Duž

Duž (osječak) prave je skup koji sačinjavaju tačke A,B prave a i sve tačke koje se nalaze između tih tačaka. Tačke A, B su krajevi duži, a ostale tačke unutrašnje tačke duži. Skup tih tačaka je otvorena duž. Duž ćiji su krajevi A i B nazivamo rastojanje (odstojanje) tačaka Ai B. Za duž ćiji su krajevi A i B kažemo da je duž AB i označavamo sa AB ili BA Duž čiji se krajevi A i B poklapaju naziva se nulta duž.

Orjentisana duž

Orjentisana duž je duž čiji su krajevi tačke, a nazivamo je i vektorom. Prvi kraj orjentisane duži AB je početak te duži. Uzmimo uređenost prave u smjeru u kome je A<B i C<D kažemo da vektori${\vec {A}}B$ i ${\vec {C}}D$ imaju isti smjer; a ako je D<C onda vektori ${\vec {A}}B$ i ${\vec {C}}D$ imaju suprotne smjerove.

Nula duž određuje nula vektor ${\vec {0}}$

Sadržavanje duži

Teoreme

1. Ako je M unutrašnja tačka duži AB onda

duž AM i MB sadrže se strogo u duži AB tj AM je podskup od AB i BM podskup AB

• duž AB= AM U MB i pri tom je AM ∩ MB = (M)
• ako su M i N unutrašnje tačke duži AB onda se duž MN sadrži u AB

2. Ako su M,N unutrašnje tačke duži AB onda se duž MN sadrži u duži AB Posljedica

1. duž (prava) sadrže beskonačno mnogo tačaka
2. ravan sadrži beskonačno mnogo tačaka

Skup svih pravi koje prolaze kroz tačku ravni i leže u toj ravni ćine pramen pravih s vrhom u tački A.

Aksioma prenošenja duži

Na datoj polupravoj postoji jedna i samo jedna tačka B takva da je duž jednaka datoj duži.

Posljedica

Ako su B, B₁ dvije tačke poluprave sa početkom A takve da je AB=AB₁ onda je B=B₁. Odnosno dvije različite tačke poluprave ne mogu imati jednako rastojanje od početka poluprave.

Sredina duži

Tačka M duži AB koja ima jednako rastojanje od krajeva A i B duži ( AM=MB) naziva se sredina duži Teorema Duž može da ima samo jednu sredinu. Dokaz Neka duž AB ima dvije sredineM i N. AM=MB AN=NB

Za A<B je A<M<N<B ili A<N<M<B. Posmatrajmo A<M<N<B odnosno imamo niz relacija AM<AN ; AN=BN ; BN<BM odnosno AM<BM, nemoguće jer je AM=BM Ako je m sredina duži onda je AB=AM+MB=2 AM

Sabiranje duži

Neka su A,B,C bilo koje tačke prave takve da je A<B<C, tj AB=a i BC=b , duž AC zvaćemo zbirom duži a i b.

Aksiom zbira duži

Ako su tačke A,B,C kolinearne i M,N,P isto kolinearne tačke takve da je AB=MN i BC=NP onda je i AC=MP.

Teorema (pravilo zamjene)

Ako su odgovarajući sabirci dvaju zbirova duži jednaki onda su i zbirovi jednaki.

(a= a₁ & b=b₁) => a+b=a₁ + b₁ Na osnovu ove teoreme proizlazi a=b=>a+c=b+c Komutativnost zbira duži a+b=b+a Asocijativnost (a+b)+c=a+(b+c)

Zbir od n jednakih duži a označavamo sa na. Za proizvod na važ: m(na)=(mn)a (m+n)a=ma + na m(a+b)= ma+mb

Za b=na važi a=b/n

Razlika duži

Za a>b na duži AB postoji tačka C takva da je AC=b, duž a jednaka je zbiru duži b i c. Duž c nazivamo razlika duži a i b.

Odnosno razlika duži a i b (a>b) koja se označava sa a-b je svaka duž c takva da je b+c= c+b=a.

b+c=a => c=a-b

Razlika jednakih duži jednaka je nuli.

Upoređivanje duži

Neka su a i b proizvoljne duži na poluprave sa početkom u A.

Nađimo tačke B i C takve da je AB=a i AC=b . Za A<B<C kažemo da je duž a manja od duži b( a<b) ili duž b je veća od duži a (b>a)

Ako su tačke B i C na jednoj polupravoj sa početkom u A, a B₁, C₁ na drugoj sa početkom u A₁ takve da je AB=A₁B₁ & AC=A₁C₁, ako je A<B<C onda je i A₁,B₁<C₁

Teorema

Ako je a=a₁; b=b₁ i a<a₁ onda je i a<b₁ Teorema Za proizvoljne duži a,b isključivo je ab

Dokaz

Ako prenesemo duži a,b na polupravu sa početkom u O tako da je OA=a i OB=b. Tada je moguć samo jedan od ova tri slučaja

• A=B onda je a=b
• O<A<B onda je a<b
• O<B<A onda je b<a

Teorema( Zakon tranzitivnosti)

Za duži a,b,c važi ( a<b & b<c) => a<c

Teorema(Zakon monotonije)

Za duži a,b,c važi ako je a<b onda je a+c<b+c

odnosno ako nejednakosti duži dodamo s jedne i s druge strane istu duž dobićemo tačnu nejednakost.

Duž u kompleksnoj ravni

Udaljenost između tačaka

Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni određene kompleksnim brojevima a i b respektivno. Tada je rastojanje AB između ovih tačaka dato formulom $AB=\mid a-b\mid$

Ovako određeno rastojanje između dviju tačaka ima sve osobine funkcije udaljenosti..

Za tačku M(z) kompleksne ravni kažemo da je između tačaka A i B ako je $z\neq a,z\neq b$ i

$\mid a-z\mid +\mid z-b\mid =\mid a-b\mid$

pri čemu koristimo oznaku $A-M-C$.

Skup $(AB):={\begin{Bmatrix}M:A-M-B\end{Bmatrix}}$ nazivamo otvoreni segment ili interval određen tačkama A i B. Skup ${\begin{bmatrix}AB\end{bmatrix}}:=(A,B)\cup {\begin{Bmatrix}A,B\end{Bmatrix}}$ je zatvoreni interval ili segment određen tačkama A i B.

Teorema

Neka su A(a) i B(b) dvije različite tačke kompleksne ravni. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

1. M(z) \in(AB)
2. postoji pozitivan realan broj k tako da je $z-a=k(b-z)$
3. postoji realan broj $t\in (0;,1)$ tako da je $z=(1-t)a+tb$.

Dijeljenje duži u zadanom odnosu

Neka su $A(a)$ i $B(b)$ dvije različite tačke. Tačka $M(z)$ na pravoj AB deli duž AB u odnosu $k\in R\smallsetminus {\begin{Bmatrix}1\end{Bmatrix}}$ ako važi sledeća vektorska jednakost:

\overrightarrow{MA}= k \overrightarrow{MB}.

U terminima kompleksnih brojeva ovu jednakost možemo napisati u sledećem obliku $a-z=k(b-z)$ ili $z(1-k)=a-kb$.

Pa je

$z={\frac {a-kb}{1-k}}$

kompleksan broj koji određuje tačku M. Za $k<0$ tačka M pripada segmentu koji spaja tačke A i B.

Ako je $k\in (0,1)$, onda je $M\in (AB)\smallsetminus {\begin{bmatrix}A,B\end{bmatrix}}$

ko je $k>1$, onda je $M\in (AB)\smallsetminus {\begin{bmatrix}A,B\end{bmatrix}}$

Za $k=-1$ ta·cka M je sredina džzi AB, a određena je kompleksnim brojem $z_{m}={\frac {a+b}{12}}$.

Također pogledajte

• Interval (matematika)
• Prava (geometrija)

Izvori

Primene kompleksnih brojevau geometriji /Radoslav Dimitrijević /07.12.2011.

Nedovršeni članak Duž koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.