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- In der mathematischen Theorie der Irrfahrten sind selbstmeidende Pfade Wege auf einem Gitter, die nie zu einem bereits zuvor besuchten Punkt zurückkehren. Selbstmeidende Pfade sind das einfachste mathematische Modell für die Anordnung langer Polymerketten. Die Berechnung selbstmeidender Pfade ist ein zentrales Thema der Perkolationstheorie. Es gibt zahlreiche durch empirische Untersuchungen und Heuristiken gestützte Vermutungen über das Verhalten selbstmeidender Pfade. Mathematisch bewiesen ist von diesen Vermutungen aber nur wenig, gerade auch in den für Anwendungen interessanten niedrigen Dimensionen . (de)
- Un camino auto-evitado, o self-avoiding walk (SAW), es un camino que une dos puntos en un grafo plano con la condición de que no pasa por el mismo punto más de una vez. En particular, se pueden considerar caminos sobre la rejilla cuadrada 2-dimensional formada por los puntos en cuyas componentes son enteras. Un SAW es por lo tanto un camino de longitud que recorre las aristas de la rejilla sin interceptarse consigo mismo. En el estudio de estos caminos surgen dos preguntas fundamentales: 1.
* ¿Cuántos SAWs de longitud se pueden construir sobre determinada rejilla? 2.
* ¿Cuál es el comportamiento asintótico de un SAW de longitud , cuando tiende a infinito? (es)
- En mathématiques, un chemin auto-évitant (CAE), ou marche auto-évitante, est un chemin dans un réseau ne passant jamais par le même sommet ; lorsqu'il est fermé, on parle de polygone auto-évitant (PAE). Pour le graphe infini associé au réseau, les notions de CAE et de PAE correspondent à celles de chaînes et de cycles. Les CAE ont été introduits en 1948 par le chimiste Paul Flory (prix Nobel 1974) dans le but de modéliser le comportement des polymères plongés dans un solvant. Depuis cette introduction, des physico-chimistes ont proposé de nombreuses conjectures qui ont été confirmées par des simulations numériques, mais peu d'entre elles ont été démontrées mathématiquement. Un CAE de longueur infinie a une structure fractale. On démontre qu'il a une dimension fractale égale à 4/3 dans le cas plan, 5/3 en dimension 3, et 2 en dimension . Cette dimension est la limite supérieure de la dimension critique au-dessus de laquelle le volume exclu est négligeable. Un CAE qui ne satisfait pas la condition de volume exclu a été récemment étudié pour modéliser explicitement la géométrie de surface résultant de l'expansion d'un CAE. Les propriétés des CAE ne pouvant pas être obtenues analytiquement, on utilise des simulations numériques. L'algorithme du pivot, méthode classique concernant les simulations de chaîne de Markov, est utilisé pour la mesure uniforme des CAE de longueur n. Il consiste à prendre un CAE, à choisir au hasard un point sur ce chemin, puis à appliquer une opération de symétrie (rotation ou/et réflexion) sur la partie du chemin située après ce point pour créer un nouveau chemin et à continuer jusqu'à ce que le chemin obtenu soit auto-évitant. (fr)
- In mathematics, a self-avoiding walk (SAW) is a sequence of moves on a lattice (a lattice path) that does not visit the same point more than once. This is a special case of the graph theoretical notion of a path. A self-avoiding polygon (SAP) is a closed self-avoiding walk on a lattice. Very little is known rigorously about the self-avoiding walk from a mathematical perspective, although physicists have provided numerous conjectures that are believed to be true and are strongly supported by numerical simulations. In computational physics, a self-avoiding walk is a chain-like path in R2 or R3 with a certain number of nodes, typically a fixed step length and has the property that it doesn't cross itself or another walk. A system of SAWs satisfies the so-called excluded volume condition. In higher dimensions, the SAW is believed to behave much like the ordinary random walk. SAWs and SAPs play a central role in the modeling of the topological and knot-theoretic behavior of thread- and loop-like molecules such as proteins. Indeed, SAWs may have first been introduced by the chemist Paul Flory in order to model the real-life behavior of chain-like entities such as solvents and polymers, whose physical volume prohibits multiple occupation of the same spatial point. SAWs are fractals. For example, in d = 2 the fractal dimension is 4/3, for d = 3 it is close to 5/3 while for d ≥ 4 the fractal dimension is 2. The dimension is called the upper critical dimension above which excluded volume is negligible. A SAW that does not satisfy the excluded volume condition was recently studied to model explicit surface geometry resulting from expansion of a SAW. The properties of SAWs cannot be calculated analytically, so numerical simulations are employed. The is a common method for Markov chain Monte Carlo simulations for the uniform measure on n-step self-avoiding walks. The pivot algorithm works by taking a self-avoiding walk and randomly choosing a point on this walk, and then applying symmetrical transformations (rotations and reflections) on the walk after the nth step to create a new walk. Calculating the number of self-avoiding walks in any given lattice is a common computational problem. There is currently no known formula, although there are rigorous methods of approximation. (en)
- Em matemática, um caminho autoevitante é uma sequência de movimentos em um retículo que não visita o mesmo ponto mais de uma vez. Este é um caso especial da noção de caminho da teoria dos grafos. Um polígono autoevitante é um caminho autoevitante fechado em um retículo. O termo caminho autoevitante foi introduzido pelo químico Paul Flory, a fim de modelar o comportamento real de entidades de configuração em cadeia, tais como solventes e polímeros, cujos volumes físicos proíbem múltiplas ocupações do mesmo ponto espacial. Muito pouco é conhecido rigorosamente a respeito dos caminhos auto-evitantes a partir de uma perspectiva matemática, apesar de que físicos terem provido numerosas conjecturas que são acreditadas serem verdade e fortemente apoiadas por simulações matemáticas, e que existam diversas conjecturas que foram obtidas por meio de simulações computacionais. Em física computacional um caminho autoevitante é um caminho em cadeia em ou com um certo número de nós, tipicamente um passo de tamanho fixo e com uma propriedade imperativa de que ele não cruza a si mesmo ou outro caminho. Um sistema de caminhos autoevitantes satisfaz a chamada condição do volume excluído. Em dimensões mais altas, acredita-se que um caminho autoevitante deve se comportar de modo bastante próximo de um passeio aleatório. Caminhos autoevitantes e polígonos autoevitantes ocupam um papel central em modelagem topológica e teoria dos nós no comportamento de moléculas em forma de filamentos e loops, como proteínas. Caminhos autoevitantes são fractais. Por exemplo, em a dimensão fractal é , para é próxima a enquanto para , a dimensão fractal é . A dimensão é chamada dimensão crítica superior quando acima dela o volume excluído é insignificante. Um caminho autoevitante que não satisfaz a condição de volume excluído foi recentemente estudado para modelar superfícies geométricas explícitas resultante da expansão do caminho autoevitante. As propriedades dos caminhos autoevitantes não podem ser calculadas analiticamente, então simulações numéricas são empregadas. O algoritmo de pivô é um método comum para simulações de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC) para medidas uniformes em caminhos autoevitantes de n passos. O algoritmo de pivô trabalha pegando um caminho autoevitante e aleatoriamente escolhendo um ponto desse caminho, e então aplicando uma operação simétrica (rotações e reflexões) no caminho depois do enésimo passo para criar um novo caminho. Calcular o número de caminhos autoevitantes em cada rede é um problema computacional comum. Não existe nenhuma fórmula conhecida para determinar o número de caminhos autoevitantes, embora existam métodos rigorosos para a aproximação. Conjectura-se que achar o número de caminhos dessa espécie seja um problema NP-difícil. Para caminhos autoevitantes, do fim de uma diagonal a outra, com apenas movimentos em posição positiva, existem exatamente caminhos para um retículo retangular m × n. (pt)
- 在数学中，自避行走（简称：SAW，Self-Avoiding Walk）是一种格点上的随机漫步，但是不会多次访问同一点。所以SAW不是一种马尔可夫链。SAW模型在物理学、化学、生物学中有很多应用。 (zh)
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- 在数学中，自避行走（简称：SAW，Self-Avoiding Walk）是一种格点上的随机漫步，但是不会多次访问同一点。所以SAW不是一种马尔可夫链。SAW模型在物理学、化学、生物学中有很多应用。 (zh)
- In der mathematischen Theorie der Irrfahrten sind selbstmeidende Pfade Wege auf einem Gitter, die nie zu einem bereits zuvor besuchten Punkt zurückkehren. Selbstmeidende Pfade sind das einfachste mathematische Modell für die Anordnung langer Polymerketten. (de)
- Un camino auto-evitado, o self-avoiding walk (SAW), es un camino que une dos puntos en un grafo plano con la condición de que no pasa por el mismo punto más de una vez. En particular, se pueden considerar caminos sobre la rejilla cuadrada 2-dimensional formada por los puntos en cuyas componentes son enteras. Un SAW es por lo tanto un camino de longitud que recorre las aristas de la rejilla sin interceptarse consigo mismo. En el estudio de estos caminos surgen dos preguntas fundamentales: (es)
- En mathématiques, un chemin auto-évitant (CAE), ou marche auto-évitante, est un chemin dans un réseau ne passant jamais par le même sommet ; lorsqu'il est fermé, on parle de polygone auto-évitant (PAE). Pour le graphe infini associé au réseau, les notions de CAE et de PAE correspondent à celles de chaînes et de cycles. (fr)
- In mathematics, a self-avoiding walk (SAW) is a sequence of moves on a lattice (a lattice path) that does not visit the same point more than once. This is a special case of the graph theoretical notion of a path. A self-avoiding polygon (SAP) is a closed self-avoiding walk on a lattice. Very little is known rigorously about the self-avoiding walk from a mathematical perspective, although physicists have provided numerous conjectures that are believed to be true and are strongly supported by numerical simulations. (en)
- Em matemática, um caminho autoevitante é uma sequência de movimentos em um retículo que não visita o mesmo ponto mais de uma vez. Este é um caso especial da noção de caminho da teoria dos grafos. Um polígono autoevitante é um caminho autoevitante fechado em um retículo. O termo caminho autoevitante foi introduzido pelo químico Paul Flory, a fim de modelar o comportamento real de entidades de configuração em cadeia, tais como solventes e polímeros, cujos volumes físicos proíbem múltiplas ocupações do mesmo ponto espacial. Muito pouco é conhecido rigorosamente a respeito dos caminhos auto-evitantes a partir de uma perspectiva matemática, apesar de que físicos terem provido numerosas conjecturas que são acreditadas serem verdade e fortemente apoiadas por simulações matemáticas, e que existam (pt)
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