Carnotov ciklus

Carnotov cikus je poseban termodinamički ciklus kojeg je uveo Nicolas Léonard Sadi Carnot 1824. godine, dok ga je proširio Benoit Paul Émile Clapeyron 1830tih i 40tih godine 19. vijeka. Ovaj ciklus je trenutno najefikasniji ciklus koji može pretvoriti datu količinu termalne energije u rad ili, obrnuto, stvoriti razliku u temperaturama (npr za rashlađivanje) preko date količine rada.

Svaki termodinamički sistem postoji u određenom stanju. Kad sistem prođe kroz niz različitih stanja, te se vrati u početno, za njega se kaže da je obavio kružni proces. Tokom kružnog procesa sistem može predati rad okolini, te tako djelovati kao toplotni motor. Sistem, koji radi po Carnotovom kružnom ciklusu, je hipotetički Carnotov toplotni motor. Toplotni motor prenosi energiju iz toplijeg (grijanog) spremnika u hladniji (rashladni) spremnik, te pritom dio te energije pretvara u mehanički rad. Ciklus se, također, može obrnuti. Sistemu se može dovoditi rad izvana, te se on onda ponaša kao toplotna pumpa (dizalica toplote). Carnotov ciklus je kružni proces s najvišim stepenom iskorištenja, odnosno najveći dio primljene topline pretvara u rad, te najveći dio rada iskorištava za dizanje topline.

Carnotov ciklus

Kada se Carnotov ciklus ponaša kao toplotni motor, sastoji se od sljedećih promjena stanja:

1. Povratne izotermne ekspanzije plina pri temperaturi grijanog spremnika T_H (izotermno dovođenje toplote). Tokom ove promjene stanja (promjena od A do B na slici 1), sistem predaje rad okolini. Plin ekspandira zbog dovođenja toplote Q₁ iz grijanog spremnika.
2. Izentropske (povrtni adijabatski proces) ekspanzije plina (dobiveni izentropski rad). Tokom ove promjene stanja (promjena od B do C na slici 1), sistem je toplotno izoliran od okoline, te niti prima niti predaje toplotu. Plin nastavlja ekspandirati, predajući pritom rad okolini. Ta ekspanzija uzrokuje hlađenje plina do temperature rashladnog spremnika T_C.
3. Povratne izotermne kompresije plina pri temperaturi rashladnog spremnika, T_C (izotermno odvođenje toplote) (promjena od C do D na slici 1). Ovdje okolina vrši rad nad sistemom, te uzrokuje da količina toplote Q₂ pređe iz sistema na rashladni spremnik.
4. Izentropska kompresija plina (uloženi izentropski rad) (promjena od D do A na slici 1). I ovdje je sistem toplinski izoliran od okoline. Tokom ove promjene stanja okolina vrši rad na plinu, komprimirajući ga, te uzrokujući da temperatura poraste na T_H. U tom trenutku plin je u istom stanju kao i na početku.

Slika 1: Carnotov ciklus kao toplinski motor, prikazano na dijagramu temperatura – entropija. Ciklus se odvija između grijanog spremnika temperature T_H i rashladnog spremnika temperature T_C. Na apcisi je entropija, a na ordinati temperatura.

Osobine i značenje

Dijagram temperatura - entropija

Ponašanje Carnotovog motora ili hladnjaka najbolje se opisuje korištenjem dijagrama temperatura – entropija (T-s), u kojem je termodinamičko stanje sistema definisano tačkom na grafiku sa entropijom na apcisi i termodinamičkom temperaturom na ordinati. Za jednostavan sistem sa određenim brojem čestica, bilo koja tačka grafika će predstavljati određeno stanje sistema. Termodinamički proces će biti predstavljen krivuljom koja povezuje početno stanje (A) i konačno stanje (B). Površina ispod krivulje će biti:

$Q=\int _{A}^{B}T\,dS\quad \quad (1)$

što je iznos prenesene toplote u procesu. Ako proces ide prema višoj entropiji, površina ispod krivulje će biti količina toplote koju je sistem primio u tom procesu. Ako proces ide prema nižoj entropiji, biti će iznos odvedene toplote. Za svaki kružni proces postojati će gornji i donji dio ciklusa. Za desnokretni proces, površina ispod gornjeg dijela će biti dovedena toplota tokom ciklusa, a površina ispod donjeg dijela toplina odvedena tokom ciklusa. Površina unutar ciklusa će predstavljati njihovu razliku, ali budući da je promjena unutrašnje energije kod kružnog procesa jednaka nuli, znači da će razlika predstavljati količinu rada koji je sistem izvršio. Gledajući sliku 2, matematički, za povratni proces možemo napisati da je količina rada u jednom ciklusu jednaka:

$W=\oint PdV=\oint (dQ-dU)=\oint (TdS-dU)\quad \quad \quad \quad (2)$

Budući da je dU totalni diferencijal, integral po zatvorenoj krivulji je nula, slijedi da je površina unutar krivulje u T-s dijagramu jednaka radu koji je od sistema odveden, ako se radi o desnokretnom procesu, odnosno radu koji je sistemu doveden, ako se radi od ljevokretnom procesu.

Carnotov ciklus

Rješenje gornjeg integrala je posebno jednostavno ako se radi o Carnotov ciklusu. Količina energije pretvorena u rad je:

$W=\oint PdV=(T_{H}-T_{C})(S_{B}-S_{A})$

Ukupna količina toplote prenesena između grijanog spremnika i sistema će biti:

$Q_{H}=T_{H}(S_{B}-S_{A})\,$

i ukupna kolčina toplote prenesena između sistema i rashladnog spremnika:

$Q_{C}=T_{C}(S_{B}-S_{A})\,$.

Stepen iskorištenja $\eta$ je definisan kao:

$\eta ={\frac {W}{Q_{H}}}=1-{\frac {T_{C}}{T_{H}}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3)$

gdje je

$W$ je rad koji je obavio sistem (energija postoji u sistemu kao rad),

$Q_{H}$ je toplota dovedena sistemu (toplota koja ulazi u sustav),

$T_{C}$ je apsolutna temperatura rashladnog spremnika, i

$T_{H}$ je apsolutna temperatura grijanog spremnika

$S_{B}$ je maksimalna entropija sistema

$S_{A}$ je minimalna entropija sistema

Stepen iskorištenja ima smisla za toplotne motore, budući da je omjer mehaničkog rada i toplote dovedene iz grijanog spremnika.

Carnotov teorem

Iz gornjeg dijagrama se može vidjeti da niti jedan kružni proces, koji radi između temperatura $T_{G}$ i $T_{H}$, ne može premašiti stepen iskorištenja Carnotovog ciklusa.

Carnotov teorem kaže: Niti jedna mašina, koja radi između dva toplotna spremnika, ne može biti učinkovitija od Carnotove mašine između tih istih spremnika. Stoga jednačina 3 daje maksimalni mogući stepan djelovanja za bilo koji motor, koji radi između tih temperatura. Logična posljedica Carnotovog teorema je: Sve povrative mašine, koje rade između istih toplotnih spremnika, imaju jednaki stepen iskorištenja. Ako desnu stranu jednačine napišemo malo drugačije, vidimo da je teoretski maksimalan stepan iskorištenja jednak razlici temperatura grijanog i rashladnog spremnika podijeljenom s temperaturom grijanog spremnika. Termodinamička temperatura se dobije ako temperaturi u stepenima Celsiusa dodamo 273,15. Iz formule se vidi zanimljiva činjenica. Snižavanje temperature rashladnog spremnika će imati veći uticaj na maksimalni stepen djelovanja nego povišenje temperature grijanog spremnika za isti iznos. U stvarnosti, to je teško ostvariti, budući da je rashladni spremnik najčešće okoliš.

Stepen iskorištenja realnih toplotnih motora

Carnot je uvidio da u stvarnosti nije moguće napraviti termodinamički povrativ motor, tako da realni toplotni motori imaju manji stepen iskorištenja od one u jednačini 3. Uprkos tome, jednačina 3 je jako važna za određivanje maksimalnog stepena iskorištenja, koji se može ostvariti između zadanih toplotnih spremnika.

Iako je Carnotov ciklus idealizacija, izraz za Carnotov stepen iskorištenja je svejedno jako koristan. Temperature,

$\langle T_{H}\rangle ={\frac {1}{\Delta S}}\int _{Q_{in}}TdS$

$\langle T_{C}\rangle ={\frac {1}{\Delta S}}\int _{Q_{out}}TdS$

su prosječne temperature pri kojima se toplota dovodi, odnosno, odvodi. U jednačini (3) tako možemo zamijeniti T_H i T_C sa <T_H> i <T_C>

Za Carnotov ciklus ili njegov ekvivalent <T_H> je najviša moguća temperatura, a <T_C> najniža. Za cikluse s manjim stepenom iskorištenja <T_H> će biti niža od T_H i <T_C> će biti viša od T_C. Ovo može pomoći pri razumijevanju zašto, na primjer pregrijač ili regenerator, može poboljšati stepan iskorištenja.

Također pogledajte

• Rankineov ciklus
• Dizelov motor

Vanjski linkovi

• Kružni procesi članak o kružnim procesima sa stranice Fakulteta strojarstva i brodogradnje u Zagrebu.

Reference

• Carnot, Sadi (1824). Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. Paris: Bachelier. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Carnot, Sadi; Thurston, Robert Henry (editor and translator) (1890). Reflections on the Motive Power of Heat and on Machines Fitted to Develop That Power. New York: J. Wiley & Sons. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link) (full text of 1897 ed.)) (html)
• Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (1963). The Feynman Lectures on Physics. Addison-Wesley Publishing Company. str. 44–4f. ISBN 0201021161.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
• Halliday, David; Resnick, Robert (1978). Physics (3rd ed. izd.). John Wiley & Sons. str. 541–548. ISBN 0471024562. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Kittel, Charles; Kroemer, Herbert (1980). Thermal Physics (2nd ed. izd.). W. H. Freeman Company. ISBN 0-7167-1088-9. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)