幾何学の一つである。双曲幾何学の場合には、「ある直線 L とその直線の外にある点 p が与えられたとき、p を通り L に平行な直線は無限に存在する」という公理に支えられて構成される。 双曲幾何学では、ユークリッド原論の平行線公準以外の公理公準はすべて成立する。これは平行線公準が独立した公準であり、ほかの公準からは証明できないということである。なぜならば他の公準から証明できるとすればその他の全ての公準が成り立つ双曲幾何学でも平行線公準が成り立つはずだからである。この幾何学は、もともと平行線公準をユークリッド原論のほかの公準から証明しようとして作られた幾何学だが、皮肉なことにこの幾何学により平行線公準は独立でほかの公準からは証明できないことが証明された。 (ja)
- Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) – jedna z geometrii nieeuklidesowych. (pl)
- Em Matemática, geometria hiperbólica, também chamada de geometria lobachevskiana ou geometria de Bolyai - Lobachevsky, é uma geometria não-euclidiana, o que significa que o quinto postulados de Euclides, o clássico postulado das paralelas da geometria euclidiana é substituído pelo postulado de Lobachesvky: "Por um ponto fora de uma reta dada passa mais de uma paralela a essa reta." O postulado das paralelas, na geometria euclidiana, é equivalente à afirmação (axioma de Playfair) de que, no espaço bidimensional, para qualquer reta R e ponto P não contido em R, existe somente uma reta que passa por P e não intercepta R, ou seja, uma linha que é paralela a R. Na geometria hiperbólica, existem infinitas retas distintas que passam por P e que não interceptam R, de modo que o postulado clássico das paralelas é falso. A geometria do plano hiperbólico é a geometria das superfícies curvas com curvatura gaussiana negativa constante (tal como a pseudoesfera). Modelos têm sido construídos dentro da geometria euclidiana, mas obedecendo aos axiomas da geometria hiperbólica, provando assim que o postulado das paralelas é independente dos outros postulados de Euclides (assumindo que os outros postulados são de fato consistentes). Uma vez que a geometria euclidiana e a geometria hiperbólica são consistentes e estão em um ambiente com uma pequena curvatura seccional muito semelhante, o observador terá dificuldade em determinar se o seu ambiente é euclidiano ou hiperbólico. Nós também não podemos decidir se o nosso mundo é euclidiano ou hiperbólico. Uma utilização moderna da geometria hiperbólica é na , particularmente no espaço-tempo de Minkowski e no espaço girovetorial. Dado que não há nenhuma analogia hiperbólica precisa para linhas paralelas euclidianas , o uso hiperbólico dos termos 'paralelas' e 'relacionadas' varia entre os autores. Neste artigo, vale citar que duas linhas limitantes são chamadas assintóticas, e linhas que compartilham de uma perpendicular comum são chamadas ultra-paralelas (a palavra 'paralela simples' também é recorrente). Uma característica da geometria hiperbólica é que a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor que dois ângulos retos, ou seja, menor que 180° (o que garante isso é o Teorema de Gauss-Bonet. Dessa forma, no limite, tendendo os vértices para o infinito , existem triângulos hiperbólicos ideais em que todos os três ângulos são 0°. Os modelos de espaço hiperbólico mais conhecidos são o Semiplano Hiperbólico e o Disco de Poincaré. Os modelos de representação do espaço hiperbólico foram desenvolvidos no século XIX, e são exemplos de geometrias (essencialmente a mesma) em que não vale o Axioma de Playfair (o equivalente ao 5o postulado de Euclides). Nessa época tais modelos foram responsáveis por uma gigantesca revolução na geometria. Para estudá-los é necessário conhecermos as métricas riemannianas que produzem as suas respectivas geometrias. No entanto, é possível provar que a seguinte aplicação é uma isometria entre os modelos. Isso significa que as distâncias são preservadas quando passamos do modelo do disco para o modelo do semiplano. Então tomando a inversa dessa aplicação, conseguimos visualizar quais curvas são imagem de quais curvas via isometria. Note que a curva azul, e as curvas vermelhas formam um triângulo geodésico no modelo do disco e isso não era perceptível no modelo do semiplano. (pt)
- Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных аксиомах, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется её отрицанием. Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений, при наличии других аксиом) может быть сформулирована следующим образом: На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. В геометрии Лобачевского вместо неё принимается следующая аксиома: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Аксиома Лобачевского является точным отрицанием аксиомы Евклида (при выполнении всех остальных аксиом), так как случай, когда через точку, не лежащую на данной прямой, не проходит ни одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её, исключается в силу остальных аксиом (аксиомы абсолютной геометрии).Так, например, сферическая геометрия и геометрия Римана, в которых любые две прямые пересекаются, и следовательно, не выполнена ни аксиома о параллельных Евклида, ни аксиома Лобачевского, несовместимы с абсолютной геометрией. Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике.Историческое и философское её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки в целом. (ru)
- Hyperbolisk geometri är en typ av icke-euklidisk geometri. Termen hyperbolisk geometri introducerades av Felix Klein år 1871. Två hyperboliska linjer definieras som parallella om dessa är disjunkta, vilket betyder att dessa inte har några gemensamma punkter. (sv)
- 双曲几何又名罗氏几何（罗巴切夫斯基几何），是非欧几里德几何的一种特例。與欧几里德几何的差別在於第五條公理（公設）－平行公設。在欧几里德几何中，若平面上有一條直線R和線外的一點P，則存在唯一的一條線滿足通過P點且不與R相交（即R的平行線）。但在雙曲幾何中，至少可以找到兩條相異的直線，且都通過P點，並不與R相交，因此它違反了平行公設。然而，取代欧几里德几何中的平行公設的雙曲幾何本身並無矛盾之處，仍可以推得一系列屬於它的定理，這也說明了平行公設獨立於前四條公設，換句話說，無法由前四條公設推得平行公設。 到目前為止，數學家對雙曲幾何中平行線的定義尚未有共識，不同的作者會給予不同的定義。这里定義兩條逐漸靠近的線為漸近線，它們互相漸進；兩條有共同垂直線的線為超平行線，它們互相超平行，並且兩條線為平行線代表它們互相漸進或互相超平行。雙曲幾何還有一項性質，就是三角形的內角和小於一個平角（180°）。在極端的情況，三角形的三邊長趨近於無限，而三內角趨近於0°，此時該三角形稱作。 双曲几何专门研究当平面变成鞍马型之后，平面几何到底还有哪些可以适用，以及会有甚麼特別的现象產生。在双曲几何的环境裡，平面的曲率是負数。 (zh)
- Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) — одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельність, що замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського. Евклідова аксіома про паралельні твердить: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її. В геометрії Лобачевського замість неї приймається наступна аксіома: через точку, що не лежить на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її. Геометрія Лобачевського має широке застосування як в математиці, так і у фізиці.Історичне її значення полягає у тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість існування геометрії, відмінної від евклідової. Це ознаменувало нову епоху в розвитку геометрії і математики загалом. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- الهندسة الزائدية أو الهندسة القطعية الزائدية (والتي تسمى أيضًا هندسة لوباتشيفسكي أو هندسة بولياي - لوباتشيفسكي) هي هندسة لاإقليدية، تقابل مسلمة التوازي في الهندسة الإقليدية. ففي مسلمة التوازي في الهندسة الإقليدية، في أي مستوى ثنائي الأبعاد، من أي نقطة خارج مستقيم ما، يمر مستقيم وحيد بتلك النقطة ولا يقطع المستقيم الأول (أي يوازي المستقيم المذكور). أما في الهندسة الزائدية، فهناك ما لا يقل عن خطين آخرين يمران بتلك النقطة خارج المستقيم ولا تقطعانه، وبالتالي فإن مسلمة التوازي في هذه الحالة يمكن تطبيقها. هناك نماذج تم إنشاؤها ضمن الهندسة الإقليدية، تتفق مع مسلمات الهندسة الزائدية، مما يثبت أن مسلمة التوازي تختلف عن غيرها من مسلمات إقليدس. خاصية مميزة للهندسة الزائدية هو أن زوايا المثلث في الهندسة الزائدية يمكن أن تكون أقل من 180°. (ar)
- La geometria iperbolica, anche chiamata geometria di Bolyai-Lobachevskij, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele con il cosiddetto postulato iperbolico. È stata inizialmente studiata da Saccheri nel secolo XVIII, che tuttavia l'ha creduta inconsistente, e più tardi da Bolyai, Gauss e Lobačevskij, con il nome di geometria astrale. A 150 anni dalla sua nascita, la geometria iperbolica è ancora un argomento centrale della matematica, ravvivato alla fine degli anni settanta dalle scoperte di William Thurston. (it)
- 쌍곡기하학이란 평행선 공준을 대체하여 얻는 기하학이다. 평행선 공준을 모든 직선 R과 직선 R 밖 한 점 P에 대해, P를 지나면서 R과 교차하지 않는 직선(평행선)은 적어도 2개 존재한다로 바꾼 것이다. 평행선 공준과 동치인 가 주어진 직선 밖 한 점을 지나는, 그 직선의 평행선은 많아야 하나 존재한다. 인 반면에 쌍곡기하학에서는 평행선이 2개 이상 존재한다. 그 중에서 R의 한쪽 끝에서 거리가 0으로 접근하는 평행선은 각각의 방향에 대해 하나씩 존재하는데, 이러한 관계를 극한평행이라고 한다. [[쌍곡기하학은 안장곡면과 유사구(Pseudosphere)의 기하학이기도 하다. (ko)
- Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) – jedna z geometrii nieeuklidesowych. (pl)
- Hyperbolisk geometri är en typ av icke-euklidisk geometri. Termen hyperbolisk geometri introducerades av Felix Klein år 1871. Två hyperboliska linjer definieras som parallella om dessa är disjunkta, vilket betyder att dessa inte har några gemensamma punkter. (sv)
- 双曲几何又名罗氏几何（罗巴切夫斯基几何），是非欧几里德几何的一种特例。與欧几里德几何的差別在於第五條公理（公設）－平行公設。在欧几里德几何中，若平面上有一條直線R和線外的一點P，則存在唯一的一條線滿足通過P點且不與R相交（即R的平行線）。但在雙曲幾何中，至少可以找到兩條相異的直線，且都通過P點，並不與R相交，因此它違反了平行公設。然而，取代欧几里德几何中的平行公設的雙曲幾何本身並無矛盾之處，仍可以推得一系列屬於它的定理，這也說明了平行公設獨立於前四條公設，換句話說，無法由前四條公設推得平行公設。 到目前為止，數學家對雙曲幾何中平行線的定義尚未有共識，不同的作者會給予不同的定義。这里定義兩條逐漸靠近的線為漸近線，它們互相漸進；兩條有共同垂直線的線為超平行線，它們互相超平行，並且兩條線為平行線代表它們互相漸進或互相超平行。雙曲幾何還有一項性質，就是三角形的內角和小於一個平角（180°）。在極端的情況，三角形的三邊長趨近於無限，而三內角趨近於0°，此時該三角形稱作。 双曲几何专门研究当平面变成鞍马型之后，平面几何到底还有哪些可以适用，以及会有甚麼特別的现象產生。在双曲几何的环境裡，平面的曲率是負数。 (zh)
- La geometria hiperbòlica (o Lobatxevskiana ) és un model de geometria que satisfà només els quatre primers postulats de la geometria euclidiana. Encara que és similar en molts aspectes i molts dels teoremes de la geometria euclidiana continuen sent vàlids en geometria hiperbòlica, no se satisfà el cinquè postulat d'Euclides sobre les paral·leles. Igual que la geometria euclidiana i la geometria el·líptica, la geometria hiperbòlica és un model de curvatura constant: (ca)
- V matematice je hyperbolická geometrie (nebo také Lobačevského geometrie) neeukleidovskou geometrií, což znamená, že nesplňuje pátý Eukleidův postulát (o rovnoběžkách). Ten říká, že v dvourozměrném prostoru pro přímku l a bod P ležící mimo ni existuje právě jedna přímka, která bodem P prochází a zároveň neprotíná l; neboli je rovnoběžná s l. V hyperbolické geometrii takové přímky existují alespoň dvě, takže tento postulát zde neplatí. (cs)
- Στα μαθηματικά, η υπερβολική γεωμετρία (επίσης ονομάζεται γεωμετρία του Λομπατσέφσκι (Лобаче́вский)) είναι μια μη ευκλείδεια γεωμετρία, δηλαδή μια γεωμετρία στην οποία ορισμένα από τα αξιώματα της ευκλείδειας γεωμετρίας δεν ισχύουν. Συγκεκριμένα, στην υπερβολική γεωμετρία δεν ισχύει το αξίωμα των παραλλήλων. Το αξίωμα των παραλλήλων της δισδιάστατης ευκλείδειας γεωμετρίας αντιστοιχεί στην πρόταση ότι, για οποιαδήποτε (ευθεία) γραμμή I και ένα σημείο P που δεν ανήκει στην I υπάρχει ακριβώς μία και μόνο (ευθεία) γραμμή που διέρχεται από το P και δεν τέμνει την I, δηλαδή είναι παράλληλη στην I. Στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν τουλάχιστον δύο ξεχωριστές γραμμές που διέρχονται από το P και οι οποίες δεν τέμνουν την I, και το αξίωμα των παραλλήλων ευθειών είναι για την υπερβολική γεωμετρία εσ (el)
- En matematiko, hiperbola geometrio (nomata ankaŭ geometrio de Lobaĉevskij aŭ geometrio de Bolyai–Lobaĉevskij) estas ne-Eŭklida geometrio. La paralela postulato de Eŭklida geometrio estas anstataŭata jene: Por ĉiu havigita rekto R kaj punkto P ne sur R, en la ebeno enhavanta kaj la rekto R kaj la punkto P estas almenaŭ du diferencaj rektoj tra P kiuj ne intersekcias R.(komparu tion kun la aksiomo de Playfair, nome moderna versio de la paralela postulato de Eŭklido) (eo)
- Die hyperbolische Geometrie (auch Lobatschewskische Geometrie oder Lobatschewski-Geometrie genannt) ist ein Beispiel für eine nichteuklidische Geometrie, das man erhält, wenn man zu den Axiomen der absoluten Geometrie anstelle des Parallelenaxioms, das die euklidischen Geometrien kennzeichnet, das diesem widersprechende hyperbolische Axiom hinzunimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) nicht wie in der euklidischen Geometrie nur genau eine, sondern mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel sind. Dass zwei Geraden „parallel“ zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie überall den gleichen Abstand haben (h und i haben nur (de)
- La geometría hiperbólica /o lobachevskiana/ es un modelo de geometría que satisface solo los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometría euclidiana siguen siendo válidos en geometría hiperbólica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometría euclidiana y la geometría elíptica, la geometría hiperbólica es un modelo de curvatura constante: (es)
- In mathematics, hyperbolic geometry (also called Lobachevskian geometry or Bolyai–Lobachevskian geometry) is a non-Euclidean geometry. The parallel postulate of Euclidean geometry is replaced with: For any given line R and point P not on R, in the plane containing both line R and point P there are at least two distinct lines through P that do not intersect R. (Compare the above with Playfair's axiom, the modern version of Euclid's parallel postulate.) A modern use of hyperbolic geometry is in the theory of special relativity, particularly the Minkowski model. (en)
- En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée auparavant géométrie de Lobatchevski, lequel est le premier à en avoir publié une étude approfondie) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats d’Euclide, mais pour laquelle le cinquième postulat, qui équivaut à affirmer que par un point extérieur à une droite passe une et une seule droite qui lui est parallèle, est remplacé par le postulat selon lequel « par un point extérieur à une droite passent plusieurs droites parallèles à celle-ci » (il en existe alors une infinité). (fr)
- Dalam matematika, Geometri hiperbolik atau disebut juga Geometri Lobachevskian atau Geometri Bolyai-Lobachevskian) adalah geometri non-Euklides. dari geometri Euklides diganti dengan: Untuk setiap garis R dan titik P bukan pada R , di bidang yang mengandung kedua garis R dan titik P setidaknya ada dua garis yang berbeda melalui P yang tidak berpotongan R .(bandingkan ini dengan , versi modern Euklides) Bidang hiperbolik geometri juga merupakan geometri dan , permukaan dengan konstanta negatif . (in)
- 双曲幾何学（そうきょくきかがく、英語: hyperbolic geometry）またはボヤイ・ロバチェフスキー幾何学 (英: Bolyai-Lobachevskian geometry) とは、まっすぐな空間（ユークリッド空間、放物幾何的空間）ではなく、負の曲率を持つ曲がった空間における幾何学である。ユークリッド幾何学の検証ということでサッケリーなども幾つかの定理を導いているが、完全で矛盾のない公理系を持ちながらユークリッド幾何学ではないような新しい幾何学と認識してまとめたのは同時期にそれぞれ独立に発表したロバチェフスキー（1829年発表）、ボヤイ（1832年発表）、およびガウス（発表せず）らの功績である。 ユークリッドのユークリッド原論の5番目の公準（任意の直線上にない一点を通る平行な直線がただ一本存在すること、 平行線公準）に対して、それを否定する公理を付け加え、その新たな平行線公理と無矛盾な体系として得られる幾何学である非ユークリッド幾何学の一つである。双曲幾何学の場合には、「ある直線 L とその直線の外にある点 p が与えられたとき、p を通り L に平行な直線は無限に存在する」という公理に支えられて構成される。 (ja)
- In de wiskunde is de hyperbolische meetkunde, of Bolyai-Lobatsjevski meetkunde, een niet-euclidische meetkunde. In de hyperbolische meetkunde vervangt men het parallellenpostulaat uit de Euclidische meetkunde. Het parallellenpostulaat is in de Euclidische meetkunde equivalent met de bewering dat, in de twee dimensionale ruimte, voor elke gegeven lijn l en een punt P, dat niet op l ligt, er precies één lijn door P loopt, die l niet kruist, dat wil zeggen evenwijdig aan l loopt. In de hyperbolische meetkunde zijn er ten minste twee verschillende lijnen door P die l niet snijden. In de hyperbolische meetkunde wordt dus niet meer aan het parallellenpostulaat voldaan. Binnen de Euclidische meetkunde zijn ruimten gedefinieerd, die aan de axioma's van de hyperbolische meetkunde voldoen, waarmee w (nl)
- Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных аксиомах, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется её отрицанием. Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений, при наличии других аксиом) может быть сформулирована следующим образом: На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. В геометрии Лобачевского вместо неё принимается следующая аксиома: (ru)
- Em Matemática, geometria hiperbólica, também chamada de geometria lobachevskiana ou geometria de Bolyai - Lobachevsky, é uma geometria não-euclidiana, o que significa que o quinto postulados de Euclides, o clássico postulado das paralelas da geometria euclidiana é substituído pelo postulado de Lobachesvky: "Por um ponto fora de uma reta dada passa mais de uma paralela a essa reta." A geometria do plano hiperbólico é a geometria das superfícies curvas com curvatura gaussiana negativa constante (tal como a pseudoesfera). (pt)
- Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) — одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельність, що замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського. Евклідова аксіома про паралельні твердить: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її. В геометрії Лобачевського замість неї приймається наступна аксіома: (uk)
|
