Kettinglyn

In wiskunde is 'n kettinglyn die vorm wat 'n hangende buigbare ketting of kabel aanneem as dit onderworpe is aan 'n eenvormige swaartekrag wanneer beide punte daarvan ondersteun word en 'n entjie van mekaar is. Die ketting is die stylste by die twee hangpunte aangesien die deel van die ketting elk die helfte van die ketting se gewig dra. Aan die onderpunt van die kettinglyn is die helling van die ketting nul omdat die ketting daar net aan horisontale kragte onderworpe is.

Kettinglyne vir verskillende parameterwaardes

Die woord catenaria is afgelei van die Latynse woord catena, wat "ketting" beteken. Die kromme staan ook bekend as die alysoid, funikulêr, en chainette. Galileo het beweer dat die kromme van 'n ketting wat onder gravitasie hang 'n parabool sou wees, maar dit deur Jungius in 'n werk, wat in 1669 gepubliseer is, weerlê. In 1691 het Leibniz, Christiaan Huygens, en Johann Bernoulli die vergelyking afgelei in reaksie op 'n uitdaging deur Jakob Bernoulli. Huygens het die term 'catenaria' vir die eerste keer in 'n brief aan Leibniz in 1690 gebruik, en David Gregory het in 1690 'n verhandeling oor die kettinglyn geskryf. Die Engelse woord 'catenary' word gewoonlik toegeskryf aan Thomas Jefferson.

As 'n mens 'n parabool langs 'n reguit lyn rol trek die parabool se brandpunt 'n kettinglyn af. Soos in 1744 deur Euler bewys is, is dit ook die kromme wat, wanneer dit om die x-as geroteer word, die oppervlak, die katenoïed gee met die minimum-oppervlak vir die gegewe bounding sirkel.

Vierkantige wiele kan perfek glad rol as die pad eweredig gespasieerde hobbels in die vorm van 'n reeks omgekeerde kettinglyne het. Die wiele kan enige ewesydige veelkant wees, maar mens moet die regte kettinglyn gebruik wat ooreenkom met die vorm en dimensies van die wiel.

Die intrinsieke vergelyking van die kettinglynvorm word gegee deur die hiperboliese funksie en eksponensiële ekwivalent

$y=a\cdot \cosh \left({x \over a}\right)={a \over 2}\cdot \left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right).$

As $e^{x/a}$ en $e^{-x/a}$ uitgebrei word met 'n Taylor-reeks kry ons

$y=a\left(1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+{\frac {1}{24}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{4}+\cdots \right)$.

Wanneer $\left(x\ll a\right)$ kan die vierde krag en hoër terme verwaarloos word en die oorblyfsel is 'n parabool.

Hangbrûe

Die verskil tussen 'n parabool (blou) en 'n kettinglyn (rooi)

Vryhangende kettings en kabels volg die kromme van die bostaande hiperboliese funksie maar hangbrûe se kettings of kabels, wat op eenvormige intervalle aan die brugdek verbind is met vertikale kabels volg 'n paraboliese kromme amper soos Galileo aanvanklik beweer het.

Die eienskappe van hangende kabels het die interessante gevolg dat wanneer 'n hangbrug opgerig word, die kabels aanvanklik in die vorm van 'n kettinglyn hang, voor die kabel aan die dek daaronder vasgemaak word, en dan vervorm na 'n paraboliese kromme soos kabels daaraan geheg word en die brugdek daaraan begin hang.

Die omgekeerde kettinglynboog

Die kettinglyn is die ideale vorm vir 'n boog wat geen ander las dra nie. As dit van individuele elemente, waarvan die kontakoppervlaktes loodreg op die boogkromme is, gemaak word, sal geen beduidende skuifkrag by die lasse teenwoordig wees nie en die drukkrag na die grond toe sal direk langs die booglyn loop.

Kettinglyn boë in Gaudí se Casa Milá.

Die Katalaanse argitek Antoni Gaudí het van kettinglynvorme gebruik gemaak in meeste van sy werk insluitend die Sagrada Família katedraal. Om die ideale oplossing vir die gewelflyne te vind het hy omgekeerde skaalmodelle van menige koepels gemaak deur gespande lyne te gebruik om verskeie vlakke van samepersing voor te stel.

Die Gatewayboog in Sint Louis, Missouri, VSA het 'n omgekeerde kettinglyn vorm. Dit is 630 voet wyd en 630 voet hoog. Die presiese formule

$y=-127.7\;{\textrm {ft}}\cdot \cosh({x/127.7\;{\textrm {ft}}})+757.7\;{\textrm {ft}}$

word binne die boog vertoon.

Die Gatewayboog in Sint Louis, 'n omgekeerde kettinglyn

In struktuuringenieurswese is 'n kettinglyndop 'n strukturele vorm uit beton wat 'n kettinglynvorm het. Die profiel van die dop word verkry deur 'n buigsame materiaal te hang, en dit dan in 'n stywe raamwerk te verander waarin beton gegiet kan word en dan, gewoonlik omgekeerd, soos benodig te gebruik.

'n Pottebakersoond kan met vuurstene in die vorm van 'n kettinglyn gebou word. Die stene wat met vuurklei in plaas van sement gemessel word, word op 'n tydelik kettinglynvorm gebou wat dan verwyder word wanneer die oond voltooi is. Die oondvorm het die voordeel dat dit nie mettertyd as gevolg van herhaalde verhitting- en verkoelingsiklusse self afbreek nie — meeste ander vorms soos 'n vertikale silinder moet met staalbande aan mekaar gehou word.

Sleeptoue

A vakwerkboogbrug wat 'n omgekeerde kettinglynboog gebruik

Sleurkragte affekteer die kettinglynvorm van 'n kabel in ewewig wat gesleep word, wat aanleiding gee tot meer algemene vorms. 'n Kabel met radius $a$ en spesifieke gravitasie $\sigma$, en gesleep teen $v$ in 'n medium (byvoorbeeld lug of water) met digtheid $\rho _{0}$, sal 'n $(x,y)$ posisie hê wat deur die volgende vergelyking beskryf word (Dowling 1988):

${\frac {dT}{ds}}=-\rho _{0}\left({\sigma -1}\right)\pi a^{2}g\sin \phi -\rho _{0}v^{2}\pi aC_{T}\cos \phi ;$

$T{\frac {d\phi }{ds}}=-\rho _{0}\left({\sigma -1}\right)\pi a^{2}g\cos \phi +\rho _{0}av^{2}\left[{C_{D}\sin \phi +\pi C_{N}}\right]\sin \phi ;$

${\frac {dx}{ds}}=\cos \phi ;$

${\frac {dy}{ds}}=-\sin \phi .$

Hier is $T$ die spanning, $\phi$ die invalshoek, $g=9.81{m}/{s}^{2}$, en $s$ is die kabelhelling. Daar is drie sleurkoëffisiente: die normaal sleurkoëffisient $C_{D}$ ($\approx 1.5$ vir 'n gladde silindriese kabel); die raaklynige sleurkoëffisient $C_{T}$ ($\approx 0.0025$), en $C_{N}$ ($=0.75C_{T}$).

Die vergelykingstelsel het vier vergelykings en vier onbekendes: $T$, $\phi$, $x$ en $y$, en word tipies numeries opgelos.

Kritiese Hoektou

Kritiese hoektou kom voor as die invalshoek nie verander nie. In praktyk is kritiese hoektou algemeen en kom voor ver van beduidende puntkragte.

Stel van ${\frac {d\phi }{ds}}=0$ lei tot 'n vergelyking vir die kritiese hoek:

$\rho _{0}\left({\sigma -1}\right)\pi a^{2}g\cos \phi =\rho _{0}av^{2}\left[{C_{D}\sin \phi +\pi C_{N}}\right]\sin \phi .$

As $\pi C_{N}\ll C_{D}\sin \phi$, word die formule vir die kritiese hoek

$\rho _{0}\left({\sigma -1}\right)\pi a^{2}g\cos \phi =\rho _{0}av^{2}{C_{D}\sin }^{2}{\phi ;}$

of

$\left({\sigma -1}\right)\pi ag\cos \phi =v^{2}{C_{D}\sin }^{2}{\phi =}v^{2}{C_{D}}\left(1-\cos ^{2}\phi \right);$

of

$\cos ^{2}\phi +{\frac {\left({\sigma -1}\right)\pi ag}{v^{2}{C_{D}}}}\cos \phi -1=0;$

wat lei tot die praktiese formule

$\cos \phi =-{\frac {\left({\sigma -1}\right)\pi ag}{2v^{2}{C_{D}}}}+{\sqrt {1+{\frac {\left({\sigma -1}\right)^{2}\pi ^{2}a^{2}g^{2}}{4v^{4}{C_{D}^{2}}}}}}.$

Die sleurkoëffisiënt van 'n stroombelynde kabel is meer ingewikkeld en behels die gebruik van laaifunksies wat die verandering in sleur as 'n funksie van die invalshoek in ag neem.

Verwysings

• A.P. Dowling, The dynamics of towed flexible cylinders. Part 2.
• Negatively buoyant elements (1988). Journal of Fluid Mechanics, 187, 533-571.

Eksterne skakels

• Hanging With Galileo – wiskundige afleiding van die formule vir ondersteunde en vryhangende kettings; interaktiewe grafiese demonstrasie van parabolies teenoor hiperboliese gevalle.
• Kettinglyn Demonstrasie Eksperiment Geargiveer 28 Desember 2007 op Wayback Machine
• Horisontale Verveorbandrangskikking