Distribució de Rademacher

En teoria de la probabilitat i estadística, la distribució de Rademacher (que rep el nom de Hans Rademacher) és una distribució de probabilitat discreta en què la variable aleatòria X té un 50% de probabilitats de ser +1 i un 50% de probabilitats de ser -1.

Rademacher

Tipus	distribució univariant, distribució de probabilitat simètrica i distribució de probabilitat discreta
Epònim	Hans Rademacher
Suport	$k\in \{-1,1\}\,$
FD	$F(k)={\begin{cases}0,&k<-1\\1/2,&-1\leq k<1\\1,&k\geq 1\end{cases}}$
Esperança matemàtica	$0\,$
Mediana	$0\,$
Moda	N/A
Variància	$1\,$
Coeficient de simetria	$0\,$
Curtosi	$-2\,$
Entropia	$\ln(2)\,$
FC	$\cos(t)\,$

Una sèrie de variables distribuïdes segons Rademacher com un camí aleatori simple i simètric en què la mida de la passa és 1-

Formulació matemàtica

La funció de massa de probabilitat d'aquesta distribució és:

$f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{if }}k=-1,\\1/2&{\mbox{if }}k=+1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{matrix}}\right.$

En termes de la funció delta de Dirac, es pot expressar com:

$f(k)={\frac {1}{2}}\left(\delta \left(k-1\right)+\delta \left(k+1\right)\right).$

Fita de Van Zuijlen's

Van Zuijlen va demostrar el següent resultat.

Sigui X_i un conjunt de variables aleatòries independents distribuïdes segons Rademacher, llavors:

$\Pr \left(\left|{\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{\sqrt {n}}}\right|\leq 1\right)\geq 0.5.$

La fita és més forta i millor que la que es pot derivar de la distribució normal (aproximadament Pr > 0.31).

Fites en les sumes

Sigui {x_i} un conjunt de variables aleatòries distribuïdes segons Rademacher i {a_i} una seqüència de nombres reals. Llavors:

$\Pr \left(\sum _{i}x_{i}a_{i}>t||a||_{2}\right)\leq e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}$

on ||a||₂ és la norma euclidiana de la seqüència {a_i}, t > 0 és un nombre real i Pr(Z) és la probabilitat de l'esdeveniment Z.

Sigui Y = Σ x_ia_i i Y una sèrie gairebé segurament convergent a l'espai de Banach. Llavors, per t > 0 i s ≥ 1 es té:

$\Pr \left(||Y||>st\right)\leq \left[{\frac {1}{c}}\Pr(||Y||>t)\right]^{cs^{2}}$

per una certa constant c.

Sigui p un nombre real positiu. Llavors, segons la desigualtat de Khintchine:

$c_{1}\left[\sum {\left|a_{i}\right|^{2}}\right]^{\frac {1}{2}}\leq \left(E\left[\left|\sum {a_{i}x_{i}}\right|^{p}\right]\right)^{\frac {1}{p}}\leq c_{2}\left[\sum {\left|a_{i}\right|^{2}}\right]^{\frac {1}{2}}$

on c₁ i c₂ són constants que només depenen de p.

Per p ≥ 1,

$c_{2}\leq c_{1}{\sqrt {p}}.$

Aplicacions

La distribució de Rademacher s'ha usat en bootstrapping i per demostrar que distribuït de manera normal i incorrelat no implica independent.

Vectors aleatoris amv components mostrejats independentment de la distribució de Rademacher són útils en diverses en aproximacions estocàstiques, per exemple:

• L'estimador de rastre de Hutchinson, que es pot usar eficientment per aproximar la traça d'una matriu els elements dels quals no són accessible de forma directa, sinó que estan definits de forma implícita a través de productes de matrius amb vectors.

• Aproximació estocàstica de perturbació simultània, una aproximació estocàstica de gradient, de baix cost computacional i sense derivades útil en l'optimització matemàtica.

Distribucions relacionades

• Distribució de Bernoulli: Si X segueix una distribució de Rademacher, llavors ${\frac {X+1}{2}}$ té una distribució de Bernoulli(1/2).
• Distribució de Laplace: Si X segueix una distribució de Rademacher i Y ~ Exp(λ), llavors XY ~ Laplace(0, 1/λ).