Һан

Һан — математикала төп төшөнсә, миҡдар иҫәбен билдәләү,сағыштырыу, объекттарҙы һәм уларҙың өлөштәрен номерлау өсөн ҡулланыла. Һандарҙы яҙыу өсөн цифрҙар, математик ғәмәлдәр символдары ҡулланыла. Тәүтормошта уҡ иҫәп-хисап кәрәклектән барлыҡҡа килгән һан төшөнсәһе фән үҫешеү менән киңәйә.

Һан
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Һан Викимилектә

Разновидности чисел

Төп һан күмәклектәре (Основные числовые множества)

• Натураль һандар, тәбиғи иҫәпләү өсөн ҡулланыла торған һандар; натураль һандар күмәклеге тамғаланышы — $\mathbb {N}$. Тимәк, $\mathbb {N} =\left\{1,2,3,...\right\}$ (ҡайһы ваҡыт натураль һандар иҫәбенә 0-де лә индерәләр $\mathbb {N} =\left\{0,1,2,3,...\right\}$).

• Бөтөн һандар, натураль һандарҙы натураль һандарға ҡапма-ҡаршы һандар һәм нуль менән берләштереүҙән килеп сыҡҡан һандар күмәклеге, тамғаланышы — $\mathbb {Z} =\left\{...-2,-1,0,1,2,...\right\}$. Теләһә ниндәй бөтөн һанды ике натураль һандың айырмаһы итеп ҡарарға була. Бөтөн һандар күмәклеге алыу, ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәренә ҡарата (тик бүлеүгә түгел) йомоҡ; дөйөм алгебрала бындай алгебраик структура ҡулса тип атала.

• Рациональ һандар — математикала m/n кәсере рәүешендә күрһәтергә мөмкин булған һандар (n ≠ 0), бындаm — бөтөн һан, ә n — натураль һан. Рациональ һандар күмәклеге бөтә дүрт арифметик ғәмәлгә: ҡушыу, алыу, ҡабатлау һәм бүлеүгә (нулгә бүлеүҙән тыш) ҡарата йомоҡ; дөйөм алгебрала ошондай алгебраик структура ялан тип атала. Рациональ һандар күмәклеге $\mathbb {Q}$ (от ингл. quotient) хәрефе менән тамғалана.

• Ысын һандар — ҡайһы бер (математик анализ өсөн мөһим булған) операцияларға ҡарата йомоҡ булған рациональ һандар күмәклегенең киңәйеүе. Ысын һандар күмәклеге $\mathbb {R}$ менән тамғалана. Уны $\mathbb {Q}$ рацональ һандар яланын ғәҙәттәге абсолют дәүмәл булған норма ярҙамында тулыландырыу тип ҡарап була. $\mathbb {R}$ рациональ һандарҙан тыш, бөтөн һандарҙың сағыштырмаһы рәүешендә күрһәтеп булмаған $\mathbb {I}$ иррациональ һандар күмәклеген үҙ эсенә ала.

• Комплекслы һандар $\mathbb {C}$- ысын һандар күмәклегенең киңәйеүе. Улар $z=x+iy$ күренешендә яҙыла, бында i — уйланма берәмек, уның өсөн $i^{2}=-1$ тигеҙлеге үтәлә. Комплекслы һандар электротехника, гидродинамика, картография, квант механикаһы, тирбәлештәр теорияһы , [хаос теорияһы]], тығыҙлыҡ теорияһы һәм башҡалар буйынса мәсьәләләр сискәндә ҡулланыла. Комплекслы һандар алгебраик һәм трансцендент һандарға бүленә. Шул уҡ ваҡытта ысын трансцендент һан иррациональ, һәр бер рациональ һан —ысын алгебраик һан. Алгебраик һандарға ҡарағанда дөйөмөрәк (ләкин һаман да иҫәпле) һандар кластары булып периодтар, иҫәпләнеүсе (вычислимые) һәм арифметик һандар(арифметические числа) тора (бында һәр класс алдағыһынан киңерәк).

Һанап кителгән күмәклектәр өсөн ошо аңлатма үтәлә: $\mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .$

Һандар иерархияһы

Түбәндә күмәклектәре өсөн $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S}$ аңлатмаһы дөрөҫ булған һандар иерархияһы, миҫалдар менән килтерелә: Ҡалып:Иерархия чисел

Компьютер хәтерендә һандар күҙаллау

подробнее см. Прямой код, Дополнительный код (представление числа), Число с плавающей запятой

Компьютер хәтерендә натураль һандарҙы һаҡлау өсөн, ул икешәрле иҫәпләү системаһына күсерелә. Тиҫкәре һандарҙы билдәләү өсөн һандың өҫтәлмә коды ҡулланыла, ул икешәрле иҫәпләү системаһында бирелгән тиҫкәре һандың инвертирланған модуленә берҙе өҫтәү менән булдырыла.

Компьютерҙың хәтерендә һандарҙы һаҡлау, һандар өсөн тәғәйенләнгән хәтер күләме сикләнгән булыу менән бәйле, сикләнгән. Натураль һандар математик идеаллаштырыу булып торалар, натураль һандар рәте сикһеҙ. ЭВМ-дың хәтере күләменә физик сикләүҙәр ҡуйыла. Шунлыҡтан ЭВМ-да беҙ математика мәғәнәһендәге һандар менән түгел,ә ҡайһы бер күҙаллауҙар, йәки яҡынса һандар менән эш итәбеҙ. Һандарҙы күҙаллау өсөн хәтерҙең бер нисә күҙәнәге (ғәҙәттә икешәрле, бит — от BInary digiT) бүленә. Әгәр ҙә операцияны эшләгәндән һуң килеп сыҡҡан һан ЭВМ-да ҡалдырылған урынға ҡарағанда күберәк булһа, иҫәпләү һөҙөмтәһе дөрөҫ булмай — арифметик артып китеү тип аталған хәл була. Ысын һандар күсеп йөрөүсе өтөрлө һандар рәүешендә бирелә. Ысын һандарҙың тик ҡай береһе генә компьютер хәтерендә теүәл мәғәнәлә бирелә, ҡалған һандар яҡынса мәғәнәлә күҙаллана. Күсеп йөрөүсе өтөрлө һан йыш ҡулланылған форматта биттар эҙмә эҙлеклелеге рәүешендә бирелә, уларҙың ҡай береһе һандың мантиссаһын, ҡалғандары сағыштырыу дәрәжәһен кодлай, ә тағы ла бер бит һандың билдәһен күрһәтеү өсөн ҡулланыла.

Төшөнсәнең барлыҡҡа килеү тарихы

Һан төшөнсәһе бик боронғо заманда кешеләрҙең көндәлек тормош ихтыяжынан сығып, булдырылған һәм кешелек үҫешеү процесында ҡатмарлаша бара. Кешеләрҙең эшмәкәрлек даирәһе киңәйгән һайын, дәүмәлдәрҙе билдәләү һәм тикшереү ихтыяжы ла арта бара . Башта кешеләр һандарҙы практик тормошта иҫәпләү һәм үлсәү өсөн ҡуллана, әкренләп улар ҡатмарлаша бара .Һуңыраҡ һан математикала төп аңлатмаға әйләнә ,был фән өсөн кәрәк булғанлыҡтан был аңлатма ла үҫешә бара.

Тарихҡа хәтле осор

Кеше әйберҙәрҙе бик борондан иҫәпләй белгән, шул саҡта уҡ натураль һандар төшөнсәһе барлыҡҡа килгән. Баштараҡ (отвлеченное число) исемһеҙ һан төшөнсәһе булмаған. Ул замандарҙа кеше бер төрлө исемле бер төр әйберҙәрҙе иҫәпләй алған, мәҫәлән, «өс кеше», «өс балта». Шул ваҡытта «бер кеше», «ике кеше», «өс кеше» һәм «бер балта», «ике балта», «өс балта» төшөнсәләре өсөн бер-береһенән айырылып торған «бер» «ике», «өс» төшөнсәләрен ҡулланғандар . Быны тәүтормош хәлендә йәшәгән халыҡтарҙың телен анализлау күрһәтә.Бындай исемләнгән һандар теҙмәһе бик ҡыҫҡа була һәм индивидуалләштерелмәгән «күп» төшөнсәһе менән тамамлана. Разные слова для большого количества предметов разного рода существуют и сейчас Бер төр булмаған күп дана әйберҙәр өсөн әле лә «бер көтөү», «бер өйөр», «бихисап халыҡ» кеүек төшөнсәләр ҡулланыла. Әйберҙәрҙе ябай иҫәпләү , эталон ролен үтәүсе булараҡ йөрөгән тәғәйен йыйын (күп)әйберҙе икенсе билдәле бер әйбер йыйыны(күплеге) менән сағыштырыу" («в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона»), халыҡтарҙың күбеһендә ул эталон- бармаҡтар(«счёт на пальцах»). Быны тәүге һандарҙың исемдәрен лингвистик күҙлектән анализлау күрһәтә. Был баҫҡыста һан төшөнсәһе иҫәпләнә торған объекттың сифатына бәйләнмәй башлай.

Яҙма барлыҡҡа килеү

Һандарҙы билдәләү мөмкинлеге яҙма барлыҡҡа килеү менән арта . Тәүҙәрәк һандар яҙыу өсөн ҡулланылған материалда, мәҫәлән, папируста, балсыҡтан эшләнгән табличкаларҙа, һыҙыҡ менән билдәләнә, һуңыраҡ ҡайһы бер һандар өсөн айырым билдәләр (беҙҙең көндәргәсә һаҡланған «рим цифрҙары») һәм ҙур һандар өсөн билдәләр ҡулланыла башлай. Ҙур һандар булыуын, мәҫәлән, Вавилондағы шына яҙыу билдәләре һәм Кирилл иҫәп системаһында булған билдәләр дәлилләй. Һиндостанда һандарҙыурын алмаштырып яҙыу системаһы уйлап сығарылғас, теләһә ниндәй натураль һанды ун билдә аша яҙып була башлай .Был кешелек өсөн бик ҙур ҡаҙаныш була. Натураль рәттең сикһеҙлеген аңлау натураль һан төшөнсәһенең үҫешендә бик мөһим аҙым була. Был турала Евклид , Архимед хеҙмәттәрендә һәм башҡа беҙҙең эраға тиклемге 3 быуат антик донъя математикаһы ҡомартҡыларында иҫкә алына. Евклид үҙенең «Нигеҙҙәр» ((грек. Στοιχεῖα, лат. Elementa)тигән хеҙмәтендә ябай һандарҙы сикһеҙ дауам итеп булыуын күрһәтә. Шунда уҡ Евклид һанды — "бер һанынан төҙөлгән күплек " тип билдәләй.

Архимед «Псаммит» исемле хеҙмәтендә(боронғо грек. Ψαμμίτης,урыҫ. Исчисление песчинок) теләһә ниндәй ҙур һанды ла билдәләү принциптарын һүрәтләй.

Арифметиканың барлыҡҡа килеүе

Ваҡыт үтеү менән һандар менән төрлө ғәмәлдәр башҡарыла башлай: башта ҡушыу һәм алыу, һуңыраҡ ҡабатлау һәм бүлеү. Бик оҙаҡ ваҡыт үткәс кенә был ғәмәлдәрҙең әйберҙәрҙе иҫәпләү һөҙөмтәһенә бәйле булмаған абстракт сифатлы икәнен аңлай башлайҙар, мәҫәлән, ике әйбер менән өс әйбер бергә, ниндәй сифатҡа әйә әйбер булыуына ҡарамаҫтан, биш әйбер . Шул саҡта ғәмәл ҡағиҙәләрен уйлап сығара башлайҙар, ғәмәл сифаттарын өйрәнәләр һәм мәсьәләләрҙе сисеү ысулдарын табалар, шул саҡта арифметика — һандар тураһында фән барлыҡҡа килә. Һандарҙың сифаттарын өйрәнеү ихтыяжы арифметика үҫеү процесында килеп сыға, ҡатмарлы законлыҡтары һәм уларҙың ғәмәлгә бәйле бер береһе менән бәйләнеше аңлайышлыға әйләнә, йоп һәм таҡ һан кластары, ябай һәм ҡатмарлы һандар һәм башҡа булдырыла. Хәҙер һандар теорияһы тип йөрөтөлгән математика бүлеге булдырыла. Натураль һандарҙың әйберҙең иҫәбен генә түгел, уның урынлашыу тәртибен дә күрһәтә ала икәнен аңлағас, рәт һандары булдырыла. Натураль һандарҙы (күнегелгән, ябай) нигеҙләү мәсьәләһе фәндә оҙаҡ ваҡыт ҡуйылмай. Тик 19 быуат уртаһында ғына математик анализ һәм математикала аксиоматик метод тәьҫире арҡаһында, иҫәпләү (количественный) натураль һан төшөнсәһен нигеҙләү хәжәте тыуа. Кәсерҙәрҙе ҡулланышҡа индереү үлсәү ихтыяжы менән бәйле һәм тарихта һан төшөнсәһенең тәүге киңәйтелеүе була .

Тиҫкәре һандарҙы ҡуллана башлау

Урта быуаттарҙа тиҫкәре һандарҙы бурыс йә иһә матди юғалтыуҙарҙы иҫәпләү өсөн ҡуллана башлағандар. Тиҫкәре һандарҙы индереү алгебраның фән булараҡ үҫешенә бәйле, был арифметика мәсьәләләрен уларҙың конкрет эстәлегенә,башта бирелгән һандарға ҡарамай сисергә мөмкинлек бирә. Алгебраға кире һандарҙы индереү . Тиҫкәре һандар Һиндостанда 6—11 быуаттарҙа уҡ ҡулланылған, әле нисек аңлатылһа, шулай уҡ аңлатылған.

Декарт аналитик геометрияны эшләп сығарғас, тиҫкәре һандар Европа фәнендә ныҡлы урын ала. Аналитик геометрия тигеҙләмә тамырын нидәйҙер бер кәкре һыҙыҡтың абсциссаалар үҙәге менән киҫелеш нөктәләре координаттары кеүек итеп ҡарау мөмкинлеген бирә,ә был тигеҙләмәнең ыңғай һәм тиҫкәре тамырҙары араһында приципиаль айырманы юҡҡа сығара .

Ысын һандарҙы индереү

Боронғо Грецияла уҡ геометрияла бик мөһим асыш яһалған: бөтә теүәл бирелгән киҫәк үлсәнмәле дәүмәл булмай, башҡаса әйткәндә, не у каждого отрезка длина может быть выражена рациональным числом бөтә киҫәктәрҙең оҙонлоғо рациональ һан менән билдәләнә алмай, мәҫәлән, квадраттың бер яғы һәм диагональ. Евклидтың "Нигеҙҙәр"ендә киҫәктәрҙең үлсәнеү мөмкинлеген күҙ уңында тотҡан киҫәксәләрҙең бер береһенә бәйләнеше теорияһы тәфсирләнә. Боронғо Грецияла ундай бәйләнеште дәүмәле буйынса сағыштыра, уның менән геометриик рәүештә арифметик ғәмәлдәр эшләй белгәндәр . Гректар бындай бәйләнештәрҙе һандар, тип иҫәпләһәләр ҙә, үлсәнеп булмай торған киҫәксәләрҙең бер береһенә бәйләнешен һан тип ҡарап булғанын аңламағандар. Был хәҙерге заман математикаһы тыуған 17 быуатта ғына булдырыла . Исаак Ньютон «Дөйөм арифметика» тигән хеҙмәтендә ысын һандар төшөнсәһен бирә: «Һан тип беҙ берҙәрҙең күплеген түгел, бер дәүмәлдең икенсе шундай уҡ бер тип алған дәүмәлгә абстракт бәйләнешен аңлайбыҙ»(«Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу»). 1970-се йылдар тирәһендә ысын һан төшөнсәһе өҙлөкһөҙлөк төшөнсәһен анализлау нигеҙендә Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс тарафынан теүәлерәк итеп бирелә.

Комплекслы һандарҙы индереү

Алгебра үҫешеү менән комплекслы һандар булдырыу зарурлығы тыуа. Уларҙы ҡулланыуҙың законлығына ышанмау оҙаҡ ваҡыт һаҡлана һәм әле һаман һаҡланып килгән уйланма һан («мнимое»)терминында күренә. 16 быуатта уҡ Италия математиктарында (Дж. Кардано, Р. Бомбелли), комплекслы һандар булдырыу уйы тыуа. Эш шунда- квадрат тигеҙләмәне сығарғанда,әгәр квадрат тигеҙләмәнең ысын тамыры булмаһа, тиҫкәре һандан квадрат тамыр алыу ғәмәленә килтерә. Ошондай квадрат тигеҙләмәне сығарыу мәсьәләһенең сиселеше юҡ кеүек күренә. Өсөнсө дәрәжә тигеҙләмәләрҙе алгебраик сисеүҙе асҡас күренеүенсә, тигеҙләмәнең өс тамыры ла ысын булһа, иҫәпләү барышында тиҫкәре һандарҙан квардат тамыр алыу ғәмәлен башҡарыу кәрәк булып сыға. XVIII быуат аҙағында комплекслы һандарға яҫылыҡта ятыусы нөктәләр рәүешендә геометрик аңлатма биреү һәм комплекслы һандарҙы алгебраик тигеҙләмәләр теорияһына индереүҙең файҙаһын иҫбатлағандан һуң (бигерәк тә Л. Эйлер һәм К. Гаусстың эштәренән һуң), комплекслы һандар математиктар тарафынан таныла һәм алгебрала ғына түгел, математик анализда ла мөһим роль уйнай башлай. Комплекслы һандарҙың әһәмиәте бигерәк тә 19 быуатта комплекслы үҙгәреүсән функциялары теорияһы үҫешенә бәйле арта.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Системы наименования чисел
• Обратное число
• Псевдослучайное число
• Алгебраические числа
• Трансфинитное число
• Нумерология
• Арифметика

Әҙәбиәт

• Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. — Ташкент: ФАН, 1967. — 344 с. Вопреки названию, книга прослеживает историю понятия числа с самых древних времён.
• Меннингер К. История цифр. Числа, символы, слова. — М.: ЗАО Центрполиграф, 2011. — 543 с. — ISBN 9785952449787.
• Понтрягин Л. С. Обобщения чисел. — М.: Наука, 1986. — 120 с. — (Библиотечка «Квант»).
• Ifrah G. The Universal History of Numbers. — John Wiley & Sons, 2000. — 635 p. — ISBN 0471393401. (инг.)

Һылтанмалар

• Вокруг света: Какое число самое большое?
• Грамота.ру: История происхождения слов «число» и «цифра», статья из журнала «Наука и жизнь» 2011 йыл 17 август архивланған.
• Кириллов А. А. Что такое число?. — М., 1993.