Сума

Су́ма (лац.: summa — вынік) — вынік аперацыі складання велічынь (лікаў, функцый, вектараў, матрыц і г. д.). Агульнымі для ўсіх выпадкаў з'яўляюцца ўласцівасці камутатыўнасці, асацыятыўнасці для аперацыі складання, а таксама дыстрыбутыўнасці ў адносінах да множання (калі для разгляданых велічынь множанне вызначана), гэта азначае выкананне суадносін:

• перастаўляльны закон

а + b = b + a

• спалучальны закон

а + (b + c) = (а + b) + c

• правы размеркавальны закон

(а + b)с = ас + bc

• левы размеркавальны закон

с(а + b) = ca + cb

У тэорыі мностваў сумай (ці аб'яднаннем) мностваў называецца мноства, элементамі якога з'яўляюцца ўсе элементы складнікаў мностваў, узятыя без паўтораў.

Вызначаная сума

Часта суму n складнікаў a_k, a_k+1, …, a_N абазначаюць вялікай літарай гречаскай літарай Σ (сігма):

$a_{k}+a_{k+1}+...+a_{N}=\sum _{i=k}^{N}a_{i}$

Гэта абазначэнне называюць вызначанай (канечнай) сумай a_i паi ад k да N.
Для зручнасці замест $\sum _{i=k}^{N}a_{i}$, асабліва калі складваць трэба не ўсе складнікі, а толькі тыя, чый нумар задавальняе пэўную ўмову, часам пішуць $\sum _{P(i)}^{}a_{i}$, дзе $P(i)\$ — некаторая ўмова для $i\$, такім чынам $\sum _{P(i)}^{}a_{i}$ гэта канечная сума ўсіх $a_{i}\$, дзе $i\in Z:P(i)\$
Уласцівасці вызначанай сумы:

1. $\left(\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}\right)\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}b_{j}\right)=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{i}b_{j}\right)$
2. $\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{ij}=\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{ij}$
3. $\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}+\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}b_{i}$
4. $\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}{z\cdot a_{i}}=z\cdot \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}$

Прыклады

1. Сума арыфметычнай прагрэсіі:

   $\sum _{i=0}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}$

2. Сума геаметрычнай прагрэсіі:

   $\sum _{i=0}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}}{1-b}}$

3. $\sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0$

Чаму гэта так  

$\sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum _{i=0}^{n}{1\cdot {\frac {1}{p^{i}}}}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{n+1}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {\frac {p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac {p-1}{p}}}={\frac {p^{n+1}-1}{p^{n}(p-1)}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right)$

1. $\sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1$

Чаму гэта так  

Доказ:

$\sum _{i=0}^{n}ip^{i}=\sum _{i=1}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{i=1}^{n}ip^{i-1}=p\cdot \sum _{i=0}^{n-1}(i+1)p^{i}=p\cdot \left(\sum _{i=0}^{n-1}{ip^{i}}+\sum _{i=0}^{n-1}p^{i}\right)=p\cdot \sum _{i=0}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p^{n}}{1-p}}\Rightarrow$

$\Rightarrow (1-p)\sum _{k=0}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{n-1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p}}\Rightarrow \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}$

1. $\sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1$

Чаму гэта так  

Доказ:

$(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\sum _{i=0}^{n}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\left(n\cdot \sum _{i=0}^{n}p^{i}-\sum _{i=0}^{n}ip^{i}\right)+n+1=$

$=(p-1)\left(n\cdot {\frac {1-p^{n+1}}{1-p}}-{\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}\right)+n+1=$

$={\frac {np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=$

$={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}=\sum _{i=0}^{n}p^{i}$

1. • Пры $p=10\$ атрымліваем $\sum _{i=0}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1$, а гэта паслядоўнасць роўнасцей наступнага выгляду:
     $1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5$

Нявызначаная сума

Нявызначанай сумай a_i по i называецца такая функцыя f(i), якая абазначаецца $\sum _{i}^{}a_{i}$, что $\forall if(i+1)-f(i)=a_{i+1}$.

Формула Ньютана — Лейбніца

Асноўны артыкул: Формула Ньютана — Лейбніца

Калі знайдзена нявызначаная сума $\sum _{i}^{}a_{i}=f(i)$, тады $\sum _{i=k}^{N}a_{i}=f(N+1)-f(k)$. 

Паходжанне слова

Лацінскае слова summa перакладаецца як «галоўны пункт», «сутнасць», «вынік». З XV стагоддзя слова пачынае ўжывацца ў сучасным сэнсе, з'яўляецца дзеяслоў «падсумоўваць» (1489 год).

Гэтае слова пранікла ў многія сучасныя мовы: сума ў рускай, sum ў англійскай, somme ў французскай.

Адмысловы сімвал для абазначэння сумы (S) першым увёў Эйлер у 1755 годзе. У якасці варыянта выкарыстоўвалася грэчаская літара «сігма» Σ. Пазней з прычыны сувязі паняццяў сумавання і інтэгравання, S таксама выкарыстоўвалі для абазначэння аперацыі інтэгравання.

Гл. таксама

• Кантрольная сума

Літаратура

• Су́ма // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 15: Следавікі — Трыо / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2002. — Т. 15. — С. 265. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0251-2 (т. 15).