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- Der Satz von Marczewski-Szpilrajn, manchmal auch nur Satz von Szpilrajn, benannt nach dem polnischen Mathematiker Edward Marczewski, der bis 1940 den Namen Szpilrajn führte, ist ein mathematischer Satz aus der Ordnungstheorie. Er besagt, dass sich jede partielle Ordnung zu einer linearen Ordnung erweitern lässt. Eine partielle Ordnung ist eine nicht-leere Menge zusammen mit einer 2-stelligen Relation , so dass
* für alle Elemente , wobei für das Nichtbestehen der Ordnung steht (Irreflexivität),
* Aus und folgt für alle Elemente (Transitivität). Die partielle Ordnung heißt linear, wenn je zwei Elemente entweder gleich sind oder in einer Ordnungsrelation stehen. Die gewöhnliche Anordnung < auf der Menge der reellen Zahlen ist eine lineare Ordnung. Definiert man auf die Ordnung genau dann, wenn und , so ist eine partielle Ordnung, die nicht linear ist.
* Satz von Marczewski-Szpilrajn: Jede partielle Ordnung lässt sich zu einer linearen Ordnung erweitern. Genauer bedeutet dies, dass es auf jeder partiell geordneten Menge eine lineare Ordnung < gibt, so dass aus stets folgt. Im oben angegebenen Beispiel ist etwa die lexikographische Ordnung eine lineare Ordnung, die fortsetzt. Man zeigt diesen Satz zunächst mittels vollständiger Induktion für endliche Mengen und führt den allgemeinen Fall mittels des Kompaktheitssatzes auf den Fall endlicher Mengen zurück, wie im unten angegebenen Lehrbuch von Philipp Rothmaler ausgeführt wird. (de)
- En mathématiques, le théorème d'extension de Szpilrajn, démontré par Edward Szpilrajn, établit que tout ordre partiel est contenu dans un ordre total.Intuitivement, le théorème dit qu'une comparaison entre éléments qui laisse quelques couples incomparables peut être étendue de telle manière que chaque élément est soit inférieur, soit supérieur à un autre. C'est l'un des nombreux exemples de l'utilisation de l'axiome du choix (sous la forme du lemme de Zorn) pour trouver un ensemble maximal avec certaines propriétés. (fr)
- In order theory, the Szpilrajn extension theorem (also called the order-extension principle), proved by Edward Szpilrajn in 1930, states that every strict partial order is contained in a total order. Intuitively, the theorem says that any method of comparing elements that leaves some pairs incomparable can be extended in such a way that every pair becomes comparable. The theorem is one of many examples of the use of the axiom of choice in the form of Zorn's lemma to find a maximal set with certain properties. (en)
- 슈필라인 확장정리(영어: Szpilrajn extension theorem) 또는 마르체프스키 확장정리(Marczewski extension theorem)는 집합론의 정리로, 선택 공리의 많은 응용 사례 중 하나이다. (ko)
- Теорема Шпильрайна — одна из центральных теорем теории упорядоченных множеств, впервые сформулированная и доказанная польским математиком Эдвардом Шпильрайном в 1930 году. (ru)
- Na matemática, O Teorema da Extensão de Szpilrajn, assim denominado em homenagem a Edward Szpilrajn (1930) (mais tarde chamado Edward Marczewski), é um dos muitos exemplos do uso do axioma da escolha (na forma do Lema de Zorn) para encontrar um conjunto maximal com certas propriedades. O teorema afirma que, dada uma relação binária R que é irreflexiva e transitiva sempre é possível encontrar uma extensão da relação (ou seja, uma relação T que inclui estritamente R), que é assimétrica, negativamente transitiva e conexa. Antes de tudo, precisamos de algumas definições de modo que fique claro qual é a terminologia que usaremos quando estivermos falando sobre as relações com propriedades particulares. (pt)
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- En mathématiques, le théorème d'extension de Szpilrajn, démontré par Edward Szpilrajn, établit que tout ordre partiel est contenu dans un ordre total.Intuitivement, le théorème dit qu'une comparaison entre éléments qui laisse quelques couples incomparables peut être étendue de telle manière que chaque élément est soit inférieur, soit supérieur à un autre. C'est l'un des nombreux exemples de l'utilisation de l'axiome du choix (sous la forme du lemme de Zorn) pour trouver un ensemble maximal avec certaines propriétés. (fr)
- In order theory, the Szpilrajn extension theorem (also called the order-extension principle), proved by Edward Szpilrajn in 1930, states that every strict partial order is contained in a total order. Intuitively, the theorem says that any method of comparing elements that leaves some pairs incomparable can be extended in such a way that every pair becomes comparable. The theorem is one of many examples of the use of the axiom of choice in the form of Zorn's lemma to find a maximal set with certain properties. (en)
- 슈필라인 확장정리(영어: Szpilrajn extension theorem) 또는 마르체프스키 확장정리(Marczewski extension theorem)는 집합론의 정리로, 선택 공리의 많은 응용 사례 중 하나이다. (ko)
- Теорема Шпильрайна — одна из центральных теорем теории упорядоченных множеств, впервые сформулированная и доказанная польским математиком Эдвардом Шпильрайном в 1930 году. (ru)
- Der Satz von Marczewski-Szpilrajn, manchmal auch nur Satz von Szpilrajn, benannt nach dem polnischen Mathematiker Edward Marczewski, der bis 1940 den Namen Szpilrajn führte, ist ein mathematischer Satz aus der Ordnungstheorie. Er besagt, dass sich jede partielle Ordnung zu einer linearen Ordnung erweitern lässt. Eine partielle Ordnung ist eine nicht-leere Menge zusammen mit einer 2-stelligen Relation , so dass
* für alle Elemente , wobei für das Nichtbestehen der Ordnung steht (Irreflexivität),
* Aus und folgt für alle Elemente (Transitivität). genau dann, wenn und , (de)
- Na matemática, O Teorema da Extensão de Szpilrajn, assim denominado em homenagem a Edward Szpilrajn (1930) (mais tarde chamado Edward Marczewski), é um dos muitos exemplos do uso do axioma da escolha (na forma do Lema de Zorn) para encontrar um conjunto maximal com certas propriedades. O teorema afirma que, dada uma relação binária R que é irreflexiva e transitiva sempre é possível encontrar uma extensão da relação (ou seja, uma relação T que inclui estritamente R), que é assimétrica, negativamente transitiva e conexa. (pt)
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- Satz von Marczewski-Szpilrajn (de)
- Théorème d'extension de Szpilrajn (fr)
- 슈필라인 확장정리 (ko)
- Szpilrajn extension theorem (en)
- Teorema da extensão de Szpilrajn (pt)
- Теорема Шпильрайна (ru)
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