Regla dels dies condemnats

La regla dels dies condemnats o regla Doomsday (anglès: Doomsday Rule) és un algorisme per a calcular en quin dia de la setmana cau qualsevol data. Fou ideat per John Conway el 1973,^[1]^[2] inspirant-se en l'algoritme del calendari perpetu de Lewis Carroll.^[3]^[4]^[5]

La base de l'algorisme és que, al llarg de l'any, hi ha una sèrie de dates assenyalades o fàcilment recordables que estan condemnades a caure en el mateix dia de la setmana. Això es deu simplement al fet que els dies que transcorren entre una data i l'altra és múltiple de 7, el número de dies que té cada setmana. Per exemple, el dia de la independència dels Estats Units, la Castanyada o Sant Esteve, són alguns dels dies condemnats, ja que en un mateix any sempre cauran en el mateix dia de la setmana. Aquest dia de la setmana on cauen tots els dies condemnats es diu àncora de l'any.

L'algorisme inclou les següents fases:

Determinar l'àncora del segle.
Calcular l'àncora de l'any.
Comptar els dies que separen la data buscada i el dia condemnat més proper.

L'algorisme és prou senzill per poder ser calculat mentalment. De fet, l'inventor del mètode John Conway, podia aplicar-lo en menys de 2 segons. Per tal de millorar la seva habilitat, practicava amb el seu ordinador, que li proposava un exercici aleatori cada cop que hi accedia.^[6]

Dies condemnats

Dies condemnats clau

La cadena de dies que al llarg de l'any cauran en el mateix dia de la setmana està composta per alguns dies fàcilment recordables per ser dates assenyalades, però també per molts d'altres dies corrents sense cap significat especial. Per ajudar a recordar quants més dies condemnats millor (per facilitar el càlcul per a dates en qualsevol part de l'any) existeixen algunes regles mnemotècniques.

Festivitats

Dia de Pi (14/03)
Dia de la independència dels Estats Units (04/07)
Castanyada o Halloween (31/11)
Sant Esteve (26/12)

Dies mnemotècnics

La frase "Treballa de 9h a 5h en un 7-Eleven" aporta quatre dies condemnats per als mesos senars:

09/05
05/09
07/11
11/07

Per als mesos parells, són fàcilment recordables els següents cinc dies:

04/04
06/06
08/08
10/10
12/12

Per als primers dos mesos de l'any es poden recordar els següents:

03/01 (anys comuns) o 04/01 (anys de traspàs)
L'últim dia de febrer (ja sigui 28/02 o 29/02 en els anys de traspàs)

Llistat complet de dies condemnats

A continuació es llisten tots els dies condemnats de l'any. En negreta, els que poden ésser recordats mitjançant les regles anteriorment exposades:

Mes	Dies	Setmana
Gener (anys comuns)	3, 10, 17, 24, 31	1–5
Gener (anys de traspàs)	4, 11, 18, 25	1–4
Febrer (anys comuns)	7, 14, 21, 28	6–9
Febrer (anys de traspàs)	1, 8, 15, 22, 29	5–9
Març	7, 14, 21, 28	10–13
Abril	4, 11, 18, 25	14–17
Maig	2, 9, 16, 23, 30	18–22
Juny	6, 13, 20, 27	23–26
Juliol	4, 11, 18, 25	27–30
Agost	1, 8, 15, 22, 29	31–35
Setembre	5, 12, 19, 26	36–39
Octubre	3, 10, 17, 24, 31	40–44
Novembre	7, 14, 21, 28	45–48
Desembre	5, 12, 19, 26	49–52

Àncores

D'un any a l'altre, els dies condemnats cauran en un dia de la setmana diferent. L'àncora d'un any és el dia de la setmana on cauen tots els dies condemnats.

Per exemple, el per a l'any 2021 (Calendari gregorià) l'àncora és diumenge (per tant, la Castanyada i Sant Esteve, cauran en diumenge).

Per a altres anys contemporanis, l'ancora s'indica a la taula:

**Dies condemnats per al calendari gregorià**
Dl	Dt	Dc	Dj	Dv	Ds	Dg
1898	1899	1900	1901	1902	1903	→
1904	1905	1906	1907	→	1908	1909
1910	1911	→	1912	1913	1914	1915
→	1916	1917	1918	1919	→	1920
1921	1922	1923	→	1924	1925	1926
1927	→	1928	1929	1930	1931	→
1932	1933	1934	1935	→	1936	1937
1938	1939	→	1940	1941	1942	1943
→	1944	1945	1946	1947	→	1948
1949	1950	1951	→	1952	1953	1954
1955	→	1956	1957	1958	1959	→
1960	1961	1962	1963	→	1964	1965
1966	1967	→	1968	1969	1970	1971
→	1972	1973	1974	1975	→	1976
1977	1978	1979	→	1980	1981	1982
1983	→	1984	1985	1986	1987	→
1988	1989	1990	1991	→	1992	1993
1994	1995	→	1996	1997	1998	1999
→	2000	2001	2002	2003	→	2004
2005	2006	2007	→	2008	2009	2010
2011	→	2012	2013	2014	2015	→
2016	2017	2018	2019	→	2020	2021
2022	2023	→	2024	2025	2026	2027
→	2028	2029	2030	2031	→	2032
2033	2034	2035	→	2036	2037	2038
2039	→	2040	2041	2042	2043	→
2044	2045	2046	2047	→	2048	2049
2050	2051	→	2052	2053	2054	2055
→	2056	2057	2058	2059	→	2060
2061	2062	2063	→	2064	2065	2066
2067	→	2068	2069	2070	2071	→
2072	2073	2074	2075	→	2076	2077
2078	2079	→	2080	2081	2082	2083
→	2084	2085	2086	2087	→	2088
2089	2090	2091	→	2092	2093	2094
2095	→	2096	2097	2098	2099	2100

Es pot observar que l'àncora anual avança dia a dia any rere any. Per exemple, si el 2021 és diumenge, el 2022 serà dilluns. Els anys de traspàs, saltarà dos dies en endavant. Per exemple, el 2023 serà dimarts, però el 2024 serà dijous.

És important recordar que, en el calendari gregorià, seran anys de traspàs:

Els anys divisibles per 4 (2020 és any de traspàs)
- Excepte si també són divisibles per 100 (1900 no és any de traspàs)
  - Excepte si també són divisibles per 400 (2000 és any de traspàs)

Així doncs, el 1900 els dies condemnats caigueren en dimecres i el 1901 en dijous.

L'Algorisme

Havent entès els conceptes de dies condemnats i d'àncora es pot atacar l'algorisme proposat.

1) Determinar l'àncora del segle

Cada segle té una àncora base:

Segle	Àncora
XIX (1800–1899)	Divendres
XX (1900–1999)	Dimecres
XXI (2000–2099)	Dimarts
XXII (2100–2199)	Diumenge

L'àncora centenària es repeteix cíclicament cada quatre segles. Així doncs, per calcular l'ancora del segle XXIII caldrà seguir el cicle: Dimecres → Dimarts → Diumenge → Divendres. El mateix per a calcular àncores de segles anteriors al s.XIX, tot i que aquí cal tenir molt en compte l'ús del calendari julià de forma generalitzada abans del s.XVI.

2) Calcular l'àncora de l'any

Mètode clàssic

Diagrama il·lustratiu del mètode senar + 11

Cal seguir els següents passos:

Anomenar $a$ a l'àncora del segle calculada anteriorment. Cal transformar el dia de la setmana obtingut al número de dia de la setmana (Diumenge = 0, Dilluns = 1, Dimarts = 2, Dimecres = 3, etc.).
Dividir els dos últims dígits de l'any a ancorar entre 12. Anomenar $b$ al quocient enter resultant i $c$ al residu.
Dividir $c$ entre 4. Anomenar $d$ al quocient enter resultant.
Sumar $a+b+c+d$ .
Del resultat anterior, restar de 7 en 7 fins que quedi un nombre entre 0 i 6 (o dividir entre 7 i prendre el residu). Aquest és el dia de la setmana que farà d'àncora de l'any (Diumenge = 0, Dilluns = 1, Dimarts = 2, Dimecres = 3, etc.).

Mètode "senar + 11"

El 2010, Chamberlain Fong i Michael K. Walter, van descobrir un mètode més senzill per a calcular l'àncora d'un any.^[7] Fou descrit i presentat en el 7è Congrés Internacional de Matemàtica Aplicada i Industrial (2011).

És força adient per al càlcul mental, ja que no comporta operacions complexes i és fàcilment recordable, a causa de la seva senzillesa procedimental.

Prendre els dos últims dígits de l'any. Si la xifra és senar, sumar-li 11.
Dividir el resultat entre 2.
Si el resultat és senar, sumar-li 11.
Dividir entre 7 i quedar-se amb el residu.
L'àncora de l'any serà l'àncora del segle (determinada a la fase 1 de l'algorisme) + 7 - residu.

3) Ubicar el dia buscat

Sabent doncs quin dia és l'àncora de l'any i recordant tots els dies condemnats vistos anteriorment, només queda cercar el dia condemnat més proper a la data buscada i comptar els dies de diferència. Així es podrà saber en què cau el dia desitjat.

Exemples

En què caigué...

L'11 de Setembre, Barcelona capitulà davant les tropes borbòniques. És una data assenyalada en la història de Catalunya.

Exemple 1: L'11 de Setembre de 1714

Algorisme

1) Determinar l'àncora del segle

El 1714 pertany al s.XVIII.

XVIII (1600-1699)	Dimarts
XVIII (1700-1799)	Diumenge
XIX (1800–1899)	Divendres
XX (1900–1999)	Dimecres
XXI (2000–2099)	Dimarts
XXII (2100–2199)	Diumenge

L'àncora del segle és diumenge ( $a=0$ ).

2) Calcular l'àncora de l'any

Mètode clàssic

Mètode senar + 11

Prendre $a=0$
Dividir $14/12\Longrightarrow b=1,\ c=2$
Dividir $2/4\Longrightarrow d=0,\ r=2$
Sumar $a+b+c+d=3$
Dividir $3/7\Longrightarrow q=0,\ R=3$

Per tant, com l'últim residu és 3, l'àncora de l'any és el dimecres.

Sumar $14+0=14$ , ja que 14 és parell
Dividir $14/2=7$
Sumar $7+11=18$ , ja que 7 és senar
Dividir $18/7\Longrightarrow q=2,\ R=4$
Sumar $a+7-R=0+7-4=3$

Per tant, com el resultat és 3, l'àncora de l'any és el dimecres.

3) Ubicar el dia buscat

El dia condemnat més proper a l'11 de setembre és el 5 de setembre ("Treballa de 5 a 9 en un 7-Eleven"). Així doncs:

05/09 - Dimecres

06/09 - Dijous

07/09 - Divendres

08/09 - Dissabte

09/09 - Diumenge

10/09 - Dilluns

11/09 - Dimarts

Per tant, l'11 de Setembre de 1714 fou un dimarts.

Exemple 2: La inauguració de Barcelona '92 (25/07/1992)

El 25 de juliol de 1992, Barcelona arrancava un dels Jocs Olímpics més aplaudits de la història.

Algorisme

1) Determinar l'àncora del segle

El 1992 pertany al s.XX.

XIX (1800–1899)	Divendres
XX (1900–1999)	Dimecres
XXI (2000–2099)	Dimarts
XXII (2100–2199)	Diumenge

L'àncora del segle és dimecres ( $a=3$ ).

2) Calcular l'àncora de l'any

Mètode clàssic

Mètode senar + 11

Prendre $a=3$
Dividir $92/12\Longrightarrow b=7,\ c=8$
Dividir $8/4\Longrightarrow d=2,\ r=0$
Sumar $a+b+c+d=20$
Dividir $20/7\Longrightarrow q=2,\ R=6$

Per tant, com l'últim residu és 6, l'àncora de l'any és dissabte.

Sumar $92+0=92$ , ja que 92 és parell
Dividir $92/2=46$
Sumar $46+0=46$ , ja que 46 és parell
Dividir $46/7\Longrightarrow q=6,\ R=4$
Sumar $a+7-R=3+7-4=6$

Per tant, com el resultat és 6, l'àncora de l'any és dissabte.

3) Ubicar el dia buscat

El dia condemnat més proper al 25 de juliol és l'11 de juliol ("Treballa de 5 a 9 en un 7-Eleven"). Així doncs:

11/07 - Dissabte

18/07 - Dissabte

25/07 - Dissabte

Per tant, el 25 de juliol de 1992 caigué en dissabte.

Referències

↑ John Horton Conway, «Tomorrow is the Day After Doomsday» p. 28-32. Eureka, 01-10-1973.
↑ Richard Guy, John Horton Conway, Elwyn Berlekamp : "Winning Ways: For Your Mathematical Plays, Volume. 2: Games in Particular", pages 795–797, Academic Press, London, 1982, ISBN 0-12-091102-7
↑ Lewis Carroll, "To Find the Day of the Week for Any Given Date", Nature, March 31, 1887. doi:10.1038/035517a0
↑ Martin Gardner, The Universe in a Handkerchief: Lewis Carroll's Mathematical Recreations, Games, Puzzles, and Word Plays, pages 24–26, Springer-Verlag, 1996.
↑ «What Day is Doomsday». Mathematics Awareness Month, 01-04-2014.
↑ Alpert, Mark. "Not Just Fun and Games", Scientific American, April, 1999. doi:10.1038/scientificamerican0499-40
↑ Chamberlain Fong, Michael K. Walters: "Methods for Accelerating Conway's Doomsday Algorithm (part 2)", 7th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (2011).

[1] John Horton Conway, «Tomorrow is the Day After Doomsday» p. 28-32. Eureka, 01-10-1973.

[2] Richard Guy, John Horton Conway, Elwyn Berlekamp : "Winning Ways: For Your Mathematical Plays, Volume. 2: Games in Particular", pages 795–797, Academic Press, London, 1982, ISBN 0-12-091102-7

[3] Lewis Carroll, "To Find the Day of the Week for Any Given Date", Nature, March 31, 1887. doi:10.1038/035517a0

[4] Martin Gardner, The Universe in a Handkerchief: Lewis Carroll's Mathematical Recreations, Games, Puzzles, and Word Plays, pages 24–26, Springer-Verlag, 1996.

[5] «What Day is Doomsday». Mathematics Awareness Month, 01-04-2014.

[6] Alpert, Mark. "Not Just Fun and Games", Scientific American, April, 1999. doi:10.1038/scientificamerican0499-40

[Odd11paper-7] Chamberlain Fong, Michael K. Walters: "Methods for Accelerating Conway's Doomsday Algorithm (part 2)", 7th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (2011).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]