Ҡушыу

Ҡушыу (“+” плюс символы менән тамғалана) —– арифметик ғәмәл. $a$ һәм $b$ һандарын ҡушыу һөҙөмтәһе булып $a$ һәм $b$ һандарының (ҡушылыусыларының) суммаһы тип аталған һәм $a+b$ тип тамғаланған һан тора.

Дәреслектәрҙә йыш ҡына ҡушыуҙа алмалар һәм 3 + 2 = 5 тигеҙләмәһе менән аңлаталар

Ҡушыу-алыу, ҡабатлау һәм бүлеү ғәмәлдәре менән бер рәттән арифметиканың дүрт иң ябай математик ғәмәлдәренең береһе. Ике натураль һанды ҡушыу һөҙөмтәһе был дәүмәлдәрҙең уртаҡ суммаһы була. Мәҫәлән, һүрәттәге өс һәм ике алманан торған комбинация йәғни «3 плюс 2 тигеҙ 5–кә». Емеш-еләкте иҫәпләүҙән тыш ҡушыу ғәмәлен башҡа физик обьекттарҙың комбинацияһы аша күҙалларға мөмкин. Дөйөмләштереү һөҙөмтәһендә ҡушыу ғәмәлен бөтөн һандар, рациональ һандар, ыссын һандар һәм комплекс һандар кеүек абстракт дәүмәлдәр өсөн һәм вектор, матрица кеүек абстракт обьекттар өсөн билдәләргә мөмкин. Арифметикала шулай уҡ кәсер һәм тиҫкәре һандарҙы ҡушыу өсөн махсус ҡағиҙәләр эшләнгән. Алгебрала ҡушыу ғәмәле абстрактлы өйрәнелә.

Дөйөм күренештә ҡушыу ғәмәленошолай яҙалар: $S(a,b)=c$, бында где $a\in A$ и $b\in A$ $(a,b)$ һәм . Йәғни A күмәклегенән алынған һәр элементтары парына a һәм b-ның суммаһы тип аталған элементы ярашлы ҡуйыла. Ҡушыу ғәмәлен ике аргумент та бер үк элементтар күмәклегенә ингән осраҡта (бер үк типта булғанда) ғына башҡарып була.

Ҡушыу ғәмәленең бер-нисә мөһим үҙсәнлеге бар. Мәҫәлән, A – ыссын һандар күмәклеге өсөн:

Коммутативлыҡ:$a+b=b+a,\quad \forall a,b\in \ A$^{[см. «Коммутативность»]}

Ассоциативлыҡ:$(a+b)+c=a+(b+c),\quad \forall a,b,c\in \ A$^{[см. «Ассоциативность»]}

Дистрибутивлыҡ: $x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.$

Нулдең йотолоу үҙсәнлеге: $0$ һанына ҡушҡанда бирелгән һанға тигеҙ һан килеп сыға:$x+0=0+x=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.$

Ҡушыу ғәмәле алыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәренә ҡағылған ҡағиҙәләргә лә буйһона. Ҡушыу – һандар менән иң ябай мәсьәләләрҙең береһе. Бик бәләкәй һандарҙы ҡушыу хатта балаларға ла аңлашыла. Иң ябай мәсьәлә: 1+1 биш айлыҡ бала, хатта ҡайһы бер хайуандар тарафынан да сиселергә мөмкин. Башланғыс мәктәптә унарлы иҫәпләү системаһында һанарға өйрәтәләр. Бәләкәй генә һандарҙы ҡушыуҙан башлап мәсьәлә ҡатмарлаша бара.Ҡушыу ғәмәлен башҡарыу өсөн төрлө ҡулайламалар: боронғо абактан башлап хәҙерге заман компьютерына тиклем бар. Ҡушыу ғәмәлен эффективлыраҡ ысул менән башҡарыу әлеге көндә лә актуаль булып ҡала. Яҙыу ысулы һәм терминология

Плюс символы

Ҡушыу ғәмәле ҡушылыусылар араһында “+” плюс символы ҡуйылып яҙыла. Бындай яҙыу формаһы инфиксная нотация тип атала. Һөҙөмтәне тигеҙлек билдәһе ҡулланып яҙалар. Мәҫәлән,

$1+1=2$ («бер плюс бер тигеҙ икегә»)

$2+2=4$(«ике плюс ике тигеҙ дүрткә»)

$3+3=6$ («өс плюс өс тигеҙ алтыға»)

$5+4+2=11$ (ҡара. «ассоциативность» ниже)

$3+3+3+3=12$(ҡара. «умножение» ниже)

Бағаналап ҡушыу:
5 + 12 = 17

Ҡайһы бер осраҡта ҡушыу символы яҙылмай, ләкин ҡушыу ғәмәле башҡарыла тип күҙ уңында тотола.:

• Әгәр һандар бағаналап яҙылһа һәм һуңғы һандың аҫтына һыҙылһа, бағаналағы бөтә һандар ҙа ҡушыла, ә килеп сыҡҡан сумма һыҙыҡ аҫтына яҙыла тип иҫәпләнә.
• Әгәр яҙылышта кәсер алдында бөтөн һан торһа, был яҙыу ике ҡушылыусының – бөтөн һандың һәм кәсерҙең суммаһын аңлата, был һанды аралаш һан тип атайҙар. Мәҫәлән:

31/2 = 3 +1/2 = 3.5.

• Бындай яҙыу буталсыҡ тыуҙырырға мөмкин, сөнки күпселек осраҡта был яҙыу ҡушыуҙы түгел, ә ҡабатлауҙы аңлата.
• Бәйләнешле һандар рәтенең суммаһы сигма символы ҡулланып яҙыла Мәҫәлән,

Ҡушылыусылар — бер-береһенә ҡушылыусы һандар йәки объекттар. Плюс символы «+» (Юникод:U+002B; ASCII: +) — “һәм” тигәнде аңлатыусы латин һүҙен «et» ябайлаштырыуҙан килеп сыҡҡан. Башлап был символ китаптарҙа 1489 йылдан алып осрай..[7] Интерпретациялар Ҡушыу бик күп физик процесстарҙы кәүҙәләндереү өсөн ҡулланыла. Хатта иң ябай натураль һандарҙы ҡушыуҙың да бик күп төрлө аңлатмаһы бар. ә күҙ алдына баҫтырыу ысулдары тағы ла күберәк.

Йыйылмаларҙы берләштереү

Моғайын, ҡушыуҙы иң төп кәүҙәләндереү ысулы – йыйылмаларҙы берләштереү:

• Әгәр ике йәки унан күберәк киҫешмәүсе обьекттар йыйылмаһын бер йыйылмаға берләштерһәң, барлыҡҡа килгән йыйылмалағы обьекттар һаны тәүге йыйылмаларҙағы обьекттарҙың суммаһына тигеҙ.

Был кәүҙәләндереүҙе еңел күҙ алдына баҫтырырға мөмкин, шул уҡ ваҡытта ике төрлө аңлау ҡурҡынысы юҡ. Был шулай уҡ юғары математикала файҙалы; ҡушыуҙың ҡәтғи аңлатмаһы түбәндә бирелгән, см. Натуральные числа аҫта. Ләкин был аңлатма буйынса нисек кәсер һәм тиҫкәре һандарҙы ҡушыуҙы аңлатырға, аңлашылып етмәй[8]. Был аңлашылмаусанлыҡты хәл итеү өсөн еңел ваҡлап булған обьекттарға, мәҫәлән, бәлеш, ә тағы ла яҡшыраҡ –бүлкәттәре булған күсәргә мөрәжәғәт итергә кәрәк. Бүлкәттәр йыйылмаһын берләштереү урынына бүлкәттәрҙе бер-береһенә остары менән ялғарға мөмкин, был ҡушыу тураһында икенсе фекерҙе кәүҙәләндерә: күсәрҙәр ҡушылмай, ә уларҙың оҙонлоғо ҡушыла. Оҙонлоҡ төшөнсәһен киңәйтеү 2 + 4 = 6 суммаһын һанлы тура һыҙыҡта һүрәтләү. 2 берәмеккә һәм тағы 4 берәмеккә күсеү – ул шул уҡ 6 берәмеккә күсеү.

2 + 4 = 6 суммаһын тура һыҙыҡта кәүҙәләндереүҙең тағы бер ысулы.4 берәмеккә күсеү – 1-әр берәмеккә 4 тапҡыр күсеү менән бер үк. Ҡушыу ғәмәлен күҙаллауҙың икенсе ысулы тәүге оҙонлоҡто өҫтәлгән дәүмәл оҙонлоғона үҙгәртеү булып тора.

• Башланғыс оҙонлоҡ өҫтәлгән оҙонлоҡҡа киңәйгәндә табылған оҙонлоҡ тәүге оҙонлоҡтоң һәм уға өҫтәлгән оҙонлоҡтоң суммаһына тигеҙ[10]. a + b суммаһын a һәм b –ны алгебраик мәғәнәлә берләштереүсе бинар операция итеп ҡарарға ла, a. Һанына b берәмекте өҫтәү тип әйтергә лә мөмкин. Һуңғы кәүҙәләнештә a + b суммаһының компоненттары асимметрик роль уйнайҙар, һәм a + b ғәмәле a һанына +b[11] унар операцияһын ҡулланыу итеп ҡарала Бындай ҡараш алыу төшөнсәһенә күсергә мөмкинлек бирә, сөнки һәр унар ҡушыу ғәмәле өсөн кире унар алыуғәмәле бар һәм киреһенсә.

Үҙсәнлектәре

Коммутативлыҡ

4 + 2 = 2 + 4 тигеҙлеген блоктар ярҙамында күҙаллау

Ҡушыу коммутативлы: суммала ҡушылыусыларҙың урынлашыу тәртибен үҙгәртергә мөмкин, бынан һөҙөмтә үҙгәрмәй.Символлы яҙыуҙа:әгәр a и b — ниндәйҙер ике һан булһа, ул саҡта a + b = b + a. Ҡушыу ғәмәленең коммутатив булыуы “ҡушыуҙың коммутатив законы” булараҡ билдәле. Был фраза коммутативлыҡтың икенсе закондары ла барлығын аңлата: мәҫәлән, ҡабатлауҙың коммутатив үҙәсәнлеге бар. Ләкин ҡайһы бер алыу һәм бүлеү кеүек бинар ғәмәлдәр коммутатив түгел, шуға күрә тик “коммутатив закон” тип кенә һөйләү хата булыр ине.

Ассоциативлыҡ

2+(1+3) = (2+1)+3 тигеҙлеген бүлемле стержень ярҙамында һүрәтләү

Ҡушыу ассоциативлыҡ үҙсәнлегенә эйә: өс һәм унан күберәк һандарҙы ҡушҡанда һандарҙың урынлашыу тәртибе әһәмиәтле түгел. Мәҫәлән, a + b + c суммаһы (a + b) + c йәки a + (b + c) суммаһын аңлата. Ҡушыуҙың ассоциативлыҡ үҙсәнлеге тәҡдим ителгән варианттарҙың ҡайһыһын һайлау әһәмиәтле түгел тигәнде аңлата.Теләһә ниндәй a, b, һәм c һандары өсөн (a + b) + c = a + (b + c) тигеҙлеге дөрөҫ. Мәҫәлән, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).

Ҡушыу ғәмәле башҡа ғәмәлдәр менән бергә ҡулланылғанда һандарҙың урынлашыу тәртибе мөһим. Ғәмәлдәрҙе башҡарыу тәртибендә ҡушыу дәрәжәгә күтәреү, тамыр алыу, ҡабатлау һәм бүлеү ғәмәлдәренән түбәнерәк, ә алыу ғәмәле менән тигеҙ өҫтөнлөктә.

Нейтраль элемент

5 + 0 = 5 тигеҙлеген нөктәләре булған сумка ярҙамында һүрәтләү

Әгәр ноль һанын теләһә ниндәй һанға ҡушһаң, был һандың ҡиммәте үҙгәрмәй; ноль — ул ҡушыу ғәмәле өсөн нейтраль элемент, аддитив берәмек[en] булараҡ та билдәле. Символик яҙыу: теләһә ниндәй a һаны өсөн, a + 0 = 0 + a = a.

Был закон беренсе тапҡыр 628 йылда Брахмагупта тарафынан яҙылған Брахманың төҙәтелгән трактатында[en] әйтеп бирелгән. Ул был законды өс айырым закон: тиҫкәре, ыңғай һәм a нуль һаны өсөн яҙған. Был закондарҙы яҙыу өсөн ул алгебраик символдар түгел, ә һүҙҙәр ҡулланған. Һуңғараҡ индия математиктәре[en] төшөнсәләргә асыҡлыҡ индергәндәр; 840 йылдар тирәһендә Махавира[en] «ноль, уға нимә өҫтәлһә, шулай булып китә » тип яҙа.Был 0 + a = a.тигеҙлегенә тап килә. 12 быуатта Бхаскара II : «Әгәр өҫтәргә лә, алырға ла бер нәмә лә булмаһа, ул саҡта ыңғай һәм тиҫкәре миҡдар, нисек булһа шул көйө ҡала» тип яҙа, был a + 0 = a[13] тигеҙлегенә тап килә.

Артабанғы һан

Бөтөн һандар өсөн берәмекте ҡушыу шулай уҡ мөһим әһәмиәткә эйә: теләһә ниндәй a бөтөн һаны өсөн (a + 1) бөтөн һаны — a –нан берәмеккә ҙурыраҡ булған иң бәләкәй һан, a[14] һаны артынан килеүсе артабанғы һан [en] тип тә әйтәләр. Мәҫәлән, 3 —2 артынан килеүсе һан, 7 — 6 артынан килеүсе һан. Ошо ҡараштан сығып, «a» + «b» һанын «а» артынан -сы булып килеүсе һан тип әйтергә мөмкин. Шулай итеп, ҡушыу ғәмәленэҙмә-эҙ рәүештә артабанғы һанды табыутип атарға була. Мәҫәлән, 6 + 2 = 8 була, сөнки 8, 6 артынан килеүсе 7 артынан килә, шулай итеп 8 — 6 артынан килеүсе икенсе һан.

Үлсәү берәмектәре

Физик дәүмәлдәрҙе ҡушыу өсөн уларҙы уртаҡ үлсәү берәмектәре[15] аша күрһәтергә кәрәк. Мәҫәлән, әгәр 50 миллилитрҙы һәм 150 миллилитрҙы ҡушһаң, 200 миллилитр килеп сыға. Ләкин, әгәр 5 футҡа 2 дюймды ҡушһаң, суммала 62 дюйм килеп сыға, Сөнки 60 дюйм ул шул уҡ 5 фут. Икенсе яҡтан, 3 метр һәм 4 квадрат метрҙы ҡушыуҙың мәғәнәһе юҡ, сөнки был үлсәү берәмектәре сағыштырғыһыҙ.Бындай фекерләү үлсәнеш анализында мөһим урын алып тора.

Ҡушыуҙы башҡарыу

Тыумыштан һәләт

1980 йылдарҙа башланған математик һәләттәрҙең үҫеүен тикшереү ғәҙәтләнеү феноменын асҡан: яңы тыуған балалар үҙҙәре өсөн көтөлмәгән ситуацияларға оҙағыраҡ ҡарайҙар[16]. 1992 йылдағы Карен Винн[en] экспериментында Микки Маус ҡурсаҡтары ҡулланыла, улар менән шаршау артында төрлө хәйләле эш башҡаралар. Был эксперимент биш айлыҡ балаларҙың 1+1-ҙең 2 булыуын көтөүен, ә 1+1-ҙең 1 йәки 3 булған осрағында ғәжәпләнеүен асыҡлаған. Һуңғараҡ был һөҙөмтә башҡа лабораторияларҙа төрлө ысулдар[17] ҡулланып раҫланған. 1992 йылда өлкәнерәк, 18 айҙан алып 35 айға тиклемге балалар[en] менән үткәрелгән экспериментта, тартманан пинг-понг өсөн шариктар үрелеп алырға мөмкинлек биреүсе хәрәкәт функциялары үҫеше ҡулланыла; бәләкәйерәк балалар әҙерәк һандағы шариктәр менән яҡшы эш итә алған, өлкәнерәктәре 5[18] –кә тиклемге суммаларҙы иҫәпләргә өйрәнгән. Хатта ҡайһы бер хайуандар ҙа, бигерәк тә приматтар ҡушыу һәләтенә эйә. 1995 йылғы эксперимент 1992 йылдағы Винн экспериментына оҡшаш була, тик ҡурсаҡтар урынына баклажандар ҡулланыла. Макака-резустар һәм эдипов тамариндар кеше балаларына оҡшаш һәләттәргә эйә булып сыҡҡан. Улай ғына түгел, бер шимпанзе, уны 0 –дән 4-кә тиклемге ғәрәп цифрҙарын айырырға һәм аңларға өйрәткәндән һуң, ике һандың суммаһын бер ниндәй әҙерлекһеҙ[19] иҫәпләй алған. Һуңғараҡ азия филдәре төп арифметик операцияларҙы[20] үҙләштерә алыуы асыҡланған.

Балаларҙың ҡушыу ғәмәлен үҙләштереүе

Ҡағиҙә булараҡ, тәүҙә балалар иҫәпләргә өйрәнәләр[en]. Ике йәки өс предметты берләштереү талап ителгән мәсьәлә бирелһә, бәләкәй балалар билдәле предметтарға мөрәжәғәт итәләр, мәҫәлән, бармаҡ менән йәки һүрәт ярҙамында. Тәжрибә туплаған һайын улар үҙҙәре өсөн "иҫәп-хисап" ысулы асалар: ике ҡушабыҙ өс (2+3) нисә булғанын иҫәпләргә кәрәк булһа, балалар өс һанынан һуң килгән ике һанды һанайҙар,(ғәҙәттә бармаҡтарын бөкләй барып)һөйләнәләр: "өс, дүрт, биш", һәм, һөҙөмтәлә биш һанын табалар. Был ысул универсаль тиерлек булып күренә; балалар уны тиңдәштәренән йәки уҡытыусыларҙан еңел отоп алалар[21]. Күп балалар үҙҙәре быға өлгәшәләр.Күпмелер тәжрибә туплағас, ҡушыуҙың коммутативлыҡ үҙсәнлеген ҡулланып, балалар тиҙерәк ҡушырға өйрәнәләр, һандарҙы суммалағы иң ҙур һандан башлап һанап, юғарыла әйтелгән осраҡтағы кеүек, өстән башлап "дүрт, биш" тип һанайҙар. Аҙаҡҡа табан балалар, тәжрибә юлы менән туплап, йәки хәтерҙә ҡалдырып, ҡушыу тураһында ниндәйҙер дәлилдәрҙе ҡуллана башлайҙар (яттан ҡушыу миҫалдары[en]»). Ҡайһы бер факттар хәтерҙә һеңеп ҡалһа, балалар билдәһеҙ факттарҙы билдәлеһенән сығара башлайҙар. Мәҫәлән, алтыға етене ҡушыусы бала, 6 + 6 = 12 булыуын белеүе мөмкин, һәм, шуға күрә 6 + 7 бер берәмеккә ҙурыраҡ, йәғни 13[22]. Был сығарыу ысулына бик йәһәт киләләр һәм башланғыс класс уҡыусыларының күпселеге хәтерҙәрендә ҡалдырғандарға һәм үҙҙәре сығара алғанға таяналар, һөҙөмтәлә был уларға ҡушыуҙы йәһәт башҡарырға мөмкинлек бирә[23].

Төрлө илдәрҙә бөтөн һандарҙы һәм арифметиканы төрлө йәштә башлайҙар, ҡушыуға башлыса мектәпкәсә белем биреү учреждениеләрендә өйрәтәләр[24]. Шулай ҙа бөтә донъяла башланғыс мәктәптең беренсе йылы аҙағына уҡыусылар ҡушырға өйрәнәләр[25].

Ҡушыу таблицаһы

Яҡшыраҡ иҫтә ҡалдырыу өсөн балаларға йыш ҡына 1-ҙән 10-ға тиклемге һандарҙың ҡушыу таблицаһын күрһәтәләр. Был таблицаны белеп, теләһә ниндәй ҡушыу ғәмәлен башҡарып була. Ҡушыу таблицаһы:

1+	2+	3+	4+	5+	6+	7+	8+	9+	10+
1 + 0 = 1	2 + 0 = 2	3 + 0 = 3	4 + 0 = 4	5 + 0 = 5	6 + 0 = 6	7 + 0 = 7	8 + 0 = 8	9 + 0 = 9	10 + 0 = 10
1 + 1 = 2	2 + 1 = 3	3 + 1 = 4	4 + 1 = 5	5 + 1 = 6	6 + 1 = 7	7 + 1 = 8	8 + 1 = 9	9 + 1 = 10	10 + 1 = 11
1 + 2 = 3	2 + 2 = 4	3 + 2 = 5	4 + 2 = 6	5 + 2 = 7	6 + 2 = 8	7 + 2 = 9	8 + 2 = 10	9 + 2 = 11	10 + 2 = 12
1 + 3 = 4	2 + 3 = 5	3 + 3 = 6	4 + 3 = 7	5 + 3 = 8	6 + 3 = 9	7 + 3 = 10	8 + 3 = 11	9 + 3 = 12	10 + 3 = 13
1 + 4 = 5	2 + 4 = 6	3 + 4 = 7	4 + 4 = 8	5 + 4 = 9	6 + 4 = 10	7 + 4 = 11	8 + 4 = 12	9 + 4 = 13	10 + 4 = 14
1 + 5 = 6	2 + 5 = 7	3 + 5 = 8	4 + 5 = 9	5 + 5 = 10	6 + 5 = 11	7 + 5 = 12	8 + 5 = 13	9 + 5 = 14	10 + 5 = 15
1 + 6 = 7	2 + 6 = 8	3 + 6 = 9	4 + 6 = 10	5 + 6 = 11	6 + 6 = 12	7 + 6 = 13	8 + 6 = 14	9 + 6 = 15	10 + 6 = 16
1 + 7 = 8	2 + 7 = 9	3 + 7 = 10	4 + 7 = 11	5 + 7 = 12	6 + 7 = 13	7 + 7 = 14	8 + 7 = 15	9 + 7 = 16	10 + 7 = 17
1 + 8 = 9	2 + 8 = 10	3 + 8 = 11	4 + 8 = 12	5 + 8 = 13	6 + 8 = 14	7 + 8 = 15	8 + 8 = 16	9 + 8 = 17	10 + 8 = 18
1 + 9 = 10	2 + 9 = 11	3 + 9 = 12	4 + 9 = 13	5 + 9 = 14	6 + 9 = 15	7 + 9 = 16	8 + 9 = 17	9 + 9 = 18	10 + 9 = 19
1 + 10 = 11	2 + 10 = 12	3 + 10 = 13	4 + 10 = 14	5 + 10 = 15	6 + 10 = 16	7 + 10 = 17	8 + 10 = 18	9 + 10 = 19	10 + 10 = 20

Унарлы иҫәпләү системаһы

Унарлы иҫәпләү системаһында уңышлы иҫәпләү өсөн бер урынлы һандарҙың 100 «ҡушыу миҫалын» хәтерләргә йәки сығара белергә кәрәк.Кемдер бөтә был факттарҙы ятлап алып хәтерҙә ҡалдырырға мөмкин, ләкин ҡушыуҙы шаблондар ҡулланып өйрәнеү ысулы мәғлүмәтлерәк һәм күпселек өсөн нығыраҡ файҙалы:

• Коммутативлыҡ үҙсәнлеге: шаблон ҡулланыу a + b = b + a хәтерләргә кәрәк булған «ҡушыу миҫалдарын» 100-ҙән 55-кә тиклем кәметергә мөмкинлек бирә.
• бергә йәки икегә ҙур: 1-ҙе йәки 2-не ҡушыу — был төп мәсьәлә, һәм уны иҫәпләү юлы менән сығарырға мөмкин йәки интуицияға һылтанырға.
• Ноль: ноль ҡушыу ғәмәле өсөн нейтраль элемент (аддитив берәмек) булғанлыҡтан, нолде ҡушыу бик ябай. Шулай булһа ла, арифметиканы өйрәнгәндә ҡайһы бер уҡыусыларға ҡушыу ғәмәле ваҡытында ҡушылыусы һәр ваҡыт ҙурайырға тейеш кеүек тойола һүҙ менән әйтеп биреүгә^{[word problem (mathematics education)]}мәсьәләләргә айырым иғтибар биреү нулдең «үҙенсәлекле булыуын» аүларға ярҙам итә.
• Икеләтеү: һанды үҙ-үҙенә ҡушыу икеләтелгән (ҡабаттан) иҫәпләү һәм ҡабатлау мәсьәләһе менән бәйле. Икеләтеү тураһындағы факттар улар менән бәйле бик күп факттар өсөн нигеҙ булып тора, һәм уҡыусыларға уны аңлауы сағыштырмаса еңел.
• Икеләтеү тиерлек (икеләтеү ғәмәленә яҡын суммалар): 6 + 7 = 13 суммаһын 6 + 6 = 12 икеләтеү тураһындағы факттан һәм берҙе ҡушыуҙан, йәки 7 + 7 = 14 фактынан һәм берҙе алып табырға мөмкин.
• биш һәм ун: 5 + x и 10 + x күренешендәге сумма ғәҙәттә иртә иҫтә ҡала һәм башҡа факттарҙы сығарғанда ҡулланылырға мөмкин. Мәҫәлән, 6 + 7 = 13 суммаһының һөҙөмтәһен 5 + 7 = 12 фактын ҡулланып һәм берәмекте өҫтәп табырға мөмкин.
• Тиҫтәне табыу (унға тиклем тултырыу): 8 һәм 9 ҡушылыусылары булғанда 10- аралағы һөҙөмтә сифатында ҡулланылған ысул бар; мәҫәлән, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.

Ҙурайған һайын уҡыусылар күберәк факттарҙы иҫтә ҡалдыралар, һәм уларҙан тиҙ генә икенсе факттарҙы сығарырға өйрәнәләр. Күп уҡыусылар бҡтә факттарҙы ла хәтерләмәйҙәр, ләкин тиҙ генә кәрәклеһен сығара алалар.

Күсереү

Күп урынлы һандарҙы ҡушыуҙың стандарт алгоритмында ҡушылыусы һандарҙың цифрҙары бер-береһенең аҫтында урынлаштырыла. Уң яҡтан башлап, цифрҙарҙы ҡушыу һәр бағанала айырым башҡарыла. Әгәр бағанала цифрҙар суммаһы 10-дан артһа, артыҡ цифр икенсе бағанаға «күсерелә». Мәҫәлән, 27 + 59 суммаһында:

  ¹
  27
+ 59
————
  86

7 + 9 = 16 һәм 1 цифры артабанғы бағанаға күсерелә. Альтернатив ҡушыу ысулында ҡушыуҙы һулдан мөһимерәк булған цифрҙан башлайҙар; был ысулда күсереү тупаҫыраҡ башҡарыла, ләкин яҡынса сумма тиҙерәк табыла. Күсереүҙең башҡа күп ысулдары бар.

Унарлы кәсерҙәрҙе ҡушыу

Унарлы кәсерҙәрҙе ҡушыу ысулы юғарыла һүрәтләнгән күп урынлы һандарҙы ҡушыуҙың ябай күсермәһе булып тора. Бағаналап ҡушҡанда кәсерҙәр, өтөрҙәр бер-береһенең аҫтына тап килерлек итеп урынлаштырыла. Кәрәк булһа ҡыҫҡараҡ кәсергә, уны оҙонораҡ кәсер менән бер тигеҙ оҙонлоҡта итеү өсөн, уңдан һәм һулдан нулдәр өҫтәп яҙырға мөмкин. (см. арттағы ноль^[en] һәм алда барыусы нулдәр) Шулай итеп ҡушыу, үрҙә яҙылған күп урынлы һандарҙы ҡушыу ысулындағы кеүек башҡарыла, тик яуапта өтөр, ул ҡушылыусыларҙа ҡайҙа урынлашҡан, тап шул урында ҡуйыла. Мәҫәлән, 45.1 + 4.34 суммаһын ошолай иҫәпләргә була:

   4 5 . 1 0                                                                                  
+  0 4 . 3 4
————————————
   4 9 . 4 4

Экспоненциаль яҙыу

Экспоненциаль яҙмала һандар $x=a\times 10^{b}$, бында $a$ — һандың мантиссаһы һәм $10^{b}$ — характеристикаһы. Экспоненциаль формала яҙылған ике һанды ҡушыу өсөн уларҙың характеристикаһы бер үк булыуы талап ителә. Мәҫәлән:

$2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}$

Башҡа иҫәпләү системаларында ҡушыу

Икенсе иҫәпләү системаларында һандарҙы ҡушыу унарлы иҫәпләү системаһындағы һандарҙы ҡушыуға оҡшаш. Миҫал рәүешендә икеле иҫәпләү системаһында ҡушыуҙы ҡарарға була. Күсереүҙе ҡулланып бер урынлы икеле һандарҙы ҡушыу ҡатмарлы түгел:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, 1 күсерелә (сөнки 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹))

Ике «1» тамғаһының суммаһы «0» тамғаһына тигеҙ, ә 1 артабанғы бағанаға ҡушылырға тейеш.Был ситуация, унарлы иҫәпләү системаһында бер урынлы һандарҙы ҡушҡанда осраған ситуацияға оҡшаш; әгәр һөҙөмтә иҫәпләү системаһының нигеҙенә тигеҙ йәки унан артып китһә(10), һулда цифрҙар арта:

5 + 5 → 0, 1 күсерелә (сөнки 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10¹))

7 + 9 → 6, 1 күсерелә (сөнки 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10¹))

Был ғәмәл «күсереү» булараҡ билдәле. Ҡушыуҙың һөҙөмтәһе ҡиммәттәр диапазонын һәм разрядты үтеп китһә, был артыҡ һандың системаның нигеҙенә (йәғни унарлы иҫәпләү системаһында 10-ға) бүлендеген артабанғы разрядтың ҡиммәтенә ҡушып, һулға «күсерергә» кәрәк. Был шуның менән бәйле: $N$-иҫәпләү системаһында артабанғы разрядтың ҡиммәте ағымдағы разрядтың ҡиммәтенән $N$ тапҡыр ҙур. Икеле иҫәпләү системаһында күсереү унарлы иҫәпләү системаһындағы кеүек эшләй:

  1 1 1 1 1    (күсереү)
    0 1 1 0 1
+   1 0 1 1 1
—————————————
  1 0 0 1 0 0 = 36

Был миҫалда ике һан ҡушыла: 01101₂ (13₁₀) һәм 10111₂ (23₁₀). Өҫтәге юлда күсереү барлығы күрһәтелгән.Уңдағы бағананы ҡушыуҙан башлайыҡ: 1 + 1 = 10₂. Бында 1 һулға күсерелә, ә 0 түбәндәге юлда яҙыла. Хәҙер уңдан икенсе бағаналағы һандар ҡушыла: 1 + 0 + 1 = 10₂; 1 күсерелә, ә 0 аҫтағы юлда яҙыла. Өсөнсө бағана: 1 + 1 + 1 = 11₂. Был осраҡта 1 аҫтағы юлда күсерелә. Һөҙөмтәлә табабыҙ: 100100₂ (йәки унарлы иҫәпләү системаһында 36).

Компьютерҙар

инвертирләүсе сумматор ярҙамында ҡушыу инвертирләүсе сумматор.

Аналоглы компьютерҙар туранан-тура физик дәүмәлдәр менән эш итәләр, шуға күрә ҡушыу механизмы ҡушылыусыларҙың төрөнә бәйле. Механик сумматор ике ҡушылыусыны үҙгәреүсән блоктар позицияһы рәүешендә күрһәтергә мөмкин, был осраҡта уларҙы урталыҡлаусы рычаг ярҙамында ҡушырға мөмкин. Әгәр ҡушылыусылар ике Шпиндель күсәрҙең әйләнеү тиҙлеге рәүешендә күрһәтелһә, уларҙы дифференциал ярҙамында ҡушырға мөмкин. Гидравлик сумматор, Ньютондың икенсе законын ҡулланып, поршендәр йыйылмаһына тәьҫир иткән көстө тигеҙләү өсөн, ике камералағы баҫымды ҡушырға мөмкин. Аналоглы компьютерҙы ҡулланыуҙың иң таралған осрағы - ергә тоташтырылғанға ҡарата ике электр көсөргәнешен ҡушыу; быны резисторлы электрон схема ярҙамында башҡарырға мөмкин, ә камиллаштырылған версияларында операцион көсәйткес ҡулланыла. Ҡушыуҙы башҡарыу персональ компьютерҙа ла төп ғәмәл булып тора. Ҡушыу ғәмәлен башҡарыу тиҙлеге һәм, бигерәк тә, күсереү механизмы менән бәйле сикләүҙәр компьютерҙың дөйөм эшләү тиҙлегенә тәьҫир итәләр.

Чарльз Бэббидждың айырмалы машинаһының ҡайһы берҙәренең ҡушыу һәм күсереү механизмы бар.

Абак, иҫәпләү таҡтаһы тип тә йөрөтөлә - хәҙерге иҫәпләү системаһы индерелгәнгә тиклем бик күп быуаттар элек ҡулланылған иҫәпләү приборы, ул әле лә Азия, Африка һәм башҡа континенттарҙың сауҙагәрҙәре, купецтары, клерктары тарафынан киң ҡулланыла. Абак б.э. тиклем 2700-2300 йылдарҙа уйлап табылған тип иҫәпләнә, уны шумерҙар ҡулланған. Блез Паскаль1642 йылда механик калькулятор уйлап тапҡан; был тәүге ҡушыусы машина була. Был калькуляторҙа күсереү механизмы гравитация ярҙамында тормошҡа ашырыла. Был 17 быуаттағы берҙән-бер операцион калькулятор һәм иң беренсе автоматик цифрлы компьютер. Паскалдың ҡушыусы машинаһы тәгәрмәстәрҙе бер яҡҡа ғына әйләндерергә һәм, шул рәүешле, ҡушырға мөмкинлек биреүсе күсереү механизмы менән сикләнгән була. Алыу ғәмәлен башҡарғанда ҡулланыусы, һөҙөмтәне табыу өсөн, цифрҙарҙың икенсе йыйылмаһын һәм, үҙ эсенә ҡушҡандағы кеүек үк аҙымдар һанын индергән өҫтәмәләр методын^[en]ҡулланырға тейеш була . Джованни Полени 1709 йылда икенсе функциональ механик калькулятор эшләп, Паскалдың эшен дауам итә. Был калькуляторҙың цифрблаты ағастан була, ул ике һанды автоматик рәүештә ҡабатлай ала.

«Сумматор» логической схемы, который складывает два двоичных одноразрядных числа A и B, на вход подаётся перенос C_in, на выходе бит суммы S и значение переноса C_out.

Электрон цифрлы иҫәпләү машиналарында сумматор бөтөн һандарҙы ҡушыуҙы ғәҙәттә икеле иҫәпләү системаһын ҡулланып башҡара. Иң ябай структурала тулҡынлы күсереү сумматоры ҡулланыла, был күп урынлы һандарҙы ҡушырға мөмкинлек бирә. Кеше интуицияһына оҡшаш рәүешле эшләүсе күсереүҙе төшөрөп ҡалдырыусы сумматорҙа|Carry bypass adder}} бер аҙ яҡшырыу күренә; ул 999 + 1 суммаһында бөтә күсереүҙәрҙе лә башҡармай, ул туғыҙҙар төркөмөн урап үтә һәм шунда уҡ яуапҡа күсә. Практикала ҡушыуҙы, түбәндә күрһәтелгәнсә, башҡа бит операциялары менән берлектә 2 модуле буйынса ҡушыу һәм «И» бит операцияһы аша башҡарып була. Был ике операцияны, үҙ сиратында ҡатмарлыраҡ логик операцияларға берләшә алған сумматорҙар сынйырында еңел башҡарып була. Хәҙерге цифрлы компьютерҙарҙа бөтөн һандарҙы ҡушыу иң тиҙ башҡарылыусы операция, шул уҡ ваҡытта ул компьютерҙың дөйөм эшләү тиҙлегенә ҙур йоғонто яһай, сөнки бөтөн һандарҙы ҡушыу күсеп йөрөүсе өтөрлө һандар менән бөтә ғәмәлдәрҙең, шулай уҡ компьютерҙың хәтеренә ингәндә адрестарҙы генерациялау кеүек мәсьәләләрҙең, командалар йыйылмаһының билдәле бер тәртиптә башҡарылыу ваҡытында архитектураһын һайлауҙың нигеҙендә ята. Тиҙлекте арттырыу өсөн хәҙерге компьютерҙар разрядтарҙың ҡиммәтен параллель иҫәпләйҙәр; был схема күсереүҙе һайлау [[|Линг сумматорында]]^[en] [[|күсереүҙе алдан күреү]]^[en] һәм псевдокүсереү тип атала . Күпселек осраҡта компьютерҙа ҡушыуҙы башҡарыу һуңғы өс конструкцияның гибриды булып тора. Ҡағыҙҙа ҡушыуҙан айырмалы рәүештә, компьютерҙа ҡушыу йыш ҡына һандарҙы үҙгәртә. Боронғо абакта һәм ҡушыу өсөн таҡтала ҡушыуҙы башҡарған ваҡытта ике ҡушылыусы ла юйыла, сумма ғына тороп ҡала. Абактың математик фекерләүгә тәьҫире шундай ҙур була, боронғо латин текстарында йыш ҡына «һанды һанға» ҡушҡанда ике һан да юҡҡа сыға тип раҫлана. Хәҙерге осорға килгәндә, микропроцессорҙың ADD инструкцияһы беренсе ҡушылыусының ҡиммәтен сумма менән алмаштыра, икенсе ҡушылыусы үҙгәрешһеҙ ҡала. Программалаштырыуҙың юғары кимәлдәге телендә a + b-ны баһалау a-ны ла, b-ны ла үҙгәртмәй; әгәр сумманы a-ға яҙыу маҡсаты ҡуйылһа, был a = a + b аңлатмаһы ярҙамында аныҡ күрһәтелергә тейеш. Программалаштырыуҙың Cйәки C++ кеүек ҡайһы бер телдәрендә был яҙыу a += b тип ҡыҫҡартыла.

// Iterative Algorithm 
int add(int x, int y){
    int carry = 0;  
    while (y != 0){        
       carry = AND(x, y);   // Logical AND 
       x     = XOR(x, y);   // Logical XOR
       y     = carry << 1;  // left bitshift carry by one  
   } 
   return x;   
}
// Recursive Algorithm
int add(int x, int y){
   return x if (y == 0) else add(XOR(x, y) , AND(x, y) << 1); 
}

Компьютерҙа, әгәр ҡушыу һөҙөмтәһе һаҡлау өсөн үтә оҙон булһа, дөрөҫ булмаған яуапҡа килтереүсе арифметик артып китеү күҙәтелә. Көтөлмәгән арифметик артып китеү программа хаталарының киң таралған сәбәбе булып тора. Бындай артып китеү хаталарын асыҡлау һәм диагнозлау ауыр булыуы мөмкин, сөнки улар тестарында йыш ҡулланылмаған бик күп бирелештәр йыйылмаһы индергәндә генә асыҡланырға мөмкин. Был төрҙәге билдәле хата булып 2000 йыл проблемаһытора, бында йылды билдәләү өсөн ике урынлы форматты ҡулланыу менән бәйле артып китеү хатаһы 2000 йылда һиҙелерлек проблемалар тыуҙырҙы.

Һандарҙы ҡушыу

Ҡушыуҙың төп үҙсәнлектәрен күрһәтеү өсөн иң тәүҙә контекстҡа асыҡлыҡ индерергә кәрәк. Ҡушыу тәүҙә натураль һандар өсөн билдәләнә. Күмәклектәр теорияһында ҡушыу, натураль һандарҙы ла индереп, ҙурайғандан ҙурая барыусы күмәклектәр өсөн билдәләнә: бөтөн һандар, рациональ һандар, һәм ысын һандар. Математиканы өйрәнгәндә||mathematics education}} ыңғай кәсерҙәрҙе ҡушыу тиҫкәре һандарҙы ҡушыуға тиклем өйрәнелә.)

Натураль һандар

Ике a һәм b натураль һандарының суммаһын билдәләү өсөн ике популяр ысул бар. Әгәр натураль һандар сикле һандағы элементлы күмәклек ҡеүәте аша билдәләнһә (күмәклек ҡеүәте — уның элементтары һаны), суммаға түбәндәге билдәләмәне биреү маҡсатҡа ярашлы:

• N(S) — S күмәклегенең ҡеүәте булһын. Ике киҫешмәүсе A һәм B күмәклектәрен алайыҡ, шуның менән бергә N(A) = a һәм N(B) = b. Ул саҡта a + b суммаһын ошолай билдәләп була: $N(A\cup B)$.

Бында, $(A\cup B)$ — A һәм B күмәклектәре берекмәһе. Был билдәләмәнең альтернатив версияһында A һәм B күмәклектәре киҫешәләр һәм был осраҡта сумма сифатында уларҙың дизъюнктлы берекмәһе алына, был механизм уртаҡ элементтарҙы айырырға мөмкинлек бирә, һөҙөмтәлә был элементтар ике тапҡыр иҫәпкә алына.

Икенсе билдәләмә рекурсивлы:

• n ⁺ — n-дан [[|һуң]]^[en] килеүсе натураль һан, мәҫәлән 0⁺=1, 1⁺=2. a + 0 = a булһын, ти. Ул саҡта уртаҡ сумма рекурсивлы билдәләнә: a + (b⁺) = (a + b)⁺. Бынан 1 + 1 = 1 + 0⁺ = (1 + 0)⁺ = 1⁺ = 2.

Әҙәбиәттә был билдәләмәнең төрлө варианттары бар. Рекурсион теоремала өлөшләтә тәртипкә килтерелгән күмәклектә N² тап юғарыла бирелгән билдәләмә ҡулланыла. . Икенсе яҡтан, ҡайһы бер сығанаҡтарҙа тик натураль һандар күмәклегенә генә ҡулланылған сикләнгән Рекурсион теореманы ҡулланыуға өҫтөнлөк бирәләр. Берәүҙәр ваҡытлыса a-ны теркәп торорға, рекурсияны b-ға ҡулланырға, бының менән "a + " функцияһын билдәләп, һәм был унарлы операцияны бөтә a өсөн ҡулланып, тулы бинар операцияны төҙөргә тәҡдим итәләр.

Был ҡушыуҙың рекурсив билдәләмәһе Дедекинд тарафынан 1854 йылда уҡ бирелгән була, һәм ул уны артабанғы ун йыллыҡтарға киңәйтә . Математик индукции ярҙамында Дедекинд ассоциативлыҡ һәм коммутативлыҡ үҙсәнлектәрен иҫбатлаған..

Бөтөн һандар

Ыңғай һәм тиҫкәре һандарҙы ҡушыу ҡағиҙәләрен иллюстрациялау.

(−2) һәм 1 һандарын, тик ыңғай һандарҙы ғына ҡулланып ҡушырға: (2 − 4) + (3 − 2) = 5 − 6.

Бөтөн һандың төп концепцияһы шунда: бөтөн һан уның абсолют дәүмәленән һәм (математика)тамғанан^{[sign (mathematics)]}тора һәм, (ҡағиҙә булараҡ, ыңғай йәки тиҫкәре) һан. Ноль бөтөн һаны — айырым осраҡ: ноль ыңғай ҙа, тиҫкәре лә түгел. Ярашлы ҡушыу билдәләмәһе түбәндәге осраҡтарҙы иҫәпкә алырға тейеш:

• n — бөтөн һан булһын, ти һәм |n| - уның абсолют дәүмәле. a һәм b — бөтөн һандар. Әгәр a йәки b һандарының береһе нулгә тигеҙ булһа, был һанды нейтраль элемент тип һанайбыҙ (аддитив берәмек). Әгәр a һәм b икеһе лә ыңғай булһа, ул саҡта a + b = |a| + |b| тип иҫәпләйбеҙ. Әгәр a һәм b икеһе лә тиҫкәре булһа, ул саҡта a + b = −(|a|+|b|). Әгәр a һәм b төрлө тамғалы булһа, ул саҡта a + b — |a| һәм |b|араһындағы айырма, һәм айырма алдына ҙурыраҡ абсолют дәүмәлле ҡушылыусының алдында торған тамға ҡуйыла . Мәҫәлән, −6 + 4 = −2 суммаһын ҡарайыҡ: −6 һәм 4 һандарының тамғаһы төрлө булғас, уларҙың абсолют дәүмәлдәре алына, һәм тиҫкәре һандың абсолют дәүмәле ыңғай һандың абсолют дәүмәленән ҙурыраҡ булғас, яуап тиҫкәре була.

Был билдәләмә конкрет мәсьәләләр өсөн файҙалы булһа ла, ниндәйҙер дөйөм иҫбатлауҙар башҡарыу ауыр, сөнки бик күп осраҡтарҙы ҡарарға кәрәк.

Бөтөн һандарҙың иң уңайлы концепцияһы булып Гротендик группалары төҙөү тора. Төп идеяһы шунда: һәр бөтөн һан (бер генә ысул менән түгел) ике натураль һандың айырмаһы рәүешендә күрһәтелә ала, шуға күрә беҙ бөтөн һанды ике натураль һандың айырмаһы итеп билдәләй алабыҙ. Ул саҡта ҡушыу айырма аша түбәндәгесә билдәләнә ала:

• Ике бөтөн a − b һәм c − d һандары булһын, бында a, b, c һәм d — натураль һандар, ул саҡта (a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d).

Рациональ һандар

Рациональ һандарҙың суммаһы [[|иң бәләкәй уртаҡ знаменатель]]^[en] ярҙамында иҫәпләнергә мөмкин, ләкин рациональ һандарҙы ҡушыуҙың билдәләмәһе тик бөтөн һандарҙы ҡушыу һәм ҡабатлауҙы үҙ эсенә ала:

• Әйтәйек ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.$

Мәҫәлән, ${\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}$. знаменателдәре бер төрлө кәсерҙәрҙе ҡушыу күпкә ябайыраҡ; был осраҡта знаменателдәрҙе шул килеш ҡалдырып, числителдәрҙе ҡушырға мөмкин: ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}$, например ${\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}$.

Рациональ һандарҙы ҡушыуҙың коммутативлыҡ һәм ассоциативлыҡ үҙсәнлектәре бөтөн һандар арифметикаһы закондарының эҙемтәһе булып тора. Ҡәтғиерәк һәм дөйөм билдәләмәне [[|кәсерҙәр яланы]]^[en] статьяһында ҡара.

Ысын һандар

Дедекинд киҫелеше ҡулланып ҡушыу π²/6 и e

Ысын һандарҙы төҙөүҙең дөйөм ысулы булып рациональ һандар күмәклеген Дедекинд алымы менән тулыландырыу тора. Ыссын һандар рациональ һандарҙың Дедекинд киҫелеше һымаҡ билдәләнәләр: аҫтан сикләнгән, [[|иң ҙур элементы булмаған]]^{[Greatest element]}рациональ һандарҙың буш булмаған күмәклеге. a һәм b ысын һандарының суммаһы элемент буйынса билдәләнә:

• $a+b=\{q+r\mid q\in a,r\in b\}$.

Был билдәләмә башлап бер аҙ үҙгәртелгән күренештә Рихард Дедекинд тарафынан 1872 йылда баҫтырылды. Ысын һандарҙы ҡушыуҙың коммутативлыҡ һәм ассоциативлыҡ үҙсәнлектәре яҡын; 0 ысын һанын тиҫкәре рациональ һандар күмәклегенең бер өлөшө итеп һанап, уны аддитив берәмек итеп ҡарарға мөмкин.Ҡушыуға ҡағылышлы был конструкцияның иң ҡатмарлы өлөшө булып, кире ҡушылыусыны билдәләү тора.

π²/6 и e фундаменталь эҙмә-эҙлелекте ҡулланып ҡушыу

Ҡыҙғанысҡа күрә, Дедекинд киҫелештәрен ҡабатлау — тамғалары булған бөтөн һандарҙы ҡушыу кеүек ваҡытты алыусы процесс. Икенсе ҡараш ыссын һандарҙы метрик тулыландырыуҙан тора. Ыссын һандар — ул рациональ һандарҙың Коши эҙмә-эҙлелегенең сикләмәһе, Lim a_n. Ҡушыу быуын-быуынлап башҡарыла:

• Билдәләмә бирәбеҙ: $\lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_{n}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n})$.

Был билдәләмә беренсе тапҡыр 1872 йылда Георг Кантор тарафынан баҫтырылды, ләкин уның формализмы бер аҙ икенсерәк ине. Был ғәмәл Коши эҙмә-эҙлелеге менән ҡәтғи билдәләнгән (фундаменталь эҙмә-эҙлелек булып тора) тип иҫбат итергә кәрәк. Был мәсьәлә хәл ителеү менән ыссын һандарҙы ҡушыуҙың бөтә үҙсәнлектәре ыссын һандарҙың үҙсәнлектәренән килеп сыға. Бынан тыш, ҡабатлауҙы ла индереп, бүтән арифметик ғәмәлдәргә ябай, оҡшаш билдәләмәләр бирелә.

Комплекслы һандар

Ике комплекслы һанды ҡушыуҙы параллелограмм төҙөү аша геометрик ысул менән һүрәтләргә була.

Комплекслы һандарҙы ҡушыу бер-береһенә ысын һәм ысын булмаған өлөштәрен ҡушыу юлы менән башҡарыла. Был шуны аңлата:

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.\$

Комплекслы һандарҙы комплекслы яҫылыҡтың нөктәһе итеп күҙаллағанда, комплекслы һандарҙы ҡушыуға түбәндәге геометрик интерпретацияны бирергә була: комплекслы яҫылыҡта A и B нөктәләре менән күрһәтелгән комплекслы һандарҙың суммаһы булып, өс түбәһе O, A һәм B нөктәләрендә булған параллелограмды төҙөү юлы менән табылған Xнөктәһе тора. Йәки былай тип әйтергә була: X — ул OAB һәм XBA өсмөйөштәре конгруэнт булғандағы нөктә.

Дөйөмләштереү

Ысын һандарҙы ҡушыуҙы дөйөмләштереү һөҙөмтәһе итеп ҡарап була торған күп бинар ғәмәлдәр бар. Бындай дөйөмләштерелгән ғәмәлдәр дөйөм алгебраның төп өйрәнеү предметы булып торалар, шулай уҡ улар күмәклектәр теорияһында һәм категориялар теорияһында осрай.

Абстракт алгебрала ҡушыу

Векторҙарҙы ҡушыу

Векторлы пространство — ул шундай алгебраик структура, унда теләһә ниндәй ике Координаталар векторын^{[coordinate vector]} ҡушырға һәм теләһә ниндәй векторҙы һанға ҡабатларға була. Векторлы пространствоға ябай миҫал - бөтә тәртипкә һалынған ысын һандар парҙары күмәклеге; тәртипкә һалынған (a,b) пары, евклид яҫылығында координаталар башынан (a,b) нөктәһенә үткәрелгән вектор булып тора. Ике векторҙың суммаһы уларҙың ярашлы координаталарын ҡушыу юлы менән табыла:

(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d).

Был ҡушыу ғәмәле векторҙарҙы көстөң аналогы итеп ҡараусы классик механикала төп (үҙәк) ғәмәл булып тора.

Матрицаларҙы ҡушыу

Матрицаларҙы ҡушыу бер үк үлсәмдәге ике матрица өсөн билдәләнә. m × n үлсәмендәге ( «m -гә n» тип әйтелә) ике A һәм Bматрицаларының суммаһы A + B рәүешендә яҙыла, һәм m × nүлсәмендәге, ярашлы элементтарын ҡушыу юлы менән табылған матрица була:

${\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}\,\!$

Например:

${\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}$

Ҡалдыҡтар арифметикаһы

12-гә бүлеүҙең ҡалдыҡтары күмәклеге унике элементтан тора; был күмәклек бөтөн һандарҙы ҡушыу ғәмәлен мираҫ итә. 2 модуле буйынса ҡалдыҡтар күмәклеге ике генә элементтан тора; унан мираҫ булған ҡушыу ғәмәле әйтеүҙәр логикаһында «юҡҡа сығарыусы йәки» ғәмәле булараҡ билдәле, . Геометрияла ике мөйөш үлсәменең суммаһы йыш ҡына 2π модуле буйынса ысын һандарҙың суммаһы булараҡ билдәләнә. Бындай билдәләмә әйләнәләге ҡушыу ғәмәленә тура килә, ул үҙ сиратында күп үлсәмле торҙа ҡушыу ғәмәленә тиклем дөйөмләштерелә.

Дөйөм ҡушыу

Абстракт алгебраның дөйөм теорияһында «ҡушыу» ғәмәле тип теләһә ниндәй ассоциативлы һәм коммутативлы ғәмәл атала ала.Шундай ҡушыу ғәмәле булған төп алгебраик системалар коммутатив моноидтарҙы һәм абелев төркөмдәрен үҙ эсенә ала.

Күмәклектәр теорияһында һәм категориялар теорияһында ҡушыу

Натураль һандарҙы ҡушыуҙы дөйөмләштереү һөҙөмтәһе булып күмәклектәр теорияһында тәртип һандарын һәм кардиналь һандарҙы ҡушыу тора. Был ғәмәлдәр натураль һандарҙы ҡушыуҙы дөйөмләштереүҙең [[|трансфинит осраҡҡа]]^[en] ике айырым осрағы. Ҡушыу ғәмәленең күпселек төрҙәренән айырмалы рәүештә, тәртип һандарын ҡушыу коммутатив түгел. Кардиналь һандарҙы ҡушыу, дизъюнктлы берләштереү ғәмәле менән тығыҙ бәйләнгән коммутативлы ғәмәл.

Категориялар теорияһында дизъюнктлы берләштереү коҡабатлау ғәмәленең айырым осрағы итеп ҡарала, һәм дөйөм коҡабатлау, моғайын, бөтә ҡушыу ғәмәлен дөйөмләштереүҙәрҙең иң абстрактлыһы булып торалыр. Тура сумма һәм [[|ҡыйыҡ сумма]]^[en]кеүек ҡайһы бер коҡабатлауҙар, уларҙың ҡушыу ғәмәле менән бәйләнешен күрһәтеү өсөн шулай аталғандар.

Ҡушыу менән бәйле ғәмәлдәр

Ҡушыу ғәмәле, алыу, ҡабатлау һәм бүлеү кеүек, төп ғәмәлдәрҙең береһе һанала һәм элементар арифметикала ҡулланыла.

Арифметика

Алыуҙы ҡушыу ғәмәленең айырым осрағы, исемләп әйткәндә, ҡапма-ҡаршы һанды ҡушыу итеп ҡарап була. Алыу ғәмәле үҙенә күрә ҡушыу ғәмәленә кире ғәмәл булып тора, йәғни ҡушыу x һәм алыу x үҙ ара кире функциялар булалар. Ҡушыу ғәмәле билдәләнгән һандар күмәклегендә һәр ваҡыт алыу ғәмәлен билдәләп булмай. Иң ябай миҫал булып натураль һандар күмәклеге тора. Икенсе яҡтан, алыу ғәмәле ҡушыу ғәмәлен һәм аддитив берәмекте аныҡ билдәләй.

Ҡабатлауҙы бер нисә тапҡыр ҡабатланған ҡушыу|Multiplication and repeated addition}} тип ҡарап була. Әгәр терм x суммаға n тапҡыр инһә, был сумма n һәм x-дың ҡабатландығына тигеҙ. Әгәр n натураль һан булмаһа, ҡабатландыҡтың барыбер мәғәнәһе бар; мәҫәлән, -1 һанына ҡабатлау ҡапма-ҡаршы һанды бирә.

Йоморо логарифмик линейка

Ысын һәм комплекслы һандарҙы ҡушыу һәм ҡабатлауҙы экспоненциаль функция ярҙамында үҙ-ара алмаштырырға була:

e^{a + b} = e^a e^b.

Был тождество логарифмдарҙың математик таблицаһын||Mathematical table}} ҡулланып ҡабатларға һәм ҡулдан ҡушырға, шулай уҡ логарифмик линейка ҡулланып ҡабатларға мөмкинлек бирә. Был формула шулай уҡ Ли группаһының киң контекстында беренсе тәртиптәге яҡшы яҡынлауы булып тора, ул бында Ли группаһының сикһеҙ бәләкәй элементтарын ҡабатлауҙы ярашлы Ли алгебраһында векторҙарҙы ҡушыу менән бәйләй.

Ҡабатлауҙа дөйөмләштереүҙәр ҡушыуҙағыға ҡарағанда ла күберәк. Ғөмүмән алғанда, ҡабатлау ғәмәле һәр саҡ ҡушыуға ҡарата дистрибутивлы. Был талап (балдаҡ математикаһында нығытылған. Бөтөн һандар кеүек ҡайһы бер осраҡта, ҡабатлауҙы аныҡ билдәләү өсөн, ҡабатлауҙың ҡушыуға ҡарата дистрибутивлы булыуы һәм мультипликатив берәмектең булыуы етә. Дистрибутивлыҡ үҙсәнлеге ҡушыуҙы ла характерләй; (1 + 1)(a + b) ҡабатландығында йәйәләрҙе ике ысул менән асып, ҡушыу коммутативлы булырға тейеш тигән һығымтаға киләбеҙ. Шул сәбәптән балдаҡта ҡушыу һәр саҡ коммутатив.

Бүлеү — ҡушыу менән йыраҡ бәйләнеше булған арифметик операция. a/b = a(b⁻¹) булғанлыҡтан, бүлеү ҡушыуға ҡарата уңдан дистрибутивлы була: (a + b) / c = a / c + b / c. Ләкин бүлеү ҡушыуға ҡарата һулдан дистрибутивлы түгел; 1/ (2 + 2) 1/2 + 1/2-гә тигеҙ түгел.

Тәртипкә килтереү

Log–log plot}} функций x + 1 и max (x, 1) для x от 0.001 до 1000

«max (a, b)» максимумды табыу ғәмәле — ҡушыуға оҡшаған бинар операция ул. Ысынында, әгәр ике тиҫкәре булмаған a һәм b һандарының ҙурлыҡ тәртибе төрлө булһа, уларҙың суммаһы яҡынса уларҙың максимумына тигеҙ. Был яҡынлау математиканың ҡушымтаһында үтә саманан тыш файҙалы булып тора, мәҫәлән, Тейлора рәтен киҫкәндә. Шулай булыуға ҡарамаҫтан, был операция һанлы анализда һәр ваҡыт ҡыйынлыҡтарға килтерә, сөнки максимумды алыу ғәмәле кире ҡайтмалы түгел. Әгәр b a-нан күпкә ҙурыраҡ булһа, (a + b) − b тигән ябай иҫәпләү ҡабул итә алмаҫлыҡ Ҡалып:Түңәрәкләү хаталарытупланыуға килтереүе мөмкин, нуль һөҙөмтәһе алырға мөмкин. Шулай уҡ {{|әһәмиәтен юғалтыу|||Loss of significance}}.

Был яҡынлау сикһеҙ сикләмәгә күскәндә теүәл була башлай: әгәр a и b һандарының ҡайһылыр берәүһе кардиналь һан булһа, уларҙың кардиналь суммаһы теп-теүәл икеһенең ҙурырағына тигеҙ Ярашлы рәүештә, алыу ғәмәле сикһеҙ ҡеүәттәр күмәклектәре өсөн билдәләнмәгән.

Максимумды табыу, ҡушыу кеүек үк, коммутативлы һәм ассоциативлы ғәмәл. Бынан бигерәк, ҡушыу ысын һандарҙы тәртипкә килтереүҙе һаҡлағанлыҡтан, ҡушыу максимумды табыу функцияһына ҡарата, ҡабатлау ҡушыуға ҡарата булған кеүек үк дистрибутивлы:

a + max (b, c) = max (a + b, a + c).

Шул сәбәпле тропик геометрияла ҡабатлау ҡушыуға алмаштырыла, ә ҡушыу максимумды табыуға. Был контекста ҡушыуҙы «тропик ҡабатлау» тип, максимумды табыуҙы — «тропик ҡушыу», ә тропик «аддитив берәмекте» — тиҫкәре сикһеҙлек тип атайҙар. Ҡайһы бер авторҙар ҡушыуҙы минималлаштырыу менән алмаштырыуға өҫтөнлөк бирәләр;был осраҡта аддитив берәмек ыңғай сикһеҙлек була.

Был күҙәтеүҙәрҙе берләштерһәң, тропик ҡушыу яҡынса ғәҙәттәге логарифмдар ярҙамында ҡушыуға тап килә:

log (a + b) ≈ max (log a, log b), был тигеҙлек логарифмдың нигеҙе ҙурая барған һайын теүәлерәк була. Әгәр квант механикаһындағы Планк һаны аналогияһы буйынса аталған h константаһын бүлеп алһаң, һәм h нулгә яҡынайғандағы «классик сикләмәне» алһаң:

$\max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).$

Был мәғәнәлә максимумды табыу ғәмәле ҡушыуҙың квантты юғалтыуы (деквантизация) була.

Ҡушыуҙың башҡа ысулдары

Инкременирләү, йәки эйәреү функцияһын ҡулланыу — ул һанға [[1 (число)|1]-ҙе] ҡушыу. Суммалаштырыу — был, ғәҙәттә икенән күберәк, теләһә ниндәй күплектәге һандарҙы ҡушыу. Был төшөнсәнең айырым осраҡтары булып бер һанды суммалаштырыу (был суммалаштырыуҙың һөҙөмтәһе һандың үҙенә тигеҙ), шулай уҡ , нулгә тигеҙ булған Ҡалып:НП5 тора. Сикһеҙ суммалаштырыу — һандар рәтенең суммаһын табыу булараҡ билдәле киң таралмаған процедура. Сикле күмәклек буйынса берәмек функцияһын суммалаштырыу, был күмәклектең элементтары һанын Ҡалып:НП5 кеүек үк һөҙөмтә бирә. Интегралды табыу — был үҙенә күрә континуум буйынса, йәки, анығыраҡ һәм дөйөмөрәк әйткәндә, шыма күптөрлөлөк буйынса суммалаштырыу. Нуль үлсәмле күмәклек буйынса интегралды табыу суммалаштырыуға ҡайтып ҡала. Һыҙыҡлы комбинациялар ҡабатлау һәм суммалаштырыуҙы тап килтерә: был, һәр быуынының ҡабатлашыусыһы, ғәҙәттә ысын йәки комплекслы һан, булған сумма. Һыҙыҡлы комбинациялар, ябай ҡушыу ниндәйҙер нормалләштереү ҡағиҙәһен боҙған осраҡта, мәҫәлән, уйын теорияһында стратегияларҙы йәки квант механикаһында суперпозицияларҙы тороштарын бутағанда, бигерәк тә файҙалы. Төргәкләү используется для сложения ике бәйләнешһеҙ, таралыу функцияларыменән бирелгән осраҡлы дәүмәлдәрҙе ҡушыу өсөн ҡулланыла. төргәкләүҙең стандарт билдәләмәһендә алыу,ҡабатлау һәм интегралды табыу ҡулланыла. Дөйөм алғанда, төргәкләүҙе «билдәләнеү өлкәһендә ҡушыу», ә векторлы ҡушыуҙы «ҡиммәттәр өлкәһендә ҡушыу» тип ҡарау урынлы.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Эйнштейн килешеүе
• Сумма

Әҙәбиәт

• Akian, Marianne; Bapat, Ravindra; Gaubert, Stephane. Лидски-Вишик-Люстрениктың дөйөмләштерелгән теоремаһы һәм үҙ ҡиммәттәр сыуалышы теорияһында минус-плюс методтар (англ.) = Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem. — 2006. — Ҡалып:Arxiv
• Rob Austein. Хәүефтәр йыйынтығы (англ.) = The Risks Digest : журнал. — Arpanet-BBoards archives, 1987. — В. 45. — Т. 4.
• Baez, J.; Dolan, J. Сикһеҙ математика — 2001 һәм артабанғы йыл . Сикле күмәклектәрҙән фейнман диаграммаларына тиклем = Mathematics Unlimited — 2001 and Beyond. From Finite Sets to Feynman Diagrams. — Springer Berlin Heidelberg, 2000. — 1236 с. — ISBN 3-540-66913-2.
• Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa. Арифметик төшөнсәләр һәм күнекмәләр үҫтереү = The Development of Arithmetic Concepts and Skills. — Routledge, 2013. — 520 с. — ISBN 0-8058-3155-X.
• Begle, Edward. Башланғыс мәктәптә математика = The Mathematics of the Elementary School. — McGraw-Hill, 1975. — 453 с. — ISBN 0-07-004325-6.
• Bergman, George. Дөйөм адгебраға һәм универсаль ҡоролоштарға саҡырыу = An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. — 2-е изд. — Springer, 2015. — 572 с. — ISBN 0-9655211-4-1.* Joshua Bloch. Экстра, Экстра — Бының тураһында бөтәһен дә уҡырға: Бөтә бинар эҙләнеүҙәр тиерлек юҡҡа сыҡты (англ.) = Extra, Extra - Read All About It: Nearly All Binary Searches and Mergesorts are Broken // Official Google Research Blog : журнал. — 2006.
• Bogomolny, Alexander. Нимә ул ғушыу? (англ.) = What Is Addition?.
• Bates Bothman. Дөйөм мәктәп арифметикаһы = The common school arithmetic. — Prentice-Hall, 1837. — 270 с.
• Bunt, Lucas N. H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. Элементар математиканың тарихи тамырҙары = The Historical roots of Elementary Mathematics. — Prentice-Hall, 2012. — 336 с. — ISBN 0-13-389015-5.
• Burrill, Claude. Ысын һандарҙың нигеҙҙәре = Foundations of Real Numbers. — McGraw-Hill, 1967. — 163 с.
• Beckmann, S. Математиканы башланғыс мәктәптә бөтөн һандарҙа өйрәнеү (инглиз.) = The twenty-third ICMI study: primary mathematics study on whole numbers : журнал. — International Journal of STEM Education, 2014.
• Van de Walle, John. Математика башланғыс һәм урта мәктәптә: үҫтереүсе уҡытыу = Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally. — 5-е изд. — Pearson Education, 2015. — 576 с. — ISBN 0-205-38689-X.
• Weaver, J. Fred. Ҡушыу һәм алыу: когнитив ҡараш. ҡушыу һәм алыуҙы символик күҙаллауҙар һәм ғәмәлдәр һанының интерпретациялары = Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction. — Taylor & Francis, 2012. — С. 8. — ISBN 0-89859-171-6.
• Williams, Michael. Иҫәпләү техникаһы тарихы = A History of Computing Technology. — Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-389917-9.
• Rebecca Wingard-Nelson. Унарлы һәм ябай кәсерҙәр: Был еңел = Decimals and Fractions: It's Easy. — Enslow Publishers, 2014. — 64 с. — ISBN 0766042529.
• Wynn, Karen. Математик күнекмәләрҙе үҫтереү = The Development of Mathematical Skills. — Taylor & Francis, 1998. — 338 с. — ISBN 0-86377-816-X.
• Viro, Oleg; Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastià, eds. Математиктарҙың Европа конгрессы: Барселона, Июль 10–14, 2000, Volume I = European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper. — Birkhäuser, 2012. — Т. 1. — 582 с. — ISBN 3-7643-6417-3.
• Henry, Valerie J.; Brown, Richard S. Беренсе класс уҡыусыларының төп факттарҙы өйрәнеүе = First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated, high-demand memorization standard. — Heinemann, 2008.
• Dummit, D.; Foote, R. Абстракт алгебра = Abstract Algebra. — Wiley, 1999. — 912 с.
• Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda. Математика: Тикшереүҙәр һәм ҡушымталар = Mathematics: Explorations & Applications. — Prentice Hall. — ISBN 0-13-435817-1.
• Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra. Электрон Цифрлы Системаларҙың нигеҙе = Electronic Digital System Fundamentals. — The Fairmont Press, 2008. — 340 с.
• Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684. Прибор-ара тоташтырыуҙа математиканы ҡулланыу принциптары = Principles and Applications of Mathematics for Communications-electronics. — Headquarters, Department of the Army, 1992. — С. раздел 5.1. — 268 с.
• Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. Уҡытыусылар өсөн элементар математика = Elementary Mathematics for Teachers. — Wiley, 1991.
• Jackson, Albert. Аналоглы иҫәпләүҙәр = Analog Computation. — McGraw-Hill, 1960.
• Johnson, Paul. Таяҡ һәм таштарҙан башлап: математикала шәхси мажаралар = From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics. — Science Research Associates, 1975. — 552 с. — ISBN 0-574-19115-1.
• Ifrah, Georges. Иҫәпләү техникаһының дөйөм тарихы: абактан компьютерға тиклем = The universal history of computing: from the abacus to the quantum computer. — John Wiley, 2001. — 410 с.
• Joshi, Kapil D. Дискрет математика нигеҙҙәре = Foundations of Discrete Mathematics. — New Age International, 1989. — 748 с. — ISBN 978-0-470-21152-6.
• Dunham, William. Математик Йыһан = The Mathematical Universe. — Wiley & Sons, 1994. — 314 с. — ISBN 0-471-53656-3.
• Kaplan, Robert. Бер ни ҙә нимә ул: Нулдең тәбиғи тарихы = The Nothing That Is: A Natural History of Zero. — Oxford University Press, 1999. — 240 с. — ISBN 0-19-512842-7.
• Florian Cajori. Математик тамғалар тарихы = A History of Mathematical Notations. — The Open Court Company, 1928. — 818 с.
• Carpenter, Thomas; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empson, Susan. Уйынлы балалар математикаһы = Children's Mathematics: Cognitively Guided Instruction. — Heinemann, 2014. — 218 с. — ISBN 0325052875.
• Karpinski, Louis. Арифметика тарихы = The history of arithmetic. — Russell & Russell, 1925. — 200 с.
• Килпатрик Д. Ҡушыу: математиканы өйрәнгәндә балаларға ярҙам = Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. — National Academy Press, 2001. — 454 с. — ISBN 0-309-06995-5.
• Conway, John B. Бер комплекслы үҙгәреүсән функцияһы = Functions of One Complex Variable I. — Springer Science, 1986. — 322 с. — ISBN 0-387-90328-3.
• Lee, John. Шыма күптөрлөлөккә инеш һүҙ = Introduction to Smooth Manifolds. — Springer, 2013. — 631 с. — ISBN 0-387-95448-1.
• Li, Y., & Lappan, G. Мәктәптә математическа уҡытыу курсы = Mathematics Curriculum in School Education. — Springer, 2013. — 663 с. — ISBN 9400775601.
• Linderholm, Carl. Математика ҡыйынһындыра = Mathematics Made Difficult. — World Pub, 1972. — 207 с. — ISBN 0-7234-0415-1.
• Lipschutz, S., & Lipson, M. Һыҙыҡлы алгебра проблемалары һәм теорияһының Шаумс схемаһы = Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra. — Erlangga, 2001. — 424 с. — ISBN 9797815714.
• Litvinov, Grigory; Maslov, Victor; Sobolevskii, Andreii. Иденпотент математика һәм интервал анализы = Idempotent mathematics and interval analysis. — American Mathematical Soc, 2005. — 370 с. — ISBN 0821835386.
• Jean-Louis Loday. Аритметр (англ.) = Arithmetree // Journal of Algebra : журнал. — 2002. — № 258. — DOI:10.1016/S0021-8693(02)00510-0 — Ҡалып:Arxiv
• Mazur, Joseph. Фәһемле тамғалар: Математик тамғаларҙың һәм уларҙың йәшерен көсөнөң ҡыҫҡаса тарихы = Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. — Princeton University Press, 2014. — 321 с. — ISBN 1400850118.
• Williams, Michael. Иҫәпләү техникаһы тарихы = A History of Computing Technology. — 2. — IEEE Computer Society Press, 1997. — 426 с. — ISBN 0-13-389917-9.
• Marguin, Jean. Иҫәпләү машиналары төҙөлөшөнөң тарихы = Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642-1942. — Hermann., 1994. — 206 с. — ISBN 978-2-7056-6166-3.
• Mikhalkin, Grigory; Sanz-Solé, Marta, ed. Тропик геометрия һәм уның ҡушымталары = Tropical Geometry and its Applications. — 2-е изд. — Мадрин, Испания: Springer Science & Business Media, 2009. — 104 с. — ISBN 978-3-03719-022-7.
• Martin, John. Иҫәпләү теорияһы һәм телдәренә инеш һүҙ = Introduction to Languages and the Theory of Computation. — 3. — McGraw-Hill, 2011. — 436 с. — ISBN 0-07-232200-4.
• Mosley, F. 5-8 йәшлек балалар менән цифрлы һыҙыҡтарҙы ҡулланыу = Using Number Lines with 5-8 Year Olds. — Nelson Thornes, 2001. — 8 с. — ISBN 1874099952.
• Инглиз теленең оксфорд һүҙлеге = Oxford English Dictionary. — Oxford University Press, 2005.
• Ғәмәлдәрҙе башҡарыу тәртибе (англ.) = Order of Operations Lessons // Algebrahelp : журнал. — 2012.
• Прохоров Ю.В. Математик энциклопедия һүҙлеге. — Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
• James Randerson. Филдәрҙең фигуралар төшөрөргә етерлек аҡылы бар (англ.) = Elephants have a head for figures : журнал. — Theguardian, 2008.
• Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. Физикала һәм инженерияла математик ысулдар: тулы етәкселек = Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide. — Cambridge University Press, 2006. — 437 с. — ISBN 978-0-521-86153-3.
• Rudin, Walter. Математик анализ нигеҙҙәре = Principles of Mathematical Analysis. — 3. — McGraw-Hill, 1976. — 342 с. — ISBN 0-07-054235-X.
• Yeo, Sang-Soo, et al., eds. Параллель эшкәртеү өсөн алгоритмдар һәм архитектуралар = Algorithms and Architectures for Parallel Processing. — Springer, 2010. — 574 с. — ISBN 3642131182.
• 4 томда урыҫ теле һүҙлеге  (урыҫ). — Фундаментальная электронная библиотека «Русская литература и фольклор». Архивировано 27 апрель 2012 года.  (Тикшерелеү көнө: 16 ғинуар 2016)
• Smith, Karl. Хәҙерге заман математикаһының нигеҙҙәре = The Nature of Modern Mathematics. — 3-е изд. — Brooks/Cole Pub. Co., 1980. — 620 с. — ISBN 0-8185-0352-1.
• Smith, Frank. Быяла стена: ни өсөн математика ҡыйын булып күренергә мөмкин = The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult. — Teachers College Press, 2002. — 163 с. — ISBN 0-8077-4242-2.
• Sparks, F.; Rees C. Төп математиканы тикшереү = A Survey of Basic Mathematics. — 4. — McGraw-Hill, 1979. — 543 с. — ISBN 0-07-059902-5.
• Stewart, James. Иҫәпләмә: алдан трансцендирләү = Calculus: Early Transcendentals. — 4. — Brooks/Cole, 2010. — 1344 с. — ISBN 0-534-36298-2.
• Taton, René. Иҫәпләү механикаһы. Мин нимә беләм? = Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367. — Presses universitaires de France, 1963.
• Truitt, T.; Rogers, A. Аналоглы компьютерҙар нигеҙҙәре = Basics of Analog Computers. — John F. Rider, 1960. — 378 с.
• Ferreirós, José. Аҡыл лабиринттары : Күмәклек теорияһы тарихы һәм уның хәҙерге математикала урыны = Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. — Birkhäuser, 2013. — 440 с. — ISBN 0-8176-5749-5.
• R. Fierro. Башланғыс мәктәп уҡытыусылары өсөн математика = Mathematics for Elementary School Teachers. — Cengage Learning, 2012. — 976 с. — ISBN 0538493631.
• Flynn, M.; Oberman, S. Алдынғы компьютер арифметик ҡоролмалар = Advanced Computer Arithmetic Design. — Wiley, 2001. — 325 с. — ISBN 0-471-41209-0.
• Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten. Йәш математиктар эшһеҙ тормай: ҡушыу, алыу, һан тойғоһон конструкциялау = Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. — Heinemann, 2001. — 193 с. — ISBN 0-325-00353-X.
• Hempel, C. G. Карл Г. Хемптел философияһы: фән өлкәһендә тикшеренеүҙәр, аңлатмалар һәм рационаллек. = The philosophy of Carl G. Hempel: studies in science, explanation, and rationality. — Oxford University Press, 2000. — 464 с. — ISBN 0195343875.
• Horowitz, P.; Hill, W. Схемотехника сәнғәте = The Art of Electronics. — 2. — Бином, 2009. — 704 с. — ISBN 0-521-37095-7.
• Schwartzman, Steven. Математик һүҙҙәр: Инглиз телендә ҡулланылған математик терминдәрҙең ҡыҫҡа Этимологик һүҙлеге = The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. — MAA, 1994. — 261 с. — ISBN 0-88385-511-9.
• Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. Уҡытыу эҙмә-эҙлелеге (англ.) = A coherent curriculum : журнал. — American educator, 2002.
• Schyrlet Cameron, Carolyn Craig. 5 — 8 йәштә кәсерҙәрҙе ҡушыу һәм алыу = Adding and Subtracting Fractions, Grades 5 - 8. — Carson-Dellosa, 2013. — 64 с. — ISBN 162223006X.
• Schubert, E. Thomas; Phillip J. Windley; James Alves-Foss. Юғарыраҡ тәртиптәге логика теоремаларын иҫбатлау һәм уларҙың ҡулланыу: 8-се халыҡ-ара фестиваль эше = Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop. — Springer, 1995. — 400 с.
• Enderton, Herbert. Күмәклек теорияһы элементтары = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7.