Transsendent ədəd

Transsendent ədədlər (lat. transcendere — keçmək, üstələmək) — cəbri olmayan, kompleks və ya həqiqi ədədlər, başqa sözlə, qüvvəti tam ədəd (və ya rasional) olan polinomun (çoxhədlinin) kökü olmayan həqiqi ədədləri.

Xüsusiyyətlər

Bir çox transsendent ədəd kontinualdır.
Hər bir transsendent həqiqi ədəd irrasionaldır, amma əks proses tamamilə yanlışdır, yəni bütün irrasional ədədlər transsendent ədəd deyildir. Məsələn, ${\sqrt {2}}$ ədədi — irrasionaldır, amma transsendent ədəd deyildir: çünki bu ədəd $\!x^{2}-2$ çoxhədlisinin köküdür (və buna görə də bu ədəd cəbri ədəddir).
Bir çox həqiqi transsendent ədəd sırası, bir çox irrasional ədəd sırası ilə izomorfdur.
Demək olar ki, hər bir transsendent ədədin irrasionallığının ölçüsü 2-yə bərabərdir.

Nümunələr

$\!\pi$ ədədi.
$\!e$ ədədi^[1].
İstənilən tam ədədin ( $\!10^{n}$ -dən başqa) onluq loqarifması^[2].
$\!\sin a$ , $\!\cos a$ və $\!\mathrm {tg} \,a$ , sıfırdan fərqli ixtiyari $\!a$ cəbri ədədi üçün (Lindeman — Veyerştrass teoreminə görə).

Tarixi

İlk dəfə transsendent ədəd anlayışını elmə, 1844-cü ildə Liuvill Jozefal daxil etdi. O, öz teoremində sübut etdi ki, cəbr ədədə, rasional kəsrlə yaxınlaşmaq mümkün deyil.

1873-cü ildə Ermit Şarl , natural loqarifmaların əsaslarında e ədədinin transsendentliyini sübut etdi.

1882-ci ildə Lindeman Ferdinand sıfırdan fərqli cəbr göstəricisi ilə e ədədinin dərəcəsinin transsendentliyi haqqında teoremi sübut etdi, bununla da $\pi$ ədədinin və dairə kvadraturası məsələsinin həll edilməzliyinin transsendentliyini sübut etdi.

1900-cü ildə keçirilən II Riyaziyyatçıların Beynəlxalq konqressind ə Hilbert David iştirakçılara qeyd edilmiş problemlər arasında yeddinci problemi açıqladı: " Əgər $a\neq 0$ — cəbri ədəddirsə və eyni zamanda $\!b$ ədədi də cəbridirsə, amma irrasionaldırsa, $\!a^{b}$ —nin transsendent ədəd olduğunu söyləmək düzgun olarmı?" Xüsusi halda, $2^{\sqrt {2}}$ ədədi transsendentdir. Bu problem 1934-cü ildə Gelfondom tərəfindən həll edilmişdi. O, sübut etdi ki, bütün bu tip ədədlər həqiqətən transsendentdir.

Bəzi açıq problemlər

$\ln \pi$ ədədinin rasional, cəbri, irrasional və ya transsendent ədəd olduğu məlum deyil^[3].

$\ln 2,\ln 3$ ədədlərinin üçün irrasionallığı naməlumdur^[4].

Mənbə

↑ "Proof that $e$ is transcendental". 2011-08-15 tarixində orijinalından arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2014-01-03.
↑ Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
↑ Weisstein, Eric W. " $\pi$ ədədi". Wolfram MatWorld saytından. 2014-12-06 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2014-01-03. (ing.)
↑ Weisstein, Eric W. "İrrasionallıq". Wolfram MatWorld saytından. 2015-04-21 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2014-01-03. (ing.)

[1] "Proof that $e$ is transcendental". 2011-08-15 tarixində orijinalından arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2014-01-03.

[2] Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.

[3] Weisstein, Eric W. " $\pi$ ədədi". Wolfram MatWorld saytından. 2014-12-06 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2014-01-03. (ing.)

[4] Weisstein, Eric W. "İrrasionallıq". Wolfram MatWorld saytından. 2015-04-21 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2014-01-03. (ing.)

[1]

[2]

[3]

[4]