| dbo:abstract
|
- نظرية التمثيل (بالإنجليزية: Representation theory) هي فرع من الرياضيات تدرس البنية الجبرية المجردة عن طريق تمثيل العناصر الخاصة بهم (linear transformation) لـمتجه المسافة (vector space)، وتدرس الوحدات النمطية على هذه البنيات الجبرية المجردة. في الأساس، يعمل التمثيل على جعل الهدف الجبري المجرد أكثر واقعية من خلال وصف عناصره عن طريق المصفوفات (matrices) والعمليات الجبرية (algebraic operation) من حيث إضافة المصفوفة (matrix addition) وضرب مصفوفة في مصفوفة (matrix multiplication). تشمل الأهداف الجبرية المسؤولة عن مثل هذ الوصف المجموعات، الجبر التجميعي (associative algebra) وجبر لي (Lie algebra). أبرز هؤلاء (والأولى تاريخيًا) هي نظرية تمثيل المجموعات (representation theory of groups)، التي تتمثل فيها عناصر المجموعة عن طريق المصفوفة غير المفردة بطريقةٍ تُضرَب فيها المصفوفة في المصفوفة في عملية المجموعة. نظرية التمثيل هي أداة قوية لأنها تقلل مشاكل الجبر المجرد إلى مشاكل في الجبر الخطي، وهي مادة مفهومة جيدًا. علاوةً على ذلك، فإنه يمكن لمتجه المسافة التي تتمثل فيه مجموعة (على سبيل المثال) أن يكون لا نهائي الأبعاد، وبالسماح بحدوث ذلك، يمكن تطبيق فضاء هيلبرت، وهي أساليب التحليل على نظرية المجموعات. تعد نظرية التمثل أيضًا هامة في الفيزياء لأنها، على سبيل المثال، تصف كيف يؤثر زمرة التماثل لنظامٍ فيزيائي على حلول المعادلات التي تصف هذا النظام. من السمات البارزة لنظرية التمثيل انتشارها في الرياضيات. هناك وجهان لهذا. الأول، تطبيقات نظرية التمثيل متنوعة: بالإضافة إلى تأثيرها على الجبر، تنير نظرية التمثيل وتعمم تحليل فورييه (Fourier analysis) بشكلٍ كبير من خلال التحليل التوافقي (harmonic analysis), ترتبط بعمق بـالهندسة عبر النظرية الثابتة (invariant theory) وبرنامج إيرلانجن (Erlangen program)، ولها تأثير عميق من الناحية النظرية من خلال نموذج تشكيلي تلقائي (automorphic form) وبرنامج لانلاندز (Langlands program). الجانب الثاني هو تنوع أساليب نظرية التمثيل. يمكن دراسة نفس الأهداف باستخدام أساليب من الهندسة الجبرية ونظرية الوحدة النمطية (module theory) ونظرية الأعداد التحليلية والهندسة التفاضلية ونظرية المؤثر (operator theory)، والتوافقيات الجبرية (algebraic combinatorics) والطوبولوجيا. أدى نجاح نظرية التمثيل إلى تعميمات عديدة. التصنيف (categorical one) هي واحدة من أكثر التعميمات. يمكن اعتبار الأهداف الجبرية التي تنطبق عليها نظرية التمثيل أنواعًا معينة من الفئات، والتمثيل مثل المدلل (functor) من فئة الهدف إلى فئة متجه المسافات (category of vector spaces). ويشير هذا الوصف إلى تعميمين واضحين: الأول، يمكن استبدال الأهداف الجبرية بفئاتٍ أكثر عمومية؛ يمكن استبدال الفئة الثانية المستهدَفة بفئاتٍ أخرى مفهومة جيدًا. (ar)
- La teoria de la representació és una branca de les matemàtiques que estudia les estructures algebraiques abstractes representant els seus elements com a transformacions lineals d’espais vectorials i estudia mòduls sobre aquestes estructures algebraiques abstractes. En essència, una representació fa més concret un objecte algebraic abstracte descrivint els seus elements per matrius i les seves operacions algebraiques (per exemple, suma de matrius, multiplicació de matriu). La teoria de les matrius i dels operadors lineals es comprenen millor i, de vegades, simplifiquen els càlculs de teories més abstractes. Els objectes algebraics susceptibles d'aquesta descripció inclouen grups, àlgebres associatius i àlgebres de Lie. La més destacada (i històricament la primera) és la teoria de la representació de grups, en què els elements d’un grup es representen mitjançant matrius invertibles de manera que l’operació de grup sigui la multiplicació de matrius. La teoria de la representació és un mètode útil perquè redueix els problemes de l'àlgebra abstracta a problemes en l'àlgebra lineal, un tema ben entès. A més, l'espai vectorial sobre el qual es representa un grup (per exemple) pot ser infinit-dimensional i, permetent que sigui, per exemple, un espai de Hilbert, es poden aplicar mètodes d'anàlisi a la teoria de grups. La teoria de la representació també és important en física perquè, per exemple, descriu com el grup de simetria d’un sistema físic afecta les solucions d’equacions que descriuen aquest sistema. La teoria de la representació és generalitzada en els camps de les matemàtiques per dos motius. En primer lloc, les aplicacions de la teoria de la representació són diverses: a més del seu impacte en l'àlgebra, la teoria de la representació:
* il·lumina i generalitza l'anàlisi de Fourier mitjançant l'anàlisi harmònica,
* està connectat a la geometria mitjançant la teoria invariant i el programa Erlangen,
* té un impacte en la teoria de nombres a través de formes automòrfiques i el programa Langlands. En segon lloc, hi ha diversos enfocaments de la teoria de la representació. Els mateixos objectes es poden estudiar mitjançant mètodes de geometria algebraica, teoria de mòduls, teoria de nombres analítics, geometria diferencial, teoria d'operadors, combinatòria algebraica i topologia. L’èxit de la teoria de la representació ha provocat nombroses generalitzacions. Una de les més generals és la teoria de categories. Els objectes algebraics als quals s'aplica la teoria de la representació es poden veure com a tipus particulars de categories, i les representacions com a functors des de la categoria d'objectes fins a la categoria d'espais vectorials. Aquesta descripció apunta a dues generalitzacions òbvies: primer, els objectes algebraics es poden substituir per categories més generals; en segon lloc, la categoria objectiu dels espais vectorials es pot substituir per altres categories ben enteses. (ca)
- In der Darstellungstheorie werden Elemente von Gruppen oder allgemeiner von Algebren mittels Homomorphismen auf lineare Abbildungen von Vektorräumen (Matrizen) abgebildet. Die Darstellungstheorie hat Anwendungen in fast allen Gebieten der Mathematik und der theoretischen Physik. So war ein darstellungstheoretischer Satz von Robert Langlands ein wesentlicher Schritt für Andrew Wiles' Beweis des Großen Satzes von Fermat, und die Darstellungstheorie lieferte ebenfalls den theoretischen Hintergrund für die Vorhersage, dass Quarks existieren. Auch für die rein algebraische Untersuchung der Gruppen oder Algebren ist die Darstellung durch Matrizen oft nützlich. (de)
- Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος πάνω σε ένα σώμα F. Για παράδειγμα, έστω ότι ο V είναι ο Rn ή ο Cn, ο καθιερωμένος n-διάστατος χώρος από στήλες διανύσματα πάνω από τους πραγματικούς ή τους μιγαδικούς αριθμούς αντίστοιχα. Στην περίπτωση αυτή, η ιδέα της θεωρίας αναπαραστάσεων είναι να κάνει κανείς αφηρημένη άλγεβρα συγκεκριμένα χρησιμοποιώντας n × n πίνακες πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών. Υπάρχουν τρία κύρια είδη αλγεβρικών αντικειμένων για τα οποία μπορεί να γίνει: ομάδες, και .
* Το σύνολο όλων των n × n πινάκων είναι μια ομάδα εφοδιασμένη με τον πολλαπλασιασμό πινάκων και η αναλύει μία ομάδα περιγράφοντας ("αναπαριστώντας") τα στοιχεία της σε όρους αντιστρέψιμων πινάκων.
* Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός πίνακα μετατρέπει το σύνολο όλων των n × n πινάκων σε προσεταιριστική άλγεβρα και ως εκ τούτου, υπάρχει μία αντίστοιχη .
* Αν αντικαταστήσουμε τον πολλαπλασιασμό πινάκων MN με τον αντιμεταθέτη πινάκων MN − NM, τότε οι n × n πίνακες μετατρέπονται αντ' αυτού σε μία Lie άλγεβρα, που μας οδηγεί σε μία . Αυτό γενικεύεται σε οποιοδήποτε σώμα F και οποιονδήποτε διανυσματικό χώρο V πάνω στο F, με τις γραμμικές απεικονίσεις να αντικαθιστούν τους πίνακες και τη σύνθεση να αντικαθιστά τον πολλαπλασιασμό πινάκων: υπάρχει μια ομάδα GL(V,F) αυτομορφισμών του V, μια προσεταιριστική άλγεβρα EndF(V) όλων των ενδομορφισμών του V, και μια αντίστοιχη Lie άλγεβρα gl(V,F). (el)
- La teoría de la representación es una rama de las matemáticas que estudia estructuras algebraicas mediante su representación de sus elementos como transformaciones lineales de espacios vectoriales, y estudia módulos sobre estas estructuras algebraicas abstractas. En esencia, una representación hace que un objeto algebraico abstracto sea más concreto al describir sus elementos mediante matrices y sus operaciones algebraicas (por ejemplo, suma de matrices, multiplicación de matrices). La teoría de matrices y operadores lineales se comprende bien, por lo que las representaciones de objetos más abstractos en términos de objetos familiares de álgebra lineal ayudan a obtener propiedades y, a veces, simplifican los cálculos en teorías más abstractas. Los objetos algebraicos susceptibles de tal descripción incluyen grupos, y . El más destacado de ellos (e históricamente el primero) es la teoría de la representación de grupos, en la que los elementos de un grupo están representados por matrices invertibles de tal manera que la operación de grupo es la multiplicación de matrices. La teoría de la representación es un método útil porque reduce los problemas de álgebra abstracta a problemas de álgebra lineal, un tema que se comprende bien. Además, el espacio vectorial en el que se representa un grupo (por ejemplo) puede ser de dimensión infinita y, al permitir que sea, por ejemplo, un espacio de Hilbert, los métodos de análisis se pueden aplicar a la teoría de grupos. La teoría de la representación también es importante en física porque, por ejemplo, describe cómo el grupo de simetría de un sistema físico afecta las soluciones de ecuaciones que describen ese sistema. La teoría de la representación es omnipresente en todos los campos de las matemáticas por dos razones. Primero, las aplicaciones de la teoría de la representación son diversas: además de su impacto en el álgebra, la teoría de la representación:
* ilumina y generaliza el análisis de Fourier a través del análisis armónico,
* está conectada a la geometría a través de la y el ,
* tiene un impacto en la teoría de números a través de y el . En segundo lugar, existen diversos enfoques de la teoría de la representación. Los mismos objetos pueden ser estudiados utilizando métodos de la geometría algebraica, , la teoría analítica de números, la geometría diferencial, teoría de operadores, combinatoria algebraica y topología. El éxito de la teoría de la representación ha dado lugar a numerosas generalizaciones. Uno de los más generales es el de la teoría de categorías. Los objetos algebraicos a los que se aplica la teoría de la representación pueden verse como tipos particulares de categorías, y las representaciones como functores de la categoría de objeto a la categoría de espacios vectoriales. Esta descripción apunta a dos generalizaciones obvias: primero, los objetos algebraicos pueden ser reemplazados por categorías más generales; en segundo lugar, la categoría objetivo de espacios vectoriales puede ser reemplazada por otras categorías bien entendidas. (es)
- Representation theory is a branch of mathematics that studies abstract algebraic structures by representing their elements as linear transformations of vector spaces, and studies modules over these abstract algebraic structures. In essence, a representation makes an abstract algebraic object more concrete by describing its elements by matrices and their algebraic operations (for example, matrix addition, matrix multiplication). The theory of matrices and linear operators is well-understood, so representations of more abstract objects in terms of familiar linear algebra objects helps glean properties and sometimes simplify calculations on more abstract theories. The algebraic objects amenable to such a description include groups, associative algebras and Lie algebras. The most prominent of these (and historically the first) is the representation theory of groups, in which elements of a group are represented by invertible matrices in such a way that the group operation is matrix multiplication. Representation theory is a useful method because it reduces problems in abstract algebra to problems in linear algebra, a subject that is well understood. Furthermore, the vector space on which a group (for example) is represented can be infinite-dimensional, and by allowing it to be, for instance, a Hilbert space, methods of analysis can be applied to the theory of groups. Representation theory is also important in physics because, for example, it describes how the symmetry group of a physical system affects the solutions of equations describing that system. Representation theory is pervasive across fields of mathematics for two reasons. First, the applications of representation theory are diverse: in addition to its impact on algebra, representation theory:
* illuminates and generalizes Fourier analysis via harmonic analysis,
* is connected to geometry via invariant theory and the Erlangen program,
* has an impact in number theory via automorphic forms and the Langlands program. Second, there are diverse approaches to representation theory. The same objects can be studied using methods from algebraic geometry, module theory, analytic number theory, differential geometry, operator theory, algebraic combinatorics and topology. The success of representation theory has led to numerous generalizations. One of the most general is in category theory. The algebraic objects to which representation theory applies can be viewed as particular kinds of categories, and the representations as functors from the object category to the category of vector spaces. This description points to two obvious generalizations: first, the algebraic objects can be replaced by more general categories; second, the _target category of vector spaces can be replaced by other well-understood categories. (en)
- La théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie lesmodules sur ces structures algébriques abstraites. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel. Parmi les objets algébriques qui se prêtent à une telle approche figurent les groupes, les algèbres associatives et les algèbres de Lie. La théorie primordiale des représentations est celle des représentations de groupes, où les éléments d'un groupe sont représentés par des matrices inversibles de telle façon que la loi du groupe corresponde au produit matriciel. La théorie des représentations est un outil puissant, parce qu'elle réduit des problèmes d'algèbre abstraite à des problèmes d'algèbre linéaire, un domaine qui est bien compris. En outre, lorsqu'on autorise l'espace vectoriel, sur lequel un groupe (par exemple) est représenté, à être un espace de dimension infinie, par exemple un espace de Hilbert, on peut appliquer à la théorie des groupes des méthodes d'analyse. La théorie des représentations est aussi importante en physique, parce qu'elle permet de décrire, par exemple, comment le groupe des symétries d'un système influe sur les solutions des équations qui le décrivent. Une caractéristique saisissante de la théorie des représentations est son omniprésence en mathématiques. Ce fait a deux aspects. D'abord, les applications de cette théorie sont variées : en plus de son impact en algèbre, elle éclaire et généralise largement l'analyse de Fourier via l'analyse harmonique, elle est profondément liée à la géométrie via la théorie des invariants et le programme d'Erlangen et elle a un impact profond en théorie des nombres via les et le programme de Langlands. Le second aspect de l'ubiquité de la théorie des représentations est la diversité des manières de l'aborder. Les mêmes objets peuvent être étudiés en utilisant des méthodes de géométrie algébrique, de théorie des modules, de théorie analytique des nombres, de géométrie différentielle, de (en) et de topologie. Le succès de la théorie des représentations a conduit à de nombreuses généralisations. L'une des plus générales est catégorique. Les objets algébriques auxquels s'applique la théorie peuvent être vus comme des cas particuliers de catégories, et les représentations comme des foncteurs, d'une telle catégorie dans celle des espaces vectoriels. Cette description indique deux généralisations évidentes : d'une part, les objets algébriques peuvent être remplacés par des catégories plus générales et d'autre part, la catégorie d'arrivée des espaces vectoriels peut être remplacée par d'autres catégories que l'on maîtrise bien. (fr)
- Teori representasi adalah cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar abstrak dengan merepresentasikan anggotanya sebagai transformasi linear dari ruang vektor, dan mempelajari modul di atas struktur aljabar abstrak tersebut. Pada dasarnya, sebuah representasi membuat sebuah objek aljabar abstrak menjadi lebih konkret dengan menggambarkan anggotanya menggunakan matriks dan operasi aljabarnya (contohnya, penambahan matriks, perkalian matriks). Teori matriks dan operator linear telah dipahami dengan baik, jadi merepresentasikan objek yang abstrak sebagai objek aljabar linear yang lebih dikenal akan membantu mengenali sifat-sifatnya dan terkadang menyederhanakan perhitungan dalam teori yang terlalu abstrak. Objek aljabar yang dapat dideskripsikan seperti itu di antaranya adalah grup, aljabar asosiatif dan aljabar Lie. Yang paling terkemuka (dan yang pertama kali dikembangkan) adalah , di mana anggota grup direpresentasikan sebagai matrik yang bisa dibalik sedemikan rupa sehingga operasi grupnya adalah perkalian matriks. Teori representasi merupakan metode yang berguna karena mereduksi masalah dalam aljabar abstrak ke dalam masalah aljabar linear, sebuah subjek yang lebih dipahami. Lebih lagi, ruang vektor yang menjadi representasi sebuah grup (sebagai contoh) bisa berdimensi tak hingga, dan dengan membolehkannya menjadi, sebagai contoh, sebuah ruang Hilbert, metode analisis bisa diterapkan pada teori grup. Teori representasi juga penting bagi fisika karena, sebagai contoh, teori representasi menjelaskan bagaimana dari sebuah sistem fisika memengaruhi penyelesaian persamaan yang menggambarkan sistem itu. Teori representasi begitu tersebar di berbagai bidang matematika dikarenaka dua sebab. Pertama, penerapan teori representasi beragam: selain dampaknya pada aljabar, teori representasi:
* memberi penerangan dan mengeneralisasi analisis Fourier melalui ,
* berhubungan dengan geometri melalui dan ,
* berdampak pada teori bilangan melalui dan . Kedua, terdapat beragam pendekatan untuk mempelajari teori representasi. Objek yang sama bisa dipelajari menggunakan metode-metode dari geometri aljabar, , teori bilangan analitik, geometri diferensial, , dan topologi. Keberhasilan teori representasi telah menyebabkan berbagai generalisasi. Salah satu generalisasi yang paling umum adalah teori kategori. Objek aljabar yang diteliti menggunakan teori representasi bisa dipandang sebagai jenis kategori tertentu, dan representasi dipandang sebagai fungtor dari kategori objek ke kategori ruang vektor. Deskripsi ini menunjukkan dua generalisasi: pertama, objek aljabar bisa diganti dengan kategori yang lebih umum; kedua, kategori ruang vektor _target bisa diganti dengan kategori lain yang dipahami. (in)
- 表現論（ひょうげんろん、英: representation theory）とは、ベクトル空間の線型変換として代数構造を表現することで代数構造上の加群を研究する数学の一分野である。本質的には、表現は抽象的な代数的構造を、その元と演算を行列と行列の和や行列の積で記述することで、より具体的にする。この記述で扱われる代数的対象には、群や結合代数やリー代数がある。これらの中で最も優れているものは、歴史的にも最初に現れた群の表現論であり、群の演算が行列の積で、群の要素が正則行列で表現されている。 表現論は、抽象代数学の問題を良く理解されている線型代数の問題へと帰着させるので、強力なツールである。さらに、群が表現されているベクトル空間が無限次元になることやヒルベルト空間になることも可能であり、その場合、函数解析の方法が群の理論へ適用可能となる。表現論は物理学でも重要であり、例えば、物理系の対称群が、どのように物理系を記述する方程式の解へ影響するかを記述する。 表現論の著しい特徴は、数学での広がりにある。そこには、2つの面がある。ひとつの面は、表現論の応用が多岐にわたっていることであり、表現論は代数への影響のみならず、以下のような応用も持っている。
* 調和解析を通してフーリエ解析を広く一般化する
* とエルランゲン・プログラムを通して深く幾何学とつながっている。
* さらに、数論へは保型形式やラングランズ・プログラムを通して深く影響を持っている。 もうひとつの面は、表現論へのアプローチの広がりである。同じ対象が代数幾何学、加群の理論、解析的整数論、微分幾何学、作用素理論、(algebraic combinatorics)、トポロジーの方法で研究できる。 表現論の成功は、多くの一般化を生み出した。その一般的な理論は圏論の中にある。適用する代数的対象を特別な圏として、対象のなす圏からベクトル空間の圏(category of vector spaces)への函手を表現とみなすことができる。この記述には 2つの明白な一般化がある。ひとつは代数的対象をより一般的な圏により置き換えることが可能であり、第二には、ベクトル空間のなす圏を別の良く知られた圏に置き換えることが可能である。 (ja)
- 표현론(representation theory)은 수학적 대상을 다른 방식으로 표현해서 성질을 알아보는 수학의 한 분야이다. 대표적인 표현론은 군의 표현이 있다. (ko)
- La teoria delle rappresentazioni è una branca della matematica che studia le strutture algebriche astratte "rappresentando" i loro elementi come trasformazioni lineari di spazi vettoriali e studiando i moduli su queste strutture algebriche astratte. Sostanzialmente una rappresentazione rende più concreto un oggetto algebrico astratto descrivendo i suoi elementi mediante matrici. La teoria delle matrici e delle trasformazioni lineari è ben nota, quindi rappresentazioni di oggetti più astratti in termini di oggetti familiari dell'algebra lineare semplifica i calcoli e aiuta a capire e determinare le proprietà di questi oggetti astratti. Un gruppo di Lie è un gruppo che è anche una varietà differenziabile. Molti gruppi classici di matrici sui numeri reali o complessi sono gruppi di Lie. Molti gruppi importanti in fisica e chimica sono gruppi di Lie e la loro teoria delle rappresentazioni è cruciale per l'applicazione della teoria dei gruppi in questi campi. La teoria delle rappresentazioni è uno strumento utile in quanto riduce problemi di algebra astratta a problemi di algebra lineare. Inoltre lo spazio vettoriale su cui (per esempio) un gruppo è rappresentato può essere di dimensione infinita. Se questo, per esempio, è uno spazio di Hilbert, allora i metodi dell'analisi funzionale possono essere applicati alla teoria dei gruppi. La teoria delle rappresentazioni è importante anche in fisica poiché, per esempio, descrive come il gruppo di simmetria di un sistema fisico influenza le soluzioni delle equazioni che descrivono il sistema. La teoria delle rappresentazioni è presente in tutti i campi della matematica per due ragioni. In primo luogo, le applicazioni della teoria delle rappresentazioni sono diverse; oltre al suo impatto sull'algebra, la teoria delle rappresentazioni:
* rende più chiara e generalizza l'analisi di Fourier tramite l'analisi armonica;
* è connessa alla geometria tramite la e il programma di Erlangen;
* ha un impatto sulla teoria dei numeri tramite le e il programma Langlands. In secondo luogo, ci sono diversi approcci alla teoria delle rappresentazioni. Gli stessi oggetti possono essere studiati usando metodi della geometria algebrica, della teoria dei moduli, della teoria analitica dei numeri, della geometria differenziale, della teoria degli operatori, della combinatoria algebrica e della topologia. Il successo della teoria delle rappresentazioni ha portato a numerose generalizzazioni. Una delle versioni più generali si ha nella teoria delle categorie. Gli oggetti algebrici a cui si applica la teoria delle rappresentazioni possono essere visti come particolari tipi di categorie e le rappresentazioni come funtori dalla categoria degli oggetti algebrici considerati alla categoria degli spazi vettoriali. Questa descrizione indica due ovvie generalizzazioni: primo, gli oggetti algebrici possono essere sostituiti da categorie più generali; secondo, la categoria di arrivo degli spazi vettoriali può essere sostituita da altre categorie ben studiate. (it)
- Representatietheorie is een tak van de wiskunde, die abstracte algebraïsche structuren bestudeert door hun elementen te representeren als lineaire transformaties van vectorruimten. Als een eerste benadering maakt een representatie een abstract algebraïsch object concreet door de elementen van dit algebraïsch object door matrices en algebraïsche operaties in termen van matrixoptelling en matrixvermenigvuldiging te beschrijven. Algebraïsche objecten die zich goed lenen voor een dergelijke beschrijving zijn onder meer de groepen, associatieve algebra's en lie-algebra's. De meest prominente van deze drie (en historisch gezien ook de eerste) is de representatie van groepen, waarin elementen van een groep worden weergegeven door inverteerbare matrices met als groepsbewerking de matrixvermenigvuldiging. Representatietheorie is een krachtig instrument, omdat het problemen uit de abstracte algebra reduceert tot problemen in de lineaire algebra, die over het algemeen beter worden begrepen. Bovendien kan een vectorruimte waarop bijvoorbeeld een groep wordt weergegeven, oneindig dimensionaal zijn, en door bijvoorbeeld toe te staan, dat het een hilbertruimte is, kunnen methoden uit de analyse worden toegepast op de groepentheorie. Representatietheorie is ook belangrijk in de natuurkunde, omdat zij bijvoorbeeld beschrijft hoe de symmetriegroep van een natuurkundig systeem de oplossingen beïnvloedt van vergelijkingen die dit natuurkundige systeem beschrijven. Een opvallend kenmerk van de representatietheorie is haar alomtegenwoordigheid in de wiskunde. Hier zitten twee kanten aan. Ten eerste zijn de toepassingen van de representatietheorie divers: naast haar invloed op de algebra, heeft de representatietheorie ook fourieranalyse (via de ) sterk verhelderd en veralgemeend. De theorie is ook diep verbonden met de meetkunde via de invariantentheorie en het erlangen-programma van Felix Klein. Ook heeft de representatietheorie een enorme invloed uitgeoefend op de getaltheorie via de theorie van de automorfe vormen en het langlands-programma. Het tweede aspect is de diversiteit van de benaderingen van de representatietheorie. Dezelfde objecten kunnen worden bestudeerd met behulp van methoden uit de algebraïsche meetkunde, de , de analytische getaltheorie, de differentiaalmeetkunde, de operatorentheorie en de topologie. Het succes van de representatietheorie heeft tot tal van generalisaties geleid. De meest algemene daarvan is in de categorietheorie. De algebraïsche objecten waarop de representatietheorie van toepassing is, kunnen worden gezien als een bijzondere soort categorieën, en de representaties als functors van de objectcategorie naar de categorie van vectorruimten. Deze beschrijving wijst naar twee voor de hand liggende generalisaties: ten eerste, dat algebraïsche objecten kunnen worden vervangen door meer algemene categorieën, ten tweede dat de doelcategorie van de vectorruimten kan worden vervangen door andere goed begrepen categorieën. (nl)
- Теория представлений — раздел математики, изучающий абстрактные алгебраические структуры с помощью представления их элементов в виде линейных преобразований векторных пространств. В сущности, представление делает абстрактные алгебраические объекты более конкретными, описывая их элементы матрицами, а операции сложения и умножения этих объектов — сложением и умножением матриц. Среди объектов, поддающихся такому описанию, находятся группы, ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Наиболее известной (и исторически возникшей первой) является теория представлений групп. Теория представлений является мощным инструментом, потому что она сводит задачи общей алгебры к задачам линейной алгебры, предмет которой хорошо понятен. Кроме того, векторное пространство, с помощью которого представлена группа, может быть бесконечномерным, и если добавить к нему структуру гильбертова пространства, можно будет применить методы математического анализа. Теория представлений также имеет важное значение для физики, так как она, например, описывает, как группа симметрий физической системы влияет на решения уравнений, описывающих эту систему. Поразительная особенность теории представлений — это её распространённость в математике. Первый аспект этого — разнообразные приложения теории представлений: в дополнение к своему влиянию на алгебру она освещает и значительно обобщает анализ Фурье с помощью гармонического анализа, она тесно связана с геометрией через теорию инвариантов и эрлангенскую программу, оказывает большое влияние на теорию чисел через автоморфные формы и программу Ленглендса. Вторым аспектом является разнообразие подходов к теории представлений. Одни и те же объекты могут быть изучены с помощью методов алгебраической геометрии, теории модулей, аналитической теории чисел, дифференциальной геометрии, теории операторов, алгебраической комбинаторики и топологии. Успех теории представлений привёл к многочисленным её обобщениям. Одно из наиболее общих использует теорию категорий. Алгебраические объекты, к которым применяется теория представлений, могут быть рассмотрены как объекты определённой категории, а представления — как функторы из данной категории в категорию векторных пространств. Такое описание указывает на два очевидных обобщения: во-первых, алгебраические объекты могут быть заменены на более общие категории; во-вторых, категория векторных пространств может быть заменена другими хорошо понятными категориями. (ru)
- Teoria de representação é um campo da matemática que estuda estruturas algébricas abstratas pela representação de seus elementos como transformações lineares de espaços vetoriais. (pt)
- 表示論（英語：Representation theory）是數學中抽象代數的一支。旨在抽象代数结构中的元素「表示」成向量空間上的線性變換，并研究这些代数结构上的模，藉以研究結構的性質。略言之，表示論將一代數對象表作較具體的矩陣，並使得原結構中的代数运算對應到矩陣加法和矩陣乘法。此法可施於群、結合代數及李代數等多種代數結構；其中肇源最早，用途也最廣的是群表示論。設為群，其在域（常取複數域）表示是一-矢量空間及映至一般線性群之群同態 假設有限維，則上述同態即是將的元素映成可逆矩陣，並使得群運算對應到矩陣乘法。 表示論的妙用在於能將抽象代数問題轉為较容易解决的線性代數问题。此外，群还可以表示在无穷维空间上；例如，若考慮無窮維希爾伯特空間上的表示，並要求一些連續性條件，此時表示論就牽涉到一些泛函分析的課題，数学分析的方法就可以用于解决群论的问题。表示論在自然科學中也有應用。對稱性的問題離不開群，而群的研究又有賴於其表示，最明顯的例子便是李群及李代數表示論在量子力學中的關鍵角色。 表示论的一大特点是它遍布数学各个领域。这个特点有两个方面。首先，表示论的应用十分广泛：除了在代数的影响之外，表示论
* 通过调和分析阐明并推广了傅里叶分析，
* 通过不變量理論和爱尔兰根纲领与几何学建立了联系
* 通过自守形式和朗蘭茲綱領对数论产生了影响。 另一方面，研究表示论的途径也相当多元化，应用了代数几何、、解析数论、微分几何、、代数组合学和拓扑学的思想和方法 「表示」的概念後來也得到進一步的推廣，例如範疇的表示。表示论所施的代数对象可被视为特定的范畴，而表示本身则是从对象范畴到向量空间范畴的函子。这个表述方式立即指向两种显然的推广：其一，代数对象可换成成更一般的范畴；其二，向量空间范畴也可换成其它较好理解的范畴。 注意不要将“表示”与代数对象的“展示”混淆，如群的展示。 (zh)
- Тео́рія предста́влень (також тео́рія зобра́жень) груп (англ. representation theory)— це розділ математики, що вивчає абстрактні алгебраїчні структури представляючи їх елементи як лінійні відображення векторних просторів, і вивчає модулі над цими абстрактними алгебраїчними структурами. По суті, представлення робить абстрактний алгебраїчний об'єкт більш конкретним, описуючи його елементи за допомогою матриць і алгебраїчних операцій в термінах додавання матриць та множення матриць. До алгебраїчних об'єктів до яких було застосоване подібне описання відносяться групи, асоціативні алгебри та алгебри Лі. Найбільш видатних з них (і історично першими) є представлення теорії груп, в якій елементи групи представлені невиродженими матрицями таким чином, що операцією групи є множення матриць. У залежності від представленої групи розрізняють розділи теорії представлень:
* Скінченні групи — див. .
* Топологічні групи — деякі побудови для представлень скінченних груп можна узагальнити і для нескінченних груп. Для локально компактних топологічних груп це можна зробити за допомогою міри Хаара. На результуючій теорії багато в чому ґрунтується гармонічний аналіз, а також сучасний виклад .
* Групи Лі — багато груп Лі є компактними. Відповідно до них можна застосувати теорію представлень компактних груп. Див . (uk)
|
| rdfs:comment
|
- In der Darstellungstheorie werden Elemente von Gruppen oder allgemeiner von Algebren mittels Homomorphismen auf lineare Abbildungen von Vektorräumen (Matrizen) abgebildet. Die Darstellungstheorie hat Anwendungen in fast allen Gebieten der Mathematik und der theoretischen Physik. So war ein darstellungstheoretischer Satz von Robert Langlands ein wesentlicher Schritt für Andrew Wiles' Beweis des Großen Satzes von Fermat, und die Darstellungstheorie lieferte ebenfalls den theoretischen Hintergrund für die Vorhersage, dass Quarks existieren. Auch für die rein algebraische Untersuchung der Gruppen oder Algebren ist die Darstellung durch Matrizen oft nützlich. (de)
- 표현론(representation theory)은 수학적 대상을 다른 방식으로 표현해서 성질을 알아보는 수학의 한 분야이다. 대표적인 표현론은 군의 표현이 있다. (ko)
- Teoria de representação é um campo da matemática que estuda estruturas algébricas abstratas pela representação de seus elementos como transformações lineares de espaços vetoriais. (pt)
- نظرية التمثيل (بالإنجليزية: Representation theory) هي فرع من الرياضيات تدرس البنية الجبرية المجردة عن طريق تمثيل العناصر الخاصة بهم (linear transformation) لـمتجه المسافة (vector space)، وتدرس الوحدات النمطية على هذه البنيات الجبرية المجردة. في الأساس، يعمل التمثيل على جعل الهدف الجبري المجرد أكثر واقعية من خلال وصف عناصره عن طريق المصفوفات (matrices) والعمليات الجبرية (algebraic operation) من حيث إضافة المصفوفة (matrix addition) وضرب مصفوفة في مصفوفة (matrix multiplication). تشمل الأهداف الجبرية المسؤولة عن مثل هذ الوصف المجموعات، الجبر التجميعي (associative algebra) وجبر لي (Lie algebra). أبرز هؤلاء (والأولى تاريخيًا) هي نظرية تمثيل المجموعات (representation theory of groups)، التي تتمثل فيها عناصر المجموعة عن طريق المصفوفة غير المفردة بطريقةٍ تُضرَب فيها المصفوفة في المصفوفة في عملية (ar)
- La teoria de la representació és una branca de les matemàtiques que estudia les estructures algebraiques abstractes representant els seus elements com a transformacions lineals d’espais vectorials i estudia mòduls sobre aquestes estructures algebraiques abstractes. En essència, una representació fa més concret un objecte algebraic abstracte descrivint els seus elements per matrius i les seves operacions algebraiques (per exemple, suma de matrius, multiplicació de matriu). La teoria de les matrius i dels operadors lineals es comprenen millor i, de vegades, simplifiquen els càlculs de teories més abstractes. (ca)
- Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος πάνω σε ένα σώμα F. Για παράδειγμα, έστω ότι ο V είναι ο Rn ή ο Cn, ο καθιερωμένος n-διάστατος χώρος από στήλες διανύσματα πάνω από τους πραγματικούς ή τους μιγαδικούς αριθμούς αντίστοιχα. Στην περίπτωση αυτή, η ιδέα της θεωρίας αναπαραστάσεων είναι να κάνει κανείς αφηρημένη άλγεβρα συγκεκριμένα χρησιμοποιώντας n × n πίνακες πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών. Υπάρχουν τρία κύρια είδη αλγεβρικών αντικειμένων για τα οποία μπορεί να γίνει: ομάδες, και . (el)
- La teoría de la representación es una rama de las matemáticas que estudia estructuras algebraicas mediante su representación de sus elementos como transformaciones lineales de espacios vectoriales, y estudia módulos sobre estas estructuras algebraicas abstractas. En esencia, una representación hace que un objeto algebraico abstracto sea más concreto al describir sus elementos mediante matrices y sus operaciones algebraicas (por ejemplo, suma de matrices, multiplicación de matrices). La teoría de matrices y operadores lineales se comprende bien, por lo que las representaciones de objetos más abstractos en términos de objetos familiares de álgebra lineal ayudan a obtener propiedades y, a veces, simplifican los cálculos en teorías más abstractas. (es)
- Teori representasi adalah cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar abstrak dengan merepresentasikan anggotanya sebagai transformasi linear dari ruang vektor, dan mempelajari modul di atas struktur aljabar abstrak tersebut. Pada dasarnya, sebuah representasi membuat sebuah objek aljabar abstrak menjadi lebih konkret dengan menggambarkan anggotanya menggunakan matriks dan operasi aljabarnya (contohnya, penambahan matriks, perkalian matriks). Teori matriks dan operator linear telah dipahami dengan baik, jadi merepresentasikan objek yang abstrak sebagai objek aljabar linear yang lebih dikenal akan membantu mengenali sifat-sifatnya dan terkadang menyederhanakan perhitungan dalam teori yang terlalu abstrak. (in)
- Representation theory is a branch of mathematics that studies abstract algebraic structures by representing their elements as linear transformations of vector spaces, and studies modules over these abstract algebraic structures. In essence, a representation makes an abstract algebraic object more concrete by describing its elements by matrices and their algebraic operations (for example, matrix addition, matrix multiplication). The theory of matrices and linear operators is well-understood, so representations of more abstract objects in terms of familiar linear algebra objects helps glean properties and sometimes simplify calculations on more abstract theories. (en)
- La théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie lesmodules sur ces structures algébriques abstraites. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel. Parmi les objets algébriques qui se prêtent à une telle approche figurent les groupes, les algèbres associatives et les algèbres de Lie. La théorie primordiale des représentations est celle des représentations de groupes, où les éléments d'un groupe sont représentés par des matrices inversibles de telle façon que la (fr)
- La teoria delle rappresentazioni è una branca della matematica che studia le strutture algebriche astratte "rappresentando" i loro elementi come trasformazioni lineari di spazi vettoriali e studiando i moduli su queste strutture algebriche astratte. Sostanzialmente una rappresentazione rende più concreto un oggetto algebrico astratto descrivendo i suoi elementi mediante matrici. La teoria delle matrici e delle trasformazioni lineari è ben nota, quindi rappresentazioni di oggetti più astratti in termini di oggetti familiari dell'algebra lineare semplifica i calcoli e aiuta a capire e determinare le proprietà di questi oggetti astratti. (it)
- 表現論（ひょうげんろん、英: representation theory）とは、ベクトル空間の線型変換として代数構造を表現することで代数構造上の加群を研究する数学の一分野である。本質的には、表現は抽象的な代数的構造を、その元と演算を行列と行列の和や行列の積で記述することで、より具体的にする。この記述で扱われる代数的対象には、群や結合代数やリー代数がある。これらの中で最も優れているものは、歴史的にも最初に現れた群の表現論であり、群の演算が行列の積で、群の要素が正則行列で表現されている。 表現論は、抽象代数学の問題を良く理解されている線型代数の問題へと帰着させるので、強力なツールである。さらに、群が表現されているベクトル空間が無限次元になることやヒルベルト空間になることも可能であり、その場合、函数解析の方法が群の理論へ適用可能となる。表現論は物理学でも重要であり、例えば、物理系の対称群が、どのように物理系を記述する方程式の解へ影響するかを記述する。 表現論の著しい特徴は、数学での広がりにある。そこには、2つの面がある。ひとつの面は、表現論の応用が多岐にわたっていることであり、表現論は代数への影響のみならず、以下のような応用も持っている。 (ja)
- Representatietheorie is een tak van de wiskunde, die abstracte algebraïsche structuren bestudeert door hun elementen te representeren als lineaire transformaties van vectorruimten. Als een eerste benadering maakt een representatie een abstract algebraïsch object concreet door de elementen van dit algebraïsch object door matrices en algebraïsche operaties in termen van matrixoptelling en matrixvermenigvuldiging te beschrijven. Algebraïsche objecten die zich goed lenen voor een dergelijke beschrijving zijn onder meer de groepen, associatieve algebra's en lie-algebra's. De meest prominente van deze drie (en historisch gezien ook de eerste) is de representatie van groepen, waarin elementen van een groep worden weergegeven door inverteerbare matrices met als groepsbewerking de matrixvermenigvul (nl)
- Теория представлений — раздел математики, изучающий абстрактные алгебраические структуры с помощью представления их элементов в виде линейных преобразований векторных пространств. В сущности, представление делает абстрактные алгебраические объекты более конкретными, описывая их элементы матрицами, а операции сложения и умножения этих объектов — сложением и умножением матриц. Среди объектов, поддающихся такому описанию, находятся группы, ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Наиболее известной (и исторически возникшей первой) является теория представлений групп. (ru)
- Тео́рія предста́влень (також тео́рія зобра́жень) груп (англ. representation theory)— це розділ математики, що вивчає абстрактні алгебраїчні структури представляючи їх елементи як лінійні відображення векторних просторів, і вивчає модулі над цими абстрактними алгебраїчними структурами. По суті, представлення робить абстрактний алгебраїчний об'єкт більш конкретним, описуючи його елементи за допомогою матриць і алгебраїчних операцій в термінах додавання матриць та множення матриць. До алгебраїчних об'єктів до яких було застосоване подібне описання відносяться групи, асоціативні алгебри та алгебри Лі. Найбільш видатних з них (і історично першими) є представлення теорії груп, в якій елементи групи представлені невиродженими матрицями таким чином, що операцією групи є множення матриць. (uk)
- 表示論（英語：Representation theory）是數學中抽象代數的一支。旨在抽象代数结构中的元素「表示」成向量空間上的線性變換，并研究这些代数结构上的模，藉以研究結構的性質。略言之，表示論將一代數對象表作較具體的矩陣，並使得原結構中的代数运算對應到矩陣加法和矩陣乘法。此法可施於群、結合代數及李代數等多種代數結構；其中肇源最早，用途也最廣的是群表示論。設為群，其在域（常取複數域）表示是一-矢量空間及映至一般線性群之群同態 假設有限維，則上述同態即是將的元素映成可逆矩陣，並使得群運算對應到矩陣乘法。 表示論的妙用在於能將抽象代数問題轉為较容易解决的線性代數问题。此外，群还可以表示在无穷维空间上；例如，若考慮無窮維希爾伯特空間上的表示，並要求一些連續性條件，此時表示論就牽涉到一些泛函分析的課題，数学分析的方法就可以用于解决群论的问题。表示論在自然科學中也有應用。對稱性的問題離不開群，而群的研究又有賴於其表示，最明顯的例子便是李群及李代數表示論在量子力學中的關鍵角色。 表示论的一大特点是它遍布数学各个领域。这个特点有两个方面。首先，表示论的应用十分广泛：除了在代数的影响之外，表示论
* 通过调和分析阐明并推广了傅里叶分析，
* 通过不變量理論和爱尔兰根纲领与几何学建立了联系
* 通过自守形式和朗蘭茲綱領对数论产生了影响。 注意不要将“表示”与代数对象的“展示”混淆，如群的展示。 (zh)
|
