Forma indeterminada

En matemàtiques, s'anomena forma indeterminada a cadascuna de les expressions algebraiques següents que s'obtenen en el càlcul de límits:

${\frac {0}{0}}\qquad {\frac {\infty }{\infty }}\qquad 0\cdot \infty \qquad 1^{\infty }\qquad 0^{0}\qquad \infty ^{0}\qquad +\infty -\infty$

Dues funcions que presenten la mateixa indeterminació poden tenir límits distints. Els mètodes freqüents per evitar les indeterminacions són la regla de L'Hôpital, el teorema del sandvitx i l'aplicació de logaritmes.

Exemple

La indeterminació $0/0$ apareix als següents límits:

$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}={\frac {0}{0}}\qquad \lim _{x\to 1}{\frac {x-1}{\ln(x)}}={\frac {0}{0}}$

Però, aplicant la Regla de L'Hôpital, els límits d'aquestes funcions són distints:

$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}=2\qquad \lim _{x\to 1}{\frac {x-1}{\ln(x)}}=1$

Indeterminació $1^{\infty }$

Existeix una fórmula per evitar la indeterminació $1^{\infty }$. Siguin $f$ i $g$ dues funcions amb límits $1$ i $\infty$ quan $x\to a$ (sent $a\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$), aleshores

$\lim _{x\to a}f(x)^{g(x)}=1^{\infty }$

En aquest cas,

$\lim _{x\to a}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to a}e^{g(x)\cdot (f(x)-1)}$

Per exemple,

$\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{2^{x}}}\right)^{x}=1^{+\infty }$

Aplicant la fórmula,

$\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{2^{x}}}\right)^{x}=\lim _{x\to +\infty }e^{\frac {x}{2^{x}}}=e^{0}=1$

Indeterminació $\infty /\infty$

• Comparació de funcions: en els quocients de funcions que tendeixen a infinit, es pot predir el resultat del límit comparant el creixement de les funcions (en realitat, el que es compara és el grau dels infinits). Per exemple,

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{x}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}$

Com que la funció exponencial creix més ràpid que un monomi, l'infinit del denominador és major, per la qual cosa el límit és 0:

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{x}}}=0$

Si és major el creixement del numerador, el límit és infinit, per exemple:

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{\ln(x)}}=+\infty$

• Quocient de polinomis: quan $x\to \infty$, apareix la indeterminació $\infty /\infty$ en el límit dels quocients de polinomis. Es pot predir el límit comparant els graus dels polinomis: Siguin $P(x)$ i $Q(x)$ dos polinomis amb graus $\delta P$ i $\delta Q$, respectivament, aleshores:

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {P(x)}{Q(x)}}={\begin{cases}0{\text{ si }}\delta Q>\delta P\\p/q{\text{ si }}\delta P=\delta Q\\\pm \infty {\text{ si }}\delta P>\delta Q\\\end{cases}}$

sent $p$ i $q$ els coeficients principals del polinomis $P(x)$ i $Q(x)$, respectivament.

En el tercer cas, $\delta P>\delta Q$, el signe de l'infinit és $signe(p/q)$.

En el cas $x\to -\infty$, es procedeix de manera semblant.

Indeterminació $\infty -\infty$

Aquesta indeterminació es pot evitar, normalment, operant al límit. Per exemple,

$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}-{\frac {1+x}{x^{2}}}=\pm \infty -\infty$

Però,

$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}-{\frac {1+x}{x^{2}}}=\lim _{x\to 0}-{\frac {1}{x^{2}}}=-\infty$

Indeterminació $\infty ^{0}$

Aquesta indeterminació es sol evitar aplicant les propietats dels logaritmes.

Per exemple,

$\lim _{x\to +\infty }x^{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to +\infty }e^{\frac {\ln(x)}{x}}=e^{0}=1$

Taula de formes indeterminades

La següent taula conté les formes indeterminades i les transformacions necessàries per poder aplicar la regla de L'Hôpital.

Forma indeterminada	Condicions	Transformació a 0/0	Transformació a ∞/∞
$\qquad {\frac {0}{0}}$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	—	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\qquad {\frac {\infty }{\infty }}$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$	—
$\qquad 0\cdot \infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\qquad 1^{\infty }$	$\lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$
$\qquad 0^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$
$\qquad \infty ^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$
$\qquad \infty -\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!$

Vegeu també

• Regla de L'Hôpital