Desigualtat de Txebixov

La desigualtat de Txebixov és un resultat de la teoria de la mesura amb grans aplicacions a l'estudi de la probabilitat i l'estadística.

Aquest teorema pren el seu nom en honor de Pafnuti Txebixov, que proporcionà la primera demostració de la desigualtat formulada per Irénée-Jules Bienaymé.

Enunciat

Enunciat en el context de la teoria de la mesura

Sigui (X, Σ, μ) un espai mesurable i sigui f una funció real mesurable definida a X. Aleshores, per a tot nombre real t > 0,

$\mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu .$

De forma més general, si g és una funció real mesurable, no-negativa i creixent al rang de ƒ, aleshores

$\mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .$

Podem obtenir la primera de les formulacions definint g(t) com

$g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\text{si }}t\geq 0\\0&{\text{en cas contrari,}}\end{cases}}$

i agafant |ƒ| en lloc de ƒ a la segona expressió.

Enunciat probabilistic

En tant que un espai de probabilitats és un espai de mesura 1, retrobem un cas particular de la Desigualtat de Txebixef:

Sigui X una variable aleatòria no-negativa i $f:\mathbb {R} _{+}\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ una funció creixent tal que $E[f(X)]<\infty$ (on $E[f(X)]$ indica l'esperança de la variable aleatòria f(X)). Aleshores, per tot nombre real a es té:

$f(a)P\{X\geq a\}\leq E[f(X)]$

Una versió menys general d'aquesta desigualtat que trobem a diverses obres de referència és

$P\{|X-E[X]|\geq a\}\leq {\frac {\sigma ^{2}(X)}{a^{2}}}$

on $\sigma$ indica la desviació típica de 'X'.