Hipérbola

Hipérbola
	non-degenerate conic section (en) y espiral sinusoidal (es)

Una hipérbola (del griegu ὑπερβολή) ye una seición cónica, una curva abierta de dos rames llograda cortando un conu rectu por un planu oblicuu a la exa de simetría, y con ángulu menor que'l de la generatriz respectu de la exa de revolución.^[1]

Una hipérbola ye'l llugar xeométricu de los puntos d'un planu tales que'l valor absolutu de la diferencia de les sos distancies a dos puntos fixos, llamaos focos, ye igual a la distancia ente los vértices, que ye una constante positiva.

Etimoloxía. Hipérbole ya hipérbola

Seiciones cóniques.

Hipérbola deriva de la pallabra griega ὑπερβολή (escesu), y ye cognáu de hipérbole (la figura lliteraria qu'equival a desaxeración).

Historia

Por cuenta de l'enclín de la corte, el planu de la hipérbola interseca dambes cañes del conu.

Según la tradición, les seiciones cóniques fueron afayaes por Menecmo, nel so estudiu del problema de la duplicación del cubu,^[2] onde demuestra la esistencia d'una solución por aciu la corte d'una parábola con una hipérbola, lo cual ye confirmáu darréu por Proclo y Eratóstenes.^[3]

Sicasí, el primeru n'usar el términu hipérbola foi Apolonio de Perge nel so tratáu Cóniques,^[4] considerada obra cume sobre la tema de les matemátiques griegues, y onde se desenvuelve l'estudiu de les tanxentes a seiciones cóniques.

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenaes cartesianes: Ecuación d'una hipérbola con centru nel orixe de coordenaes $(0,0)\,$ y ecuación de la hipérbola na so forma canónica.

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

Ecuación d'una hipérbola con centru nel puntu $(h,k)\,$

{\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1

Exemplos:

a)

{\frac {(x)^{2}}{25}}-{\frac {(y)^{2}}{9}}=1

b)

{\frac {(y)^{2}}{9}}-{\frac {(x)^{2}}{25}}=1

Si la exa x ye positivu, entós la hipérbola ye horizontal; si ye al aviesu, ye vertical. La escentricidá d'una hipérbola siempres ye mayor qu'unu.

Ecuación de la hipérbola na so forma complexa

Una hipérbola nel planu complexu ye'l llugar xeométricu formáu por un conxuntu de puntos $z\,$ , nel planu $ReIm\,$ ; tales que, cualesquier d'ellos satisfai la condición xeométrica de que'l valor absolutu de la diferencia de les sos distancies $|z-w_{1}|-|z-w_{2}|\,$ , a dos puntos fixos llamaos focos $w_{1}\,$ y $w_{2}\,$ , ye una constante positiva igual al doble de la distancia (esto ye $2l\,$ ) qu'esiste ente'l so centru y cualesquier de los sos vértices de la exa focal.

La ecuación queda: $|z-w_{1}|-|z-w_{2}|=2l\,$

Evidentemente esta operación llevar a cabu nel conxuntu de los númberos complexos.

Ecuaciones en coordenaes polares

Dos hipérboles y los sos asíntotas en coordenaes cartesianes.

Hipérbola abierta de derecha a esquierda:

r^{2}=a\sec 2\theta \,

Hipérbola abierta de riba abaxo:

r^{2}=-a\sec 2\theta \,

Hipérbola abierta de nordés a suroeste:

r^{2}=a\csc 2\theta \,

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

r^{2}=-a\csc 2\theta \,

Hipérbola con orixe nel focu derechu:

$r(\theta )={\frac {a(\varepsilon ^{2}-1)}{1-\varepsilon \cos \theta }}$

Hipérbola con orixe nel focu esquierdu:

$r(\theta )={\frac {a(\varepsilon ^{2}-1)}{1+\varepsilon \cos \theta }}$

Ecuaciones paramétricas

Imaxe de seición cónica.

Hipérbola abierta de derecha a esquierda:

{\begin{matrix}x=a\sec t+h\\y=b\tan t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x=\pm a\cosh t+h\\y=b\sinh t+k\\\end{matrix}}

Hipérbola abierta de riba abaxo:

{\begin{matrix}x=a\tan t+h\\y=b\sec t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x=a\sinh t+h\\y=\pm b\cosh t+k\\\end{matrix}}

En toles fórmules (h,k) son les coordenaes del centru de la hipérbola, a ye'l llargor del semiexe mayor, b ye'l llargor del semiexe menor.

Elementos de la hipérbola

Exa mayor o real

La exa mayor ye la recta de la hipérbola onde pertenecen los focos y los vértices de la mesma. El so valor ye 2a y ye perpendicular a la exa imaxinaria

Exa menor o imaxinariu

La exa menor o imaxinariu nun tien puntos de mancomún cola hipérbola. Sicasí, siempres se cumple que les perpendiculares llanzaes pelos sos estremos corten coles perpendiculares llanzaes pelos estremos de la exa mayor en 4 puntos que pueden sirvir pa trazar les asíntotas.

Asíntotas

Son les rectes r y r' que pasen pel centru de la hipérbola y verifiquen que s'averen a les cañes al alloñar del centru de la hipérbola.

Les ecuaciones de les asíntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/a r

Vértices

Los vértices d'una hipérbola son los puntos onde esta curtia a les sos exes.

Focos

Son dos puntos, $F_{1}\,y\,F_{2}$ , respectu de los cualos permanez constante la diferencia de distancies (en valor absolutu) a cualquier puntu, $x$ , de dicha hipérbola.

\vert d(F_{1},x)-d(F_{2},x)\vert =cte

Centro

Puntu mediu de los vértices y de los focos de la hipérbola.

Tanxentes

La tanxente a una hipérbola en cualquier puntu de la curva ye bisectriz del ángulu formáu pelos radios vectores d'esi puntu.

Radiu de combadura

Sía'l puntu $M(x_{0},y_{0})$ de la hipérbola, entós el radiu de combadura ye

$R=a^{2}b^{2}({\frac {x_{0}^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{4}}})^{\frac {3}{2}}={\frac {(r_{1}\cdot r_{2})^{1.5}}{ab}}$

, la ecuación de la hipérbola ye

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

^[5]

Árees

01.Sía'l segmentu $AMN$ onde A, vértiz d'una caña; M y N estremos d'una cuerda perpendicular a la exa focal, entós l'área ye

$AMN=x\cdot y-a\cdot b\cdot \ln \left({\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}\right)=a\cdot b\cdot \operatorname {Arch} {\frac {x}{a}}$

02. Sía'l cuadriláteru curvu $OAMG$ , onde O (orixe de coordenaes); segmentu OG sobre una asíntota; OA estremos centru y un vértiz; y $M(xy)$ un puntu de la hipérbola; MA un arcu d'hipérbola; L'área ye

$OAMG={\frac {a\cdot b}{4}}+{\frac {a\cdot b}{2}}\cdot \ln {\frac {2OG}{c}}$ ^[6]

Ver tamién

Referencies

↑ Si l'ángulu de planu interseición, respectu de la exa de revolución, ye mayor que l'entendíu ente la generatriz y la exa de revolución, la interseición va ser una elipse. Va Ser una parábola si ye paralelu a la citada exa, y una circunferencia si ye perpendicular a la exa.
↑ Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathematics vol. 1 (n'inglés). Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918.
↑ Ken Schmarge. «Conic Sections in Ancient Greece» (inglés). Consultáu'l 2 de xunu de 2008.
↑ J. J. O'Connor y Y. F. Robertson. «Apollonius of Perga» (inglés). Consultáu'l 2 de xunu de 2008.
↑ Bronshtein et al Manual de matemátiques pa inxenieros y estudiantes Editorial Mir Moscú (1973)
↑ Bronshtein Op. cit.

Enllaces esternos

Exercicios resueltos y videu tutoriales sobre hipérbola
Animación d'un planu seicionando un conu y determinando la curva cónica hipérbola (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).
Apollonius' Derivation of the Hyperbola at Convergence
Plantía:Planetmath reference
Plantía:Planetmath reference
Plantía:Planetmath reference
Weisstein, Eric W. «Hipérbola» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.

[1] Si l'ángulu de planu interseición, respectu de la exa de revolución, ye mayor que l'entendíu ente la generatriz y la exa de revolución, la interseición va ser una elipse. Va Ser una parábola si ye paralelu a la citada exa, y una circunferencia si ye perpendicular a la exa.

[Heath-2] Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathematics vol. 1 (n'inglés). Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918.

[3] Ken Schmarge. «Conic Sections in Ancient Greece» (inglés). Consultáu'l 2 de xunu de 2008.

[4] J. J. O'Connor y Y. F. Robertson. «Apollonius of Perga» (inglés). Consultáu'l 2 de xunu de 2008.

[5] Bronshtein et al Manual de matemátiques pa inxenieros y estudiantes Editorial Mir Moscú (1973)

[6] Bronshtein Op. cit.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Hipérbola
non-degenerate conic section ^(en) y espiral sinusoidal ^(es)