Gama funkcija

Za članak o gama funkciji ordinala, pogledajte Veblenova funkcija.

U matematici, gama funkcija (označena velikim grčkim slovom Γ) je proširenje faktorijelske funkcije u realne i kompleksne brojeve. Za kompleksan broj z sa pozitivnim realnim dijelom, gama funkcija je definisana sa

Gama funkcija duž dijela realne ose

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\;.$

Ova definicija može se proširiti na ostatak kompleksne ravni, osim u negativne cijele brojeve.

Ako je n pozitivni cijeli broj, tada je

$\Gamma (n)=(n-1)!\,$

što pokazuje vezu sa faktorijelskom funkcijom. Gama funkcija uopćuje faktorijelsku funkciju za ne-cijele i kompleksne vrijednosti od n.

Gama funkcija je komponeneta u raznim funkcijama raspodjele vjerovatnoća, i tako takva je primjeljiva u oblastima vjerovatnoće i statistike, kao i kombinatorike.

Definicija

Glavna definicija

Proširena verzija gama funkcije u kompleksnoj ravni

Oznaku Γ(z) uveo je Adrien-Marie Legendre. Ako je realni dio kompleksnog broja z pozitivan (Re[z] > 0), tada cijeli broj

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt$

konvergira apsolutno. Koristeći integraciju po članovima, može se pokazati da je

$\Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\,\!$

Ova funkcionalna jednačina uopćuje relaciju n! = n×(n-1)! faktorijelske funkcije. Γ(1) izračunavamo analitički:

$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1.$

Kombinujući ove dvije relacije pokazuje nam kako je faktorijelska funkcija spacijalni slučaj gama funkcije:

$\Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,$

za sve prirodne brojeve n.

Partikularne vrijednosti

Glavni članak: Partikularne vrijednosti gama funkcije

${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Također pogledajte

• Beta funkcija
• Bohr-Mollerupov teorem
• Digama funkcija
• Eliptična gama funkcija
• Faktorijel
• Gama distribucija
• Gaussova konstanta
• Gaussova suma
• Nepotpuna gama funkcija
• Lanczosova aproksimacija
• Multivarijantna gama funkcija
• Pochhammerov k-simbol
• Poligama funkcija
• Recipročna gama funkcija
• Stirlingova aproksimacija
• Trigama funkcija

Reference

• Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959)
• Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.
• Bruno Haible & Thomas Papanikolaou. Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers. Technical Report No. TI-7/97, Darmstadt University of Technology, 1997
• Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003
• Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).

Vanjski linkovi

Internet stranice

• Cephes - C and C++ language special functions math library
• Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
• Gamma function calculator
• Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)
• Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages
• Computing the Gamma function - various algorithms
• Online tool to graph functions which contain the Gamma function

Dalje čitanje

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6)
• G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
• Harry Hochstadt. The Functions of Mathematical Physics. New York: Dover, 1986 (See Chapter 3.)
• W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)