Integral

Za druga značenja, pogledajte Integral (čvor).

Integral je ključni koncept više matematike, unutar područja infinitezimalnog računa i matematičke analize. Za datu funkciju f(x) realne varijable x i interval [a,b] na pravcu realnih brojeva, integral

Integral od f(x) od a do b je površina iznad x-ose i ispod krive y = f(x), minus površina ispod x-ose i iznad krivulje, za x u intervalu [a,b].

$\int _{a}^{b}f(x)dx$

predstavlja površinu područja u xy-ravni ograničenu grafikom od f, x-ose, i vertikalnim linijama x=a i x=b.

Ideju integrisanja su oblikovali u kasnom 17. vijeku Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz. Zajedno s konceptom derivacije, integral je postao osnovni alat infinitezimalnog računa, s brojnim primjenama u nauci i inženjerstvu.

Jednu od prvih rigoroznih matematičkih definicija integrala dao je Bernhard Riemann. Zasnovana je na postupku određivanja granične vrijednosti (limesa), koji aproksimira površinu kurvilinearnog područja razbijanjem u vertikalne odsječke. Počevši od 19. vijeka, pojavljuju se složenije oznake integrisanja, pri čemu se poopćuje tip funkcije i domena integracije. Krivolinijski integral je definisan za funkcije dvije ili tri varijable, i interval integracije [a,b] je zamijenjen određenim krivima koje spajaju dvije tačke ravni ili prostora. U površinskom integralu, kriva je zamijenjena dijelom površi trodimenzionalnog prostora. Integrali diferencijalnih formi igraju fundamentalnu ulogu u savremenoj diferencijalnoj geometriji. Ova su poopćenja integrala prvobitno iznikla iz potreba fizike, i igraju značajnu ulogu u oblikovanju fizikalnih zakona, posebno u elektrodinamici. Apstraktnu matematičku teoriju poznatu kao Lebesque integracija je razvio Henri Lebesgue.

Naziv "integral" se također može odnositi sinonimno na značenje onog od antiderivacije, funkcije F čija je derivacija data funkcija f. U ovom se slučaju zove neodređenim integralom, dok su integrali o kojima se raspravlja u ovom članku nazvani određenima. Osnovna teorema integralnog računa tvrdi da se antiderivacija može rabiti za računanje integrala nad intervalom. Neki autori, naprimjer Tom Apostol, razlikuju antiderivaciju i neodređeni integral.

Također pogledajte

• Integro-diferencijalna jednačina

Nedovršeni članak Integral koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.