| dbo:abstract
|
- Pappova věta, také Pappova-Pascalova věta říká, že pokud body P1 až P6 leží střídavě na dvou přímkách g a h, budou i body P7 až P9 ležet na jedné přímce (u, "Pappova přímka"). Tato věta je jedním ze základů projektivní geometrie. (cs)
- Der Satz von Pappos (Pappus), gelegentlich auch Satz von Pappos-Pascal genannt, ist ein zentraler Satz in der affinen und projektiven Geometrie. Er tauchte erstmals als Proposition 139 im VII. Buch der Mathematischen Sammlungen des antiken griechischen Mathematikers Pappos von Alexandria auf. Blaise Pascal fand im 17. Jahrhundert eine Verallgemeinerung des Satzes, den nach ihm benannten Satz von Pascal, bei dem die sechs Grundpunkte des Satzes auf einem Kegelschnitt liegen. Der Satz lautet in seiner allgemeineren projektiven Form: Liegen sechs Punkte einer projektiven Ebene abwechselnd auf zwei Geraden und , so sind die Punkte kollinear, d. h., sie liegen auf einer Geraden (siehe Bild). Sind die beiden Geraden und durch die Sechseckpunkte und die Gerade kopunktal, so spricht man auch vom kleinen Satz von Pappos. Da sich zwei Geraden in einer affinen Ebene nicht unbedingt schneiden, wird der Satz zusätzlich noch in einer spezielleren affinen Form formuliert: Liegen sechs Punkte einer affinen Ebene abwechselnd auf zwei Geraden und und sind sowohl das Geradenpaar als auch dasGeradenpaar parallel, so sind auch und parallel (s. Bild). Im projektiven Abschluss der zugrunde liegenden affinen Ebene schneiden sich die drei parallelen Geradenpaare auf der uneigentlichen Gerade , und es entsteht die projektive Form des Satzes von Pappos. (de)
- El teorema del hexágono de Pappus afirma lo siguiente: Puede considerarse como un caso degenerado del teorema de Pascal, que afirma lo mismo para cualquier cónica. Es un teorema puramente de incidencia —no hace referencia a medidas—, pero se demuestra usando los axiomas de congruencia de segmentos. Es importante en el sistema axiomático de la geometría proyectiva, ya que introducido como axioma permite demostrar todos los teoremas de incidencia conocidos sin tener que introducir axiomas métricos. Gracias a esto, se puede considerar la geometría proyectiva como una geometría puramente de incidencia. (es)
- In mathematics, Pappus's hexagon theorem (attributed to Pappus of Alexandria) states that
* given one set of collinear points and another set of collinear points then the intersection points of line pairs and and and are collinear, lying on the Pappus line. These three points are the points of intersection of the "opposite" sides of the hexagon . It holds in a projective plane over any field, but fails for projective planes over any noncommutative division ring. Projective planes in which the "theorem" is valid are called pappian planes. If one restricts the projective plane such that the Pappus line is the line at infinity, one gets the affine version of Pappus's theorem shown in the second diagram. If the Pappus line and the lines have a point in common, one gets the so-called little version of Pappus's theorem. The dual of this incidence theorem states that given one set of concurrent lines , and another set of concurrent lines , then the lines defined by pairs of points resulting from pairs of intersections and and and are concurrent. (Concurrent means that the lines pass through one point.) Pappus's theorem is a special case of Pascal's theorem for a conic—the limiting case when the conic degenerates into 2 straight lines. Pascal's theorem is in turn a special case of the Cayley–Bacharach theorem. The Pappus configuration is the configuration of 9 lines and 9 points that occurs in Pappus's theorem, with each line meeting 3 of the points and each point meeting 3 lines. In general, the Pappus line does not pass through the point of intersection of and . This configuration is self dual. Since, in particular, the lines have the properties of the lines of the dual theorem, and collinearity of is equivalent to concurrence of , the dual theorem is therefore just the same as the theorem itself. The Levi graph of the Pappus configuration is the Pappus graph, a bipartite distance-regular graph with 18 vertices and 27 edges. (en)
- Le théorème de Pappus est un théorème de géométrie concernant l'alignement de trois points : si on considère trois points alignés A, B, C et trois autres points également alignés a, b, c, les points d'intersection des droites (Ab)-(Ba), (Ac)-(Ca), et (Bc)-(Cb) sont également alignés. Il s'agit fondamentalement d'un théorème de géométrie projective plane qui possède plusieurs déclinaisons en géométrie affine. En géométrie projective il s'énonce uniquement en termes d'alignements de points et d'intersections de droites, et se démontre dans n'importe quel plan projectif construit sur un corps commutatif. En géométrie affine, il peut se démontrer à l'aide du théorème de Ménélaüs. Dans une approche axiomatique de la géométrie projective, il peut être pris comme axiome et caractérise alors, parmi les plans vus comme structure d'incidence, ceux qui peuvent être construits sur un corps commutatif, de même en géométrie affine pour l'avatar affine du théorème de Pappus (voir plan affine arguésien). Il a pour conséquence l'axiome de Desargues qui se déduit des axiomes d'incidence et de l'axiome de Pappus par le théorème de Hessenberg. Il s'agit d'un cas particulier d'hexagramme de Pascal. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien grec Pappus d'Alexandrie. (fr)
- De stelling van Pappos is een stelling in de meetkunde. De stelling is naar Pappos van Alexandrië genoemd. De stelling luidt:Liggen A1, B1 en C1 op één lijn d1 en liggen A2, B2 en C2 op een lijn d2 , dan liggen ook de volgende drie punten op één lijn:
* A: snijpunt van B1C2 en B2C1,
* B: snijpunt van A1C2 en A2C1 en
* C: snijpunt van A1B2 en A2B1 De verkregen figuur heet de configuratie van Pappos. De stelling van Pappos is een speciaal geval van de stelling van Pascal. (nl)
- Il teorema dell'esagono di Pappo è un teorema di geometria proiettiva del piano che asserisce che dato un esagono qualsiasi ABCDEF, in cui i vertici A, C, E giacciono su una retta ed i vertici B, D, F giacciono su un'altra retta, se si considerano i punti: dove è la retta che contiene i vertici X ed Y (e quindi anche il lato XY dell'esagono), allora tali punti P, Q, R sono allineati. (it)
- O teorema de Papo, mais conhecido como teorema de Pappus, atribuído a Papo (ou Pappus) de Alexandria, é um teorema de geometria projetiva do plano sobre o alinhamento de três pontos: Dado um conjunto de pontos colineares A, B, C, e um outro conjunto de pontos colineares a, b, c, os pontos de intersecção x, y, z dos pares de retas Ab-aB, Ac-aC e Bc - bC também serão colineares. A desse teorema afirma que: Dado um conjunto de linhas concorrentes A, B, C, e um outro conjunto de linhas concorrentes a, b, c, então as linhas x, y, z definidas pelos pares de pontos resultantes dos pares de intersecção (A∩b, a∩B), (A∩c , a∩C) e (B∩c, b∩C) são concorrentes. A generalização deste teorema é o teorema de Pascal, que foi descoberto por Blaise Pascal, quando tinha 16 anos de idade. (pt)
- Twierdzenie Pappusa – twierdzenie geometrii euklidesowej, nazwane od Pappusa z Aleksandrii. Występuje w kilku wersjach: (pl)
- Pappos' sats eller, mera precist, Pappos' hexagonsats är en sats i geometrin. Den är uppkallad efter den grekiske matematikern Pappos, som bevisade satsen första gången omkring år 300. Satsen säger följande:
* Låt A, B och C vara punkter på en linje och D, E och F vara punkter på en annan linje. Då ligger skärningspunkterna X, Y och Z mellan linjerna AE och DB, AF och DC respektive BF och EC på en tredje linje, Papposlinjen. Dualen till denna incidenssats säger att om man har två skilda mängder av inbördes konkurrenta linjer, A, B och C respektive D, E och F, så är linjerna X, Y och Z, definierade av par av punkter till följd av skärningar mellan linjerna A∩E och D∩B, A∩F och D∩C respektive B∩F ochE∩C, konkurrenta (konkurrens innebär att de löper samman i en punkt). är en generalisering av Pappos sats, eller snarare så är Pappos' sats specialfallet av Pascals sats när kägelsnittet degenererar till två räta linjer. är den av nio punkter och nio linjer som uppträder i Pappus' sats, där varje punkt är incident med tre linjer och varje linje är incident med tre punkter. I allmänhet passerar inte Papposlinjen genom de båda andra linjernas skärningspunkt. Denna konfiguration är självdual. Eftersom, speciellt, linjerna BF, CE och XY har samma egenskaper som linjerna X, Y och Z i dualsatsen och kollinearitet mellan X, Y och Z är liktydigt med konkurrens hosBF, CE och XY, är den duala satsen detsamma som satsen själv. för Papposkonfigurationen är , en bipartit, med 18 hörn och 27 kanter. (sv)
- Теорема Паппа — це класична теорема проєктивної геометрії. Вона формулюється наступним чином: Нескладно бачити, що двоїсте формулювання до теореми Паппа є лише переформулюванням самої теореми. Теорема Паппа є виродженим випадком в теоремі Паскаля: якщо замінити в теоремі Паскаля вписаний у конічний перетин шестикутник на вписаний у пару прямих, які перетинаються, то вона стане еквівалентною теоремі Паппа. Сам Паскаль вважав пару прямих конічним перетином (тобто вважав теорему Паппа окремим випадком своєї теореми). (uk)
- 设U，V，W，X，Y和Z为平面上6条直线。如果：（1）U与V的交点，X与W的交点，Y与Z的交点共线，且（2）U与Z的交点，X与V的交点，Y与W的交点共线，则一定有（3）U与W的交点，X与Z的交点，Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯六角形定理（英語：Pappus's hexagon theorem）。 也就是说，如果 且 则 這個定理是帕斯卡定理的一個特例，當這個圓錐曲線退化成兩條直線的時候。 (zh)
- Теоре́ма Па́ппа — это классическая теорема проективной геометрии. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- Pappova věta, také Pappova-Pascalova věta říká, že pokud body P1 až P6 leží střídavě na dvou přímkách g a h, budou i body P7 až P9 ležet na jedné přímce (u, "Pappova přímka"). Tato věta je jedním ze základů projektivní geometrie. (cs)
- El teorema del hexágono de Pappus afirma lo siguiente: Puede considerarse como un caso degenerado del teorema de Pascal, que afirma lo mismo para cualquier cónica. Es un teorema puramente de incidencia —no hace referencia a medidas—, pero se demuestra usando los axiomas de congruencia de segmentos. Es importante en el sistema axiomático de la geometría proyectiva, ya que introducido como axioma permite demostrar todos los teoremas de incidencia conocidos sin tener que introducir axiomas métricos. Gracias a esto, se puede considerar la geometría proyectiva como una geometría puramente de incidencia. (es)
- De stelling van Pappos is een stelling in de meetkunde. De stelling is naar Pappos van Alexandrië genoemd. De stelling luidt:Liggen A1, B1 en C1 op één lijn d1 en liggen A2, B2 en C2 op een lijn d2 , dan liggen ook de volgende drie punten op één lijn:
* A: snijpunt van B1C2 en B2C1,
* B: snijpunt van A1C2 en A2C1 en
* C: snijpunt van A1B2 en A2B1 De verkregen figuur heet de configuratie van Pappos. De stelling van Pappos is een speciaal geval van de stelling van Pascal. (nl)
- Il teorema dell'esagono di Pappo è un teorema di geometria proiettiva del piano che asserisce che dato un esagono qualsiasi ABCDEF, in cui i vertici A, C, E giacciono su una retta ed i vertici B, D, F giacciono su un'altra retta, se si considerano i punti: dove è la retta che contiene i vertici X ed Y (e quindi anche il lato XY dell'esagono), allora tali punti P, Q, R sono allineati. (it)
- Twierdzenie Pappusa – twierdzenie geometrii euklidesowej, nazwane od Pappusa z Aleksandrii. Występuje w kilku wersjach: (pl)
- Теорема Паппа — це класична теорема проєктивної геометрії. Вона формулюється наступним чином: Нескладно бачити, що двоїсте формулювання до теореми Паппа є лише переформулюванням самої теореми. Теорема Паппа є виродженим випадком в теоремі Паскаля: якщо замінити в теоремі Паскаля вписаний у конічний перетин шестикутник на вписаний у пару прямих, які перетинаються, то вона стане еквівалентною теоремі Паппа. Сам Паскаль вважав пару прямих конічним перетином (тобто вважав теорему Паппа окремим випадком своєї теореми). (uk)
- 设U，V，W，X，Y和Z为平面上6条直线。如果：（1）U与V的交点，X与W的交点，Y与Z的交点共线，且（2）U与Z的交点，X与V的交点，Y与W的交点共线，则一定有（3）U与W的交点，X与Z的交点，Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯六角形定理（英語：Pappus's hexagon theorem）。 也就是说，如果 且 则 這個定理是帕斯卡定理的一個特例，當這個圓錐曲線退化成兩條直線的時候。 (zh)
- Теоре́ма Па́ппа — это классическая теорема проективной геометрии. (ru)
- Der Satz von Pappos (Pappus), gelegentlich auch Satz von Pappos-Pascal genannt, ist ein zentraler Satz in der affinen und projektiven Geometrie. Er tauchte erstmals als Proposition 139 im VII. Buch der Mathematischen Sammlungen des antiken griechischen Mathematikers Pappos von Alexandria auf. Blaise Pascal fand im 17. Jahrhundert eine Verallgemeinerung des Satzes, den nach ihm benannten Satz von Pascal, bei dem die sechs Grundpunkte des Satzes auf einem Kegelschnitt liegen. Der Satz lautet in seiner allgemeineren projektiven Form: kollinear, d. h., sie liegen auf einer Geraden (siehe Bild). (de)
- In mathematics, Pappus's hexagon theorem (attributed to Pappus of Alexandria) states that
* given one set of collinear points and another set of collinear points then the intersection points of line pairs and and and are collinear, lying on the Pappus line. These three points are the points of intersection of the "opposite" sides of the hexagon . It holds in a projective plane over any field, but fails for projective planes over any noncommutative division ring. Projective planes in which the "theorem" is valid are called pappian planes. (en)
- Le théorème de Pappus est un théorème de géométrie concernant l'alignement de trois points : si on considère trois points alignés A, B, C et trois autres points également alignés a, b, c, les points d'intersection des droites (Ab)-(Ba), (Ac)-(Ca), et (Bc)-(Cb) sont également alignés. Il s'agit d'un cas particulier d'hexagramme de Pascal. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien grec Pappus d'Alexandrie. (fr)
- O teorema de Papo, mais conhecido como teorema de Pappus, atribuído a Papo (ou Pappus) de Alexandria, é um teorema de geometria projetiva do plano sobre o alinhamento de três pontos: Dado um conjunto de pontos colineares A, B, C, e um outro conjunto de pontos colineares a, b, c, os pontos de intersecção x, y, z dos pares de retas Ab-aB, Ac-aC e Bc - bC também serão colineares. A desse teorema afirma que: A generalização deste teorema é o teorema de Pascal, que foi descoberto por Blaise Pascal, quando tinha 16 anos de idade. (pt)
- Pappos' sats eller, mera precist, Pappos' hexagonsats är en sats i geometrin. Den är uppkallad efter den grekiske matematikern Pappos, som bevisade satsen första gången omkring år 300. Satsen säger följande:
* Låt A, B och C vara punkter på en linje och D, E och F vara punkter på en annan linje. Då ligger skärningspunkterna X, Y och Z mellan linjerna AE och DB, AF och DC respektive BF och EC på en tredje linje, Papposlinjen. är en generalisering av Pappos sats, eller snarare så är Pappos' sats specialfallet av Pascals sats när kägelsnittet degenererar till två räta linjer. (sv)
|
