Parell de forces

En física, un parell de forces, parell motor, moment d'una força o, simplement, moment, és una magnitud vectorial que ve donada pel producte vectorial entre una distància i una força. A la literatura hom empra sovint les lletres M, T, Γ o ${\boldsymbol {\tau }}$, per anomenar el parell de forces.

Relacions entre els vectors radi (r), força (F) i parell de forces(τ), i alternativament, entre radi (r), quantitat de moviment (p) i moment angular (L).

Informalment, es pot definir com una força rotatòria que produeix moment angular en comptes de quantitat de moviment lineal.

La unitat SI pel parell de forces és el newton metre (N·m). Tot i que dimensionalment és equivalent al joule, convé no confondre amdues unitats. El joule mesura l'energia, una magnitud escalar; en canvi, el N·m mesura el moment, que a més es tracta d'una magnitud vectorial.

Història

El concepte es va originar amb els estudis d'Arquímedes sobre l'ús de palanques, que es reflecteix en la seva famosa cita:

«	Doneu-me un punt de suport i mouré el món	»
— Arquímedes

.

En anglès, se l'anomena torque. Es diu que el terme torque (del llatí torquēre, 'torcer') va ser suggerit per James Thomson i va aparèixer impresa l'abril de 1884. L'ús és atribuït el mateix any per Silvanus P. Thompson a la primera edició de Dynamo-Electric Machinery. Thompson argument el terme de la forma següent:

«	De la mateixa manera que la definició newtoniana de força és allò que produeix o tendeix a produir moviment (al llarg d'una línia), també el parell es pot definir com allò que produeix o tendeix a produir produir torsió (al voltant d'un eix). És millor utilitzar un terme que tracti aquesta acció com una única entitat definida que utilitzar termes com "parella" i "moment", que suggereixen més idees complexes. La noció única d'un gir aplicat per girar un eix és millor que la noció més complexa d'aplicar una força lineal (o un parell de forces) amb un cert palanquejament.	»
— Silvanus P. Thompson

Definició

El moment d'una força respecte a un sòlid es determina respecte a un punt O (sovint un centre de rotació o el centre de massa del sòlid). Si el punt O està en la línia d'acció de la força, el moment de força és zero. Altrament el parell o moment és el producte vectorial entre el vector entre el punt O i el punt d'aplicació de la força (o en general, qualsevol punt de la línia d'acció de la força) i el mateix vector força.

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$

on

$\mathbf {r}$ és el radi vector entre el punt O i el punt d'aplicació de la força

$\mathbf {F}$ és la força que actua sobre el sòlid

El sentit del vector segueix la regla de la mà dreta. Si els dits de la mà dreta es tanquen en la direcció de gir produït pel parell el polze apunta en la direcció del vector.

Cas de dues forces iguals i de sentit oposat

Un sistema de forces format per dues forces iguals en mòdul i direcció, i de sentit oposat que a més no actuïn sobre la mateixa línia d'acció tenen com a resultant una força zero i un parell no nul que es pot trobar prenent com a r és el radi vector entre els dos punts d'aplicació de les forces.

En general d'un sistema de forces amb resultant de força nul·la se'n diu un parell de forces.

Palanques i parell

El concepte de parell prové de les investigacions sobre la palanca fetes per Arquimedes de Siracusa. La força aplicada (en perpendicular) sobre una palanca multiplicada per la distància al pivot és el moment de la palanca. Per exemple, si apliquem una força de 20 N a una palanca d'1,5 m tenim un parell de 30 N·m.

Parell transmès per un arbre

En enginyeria mecànica un arbre és un eix que transmet parell. Per exemple l'arbre de sortida d'un motor o d'una transmissió.

Moment flector

En resistència de materials moment flector o moment de flexió és el moment que produeix flexió en la secció d'una biga. Flexió

Moment torsor

En resistència de materials moment torsor o moment de torsió és el moment que produeix torsió en la secció d'un perfil.

Teorema del moment angular

Per a un sistema de massa constant el [teorema del moment angular] respecte un punt fix O estableix que la derivada temporal del vector moment angular en respecte a O, OK, és igual al parell resultant de les forces d'interacció externes que actuen sobre el sistema.

És a dir:

$\sum {\boldsymbol {\tau }}={\mathrm {d} \mathbf {OK} \over \mathrm {d} t}\,\!$

on el parell angular és:

$\mathbf {OK} =\mathbf {I} {\omega }\,\!$

El producte del tensor moment d'inèrcia $\mathbf {I}$ pel vector velocitat angular $\omega$ del sistema.

En el cas en què el moment d'inèrcia romangui constant en el temps (p.e. en el cas d'un rotor en rotació sobre uns rodaments fixes):

$\sum {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} {\mathrm {d} \mathbf {\omega } \over \mathrm {d} t}=\mathbf {I} {\alpha }\,\!$

on $\alpha$ és l'acceleració angular, una quantitat que es mesura en radians dividit per segon al quadrat.

El teorema del moment angular és l'equivalent rotacional de la segona llei de Newton on el parell substitueix la força i el moment angular substitueix la quantitat de moviment.

Parell, velocitat angular, treball mecànic i potència

Així com el producte escalar d'una força pel vector distància del seu desplaçament és un treball mecànic, el parell d'un eix multiplicat per l'angle girat és també un treball.

Tanmateix el producte del parell que actua sobre un eix per la seva velocitat angular és una potència.

Per exemple un arbre que transmeti un parell de 10 Nm a 300 rad/s transmet una potència de 3000 watts.

Vegeu també

• Moment angular
• Moment lineal
• Dinàmica del sòlid rígid
• Estàtica

Referències

• Agulló i Batlle, Joaquim. Mecànica de la particula i del sòlid rigid. publicacions OK punt, 2002. ISBN 84-920850-6-1. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W.. Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole, 2004. ISBN 0-534-40842-7. 
• Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman, 2004. ISBN 0-7167-0809-4. 

Enllaços externs

• a discussion of torque and angular momentum in an online textbook Arxivat 2010-12-14 a Wayback Machine. (anglès)
• An interactive simulation of torque (anglès)