Relació d'ordre

Sigui $A\,$ un conjunt qualsevol. Una relació en $A\,$ és un criteri que ens permet dir si dos elements qualssevol de $A\,$ , satisfan la relació o no. Una relació és relació d'ordre si compleix les propietats reflexiva, antisimètrica i transitiva.

La relació d'ordre a un conjunt $A\,$ fa que aquest sigui un conjunt ordenat, de vegades dit parcialment ordenat, per remarcar que no compleix la relació de totalitat.

Els conjunts parcialment ordenats per una relació binària que a més és total, es diuen conjunts totalment ordenats.

Definicions

Definició de relació d'ordre

Una relació d'ordre $\sim \,$ en un conjunt $A\,$ és una relació que, $\forall a,b,c\in A\,$ compleix les següents propietats:

Propietat reflexiva: $\forall a\in A,a\sim a\,$ .
Propietat antisimètrica: $a\sim b\ \land b\sim a\ \Longrightarrow a=b,$ .
Propietat transitiva: $a\sim b,b\sim c\Longrightarrow a\sim c\,$ .

Definició de relació d'ordre total

Una relació d'ordre total $\sim \,$ en un conjunt $A\,$ és una relació que és d'ordre i que compleix la propietat de totalitat d'una relació binària:

Propietat de totalitat: $\forall a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\sim a_{2}\ \lor a_{2}\sim a_{1}\,$ .

Exemples

La relació de divisibilitat | en el conjunt $\mathbb {N}$ dels nombres naturals és una relació d'ordre: n|m si la divisió de n entre m té residu 0. Clarament és reflexiva, antisimètrica i transitiva.

La relació d'igualtat entre els elements d'un conjunt també és una relació d'ordre (no total si el conjunt té almenys dos elements).

La relació a≤b és una relació d'ordre total pels conjunts dels naturals ℕ, enters ℤ, racionals, ℚ, i reals ℝ. També és d'ordre total la relació ≤, com es pot comprovar fàcilment.

Elements notables dels conjunts ordenats

Als conjunts ordenats es poden definir una sèrie d'elements amb propietats particulars. L'element mínim és un exemple: a serà element mínim de $A\$ si es verifica que $\forall b\in A\,a\leq b$ .

L'element màxim es defineix igualment: a serà element màxim de $A\$ si es verifica que $\forall b\in A\,a\geq b$ .

Història

Els conjunts ordenats apareixen a moltes branques de les matemàtiques. Tot i així, no es troben referències explícites fins al segle xix. George Boole fou el més important, juntament amb Charles Sanders Peirce, Richard Dedekind, i Ernst Schröder, que desenvoluparen diferents aspectes teòrics.