Distribució F no central

En Teoria de Probabilitat i Estadística, la distribució F no central és una distribució de probabilitat contínua que és una generalització de la distribució F (ordinària), que s'obté com la distribució del quocient entre una variable amb distribució khi quadrat no central i una variable amb distribució khi quadrat (ordinària), cadascuna dividida pels seus graus de llibertat, i ambdues independents.

Distribució F no central

Tipus	distribució de probabilitat contínua
Mathworld	NoncentralF-Distribution

Aquesta distribució s'utilitza per trobar la funció de potència en diversos contrast d'hipòtesis, com en els de l'Anàlisi de la variància. La referència bàsica d'aquesta pàgina és Johnson et al.

Definició, funció de densitat i funció de distribució

Sigui $X\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}(\lambda )$ una variable aleatòria khi quadrat no central amb $\nu _{1}>0$ graus de llibertat i paràmetre de no centralitat $\lambda \geq 0$ i $Y\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}$ una variable aleatòria khi quadrat amb $\nu _{2}>0$ graus de llibertat, $X$ i $Y$ independents. Aleshores es diu que la variable

$$F={\frac {X/\nu _{1}}{Y/\nu _{2}}}$$

segueix una distribució F no central amb $\nu _{1}$ i $\nu _{2}$ graus de llibertat i paràmetre de no centralitat $\lambda$ , i s'escriu $F\sim F(\nu _{1},\nu _{2};\lambda )$. La funció de densitat de probabilitat (pdf) de la distribució F no central és

$$f(x)=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!\,B\left({\frac {\nu _{1}}{2}}+j,{\frac {\nu _{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}\right)^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}x+\nu _{2}}}\right)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+j}x^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j-1},\quad x>0,$$

on $B(x,y)$ és la funció beta. Reordenant els termes es pot escriure $$f(x)=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,{\frac {\nu _{1}^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j}\nu _{2}^{\frac {\nu _{2}}{2}}}{B{\Big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j,{\frac {\nu _{2}}{2}}{\Big )}}}{\frac {x^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j-1}}{{\big (}{\nu _{1}x+\nu _{2}}{\big )}^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+j}}},\quad x>0,$$

Observació. D'aquesta expressió es dedueix que la distribució $F(\nu _{1},\nu _{2};\lambda )$ és una mixtura de distribucions de probabilitat; concretament, la component $j$, $j=0,1,\dots$ , és la distribució d'una variable aleatòria de la forma ${\tfrac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}$ on $H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}$ és el quocient de dues variables khi quadrat independents, el numerador amb $\nu _{1}+2j$ graus de llibertat i el denominador amb $\nu _{2}$; els pesos venen donats per una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda /2$ . Cal notar que ${\tfrac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}$ no té una distribució F $F(\nu _{1}+2j,\nu _{2})$.

La funció de distribució és$$F(x)=e^{-\lambda /2}\sum \limits _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,I_{m(x)}{\bigg (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j,{\frac {\nu _{2}}{2}}{\bigg )},\quad x\geq 0,$$on $m(x)=\nu _{1}x/(\nu _{1}x+\nu _{2})$ i $I_{\alpha }(a,b)$ és la funció beta incompleta regularitzada, i $F(x)=0$ si $x<0$.

Càlcul de la funció de densitat

Primer calcularem la funció de densitat de la variable aleatòria $$G={\frac {X}{Y}},\ {\text{amb}}\ X\sim \chi ^{2}(\nu _{1},\lambda ),\,Y\sim \chi ^{2}(\nu _{2}),\,X\ {\text{i}}\ Y\ {\text{independents}}.$$D'aquí deduirem la funció de densitat de $F={\tfrac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}G$ . Demostrarem que la distribució de $G$ és una mixtura de distribucions de quocients de variables khi quadrat independents amb pesos donats per una distribució de Poisson. Utilitzarem les següents notacions: Designem per $f_{n}$ la funció de densitat d'una distribució $\chi _{n}^{2}$ i per $f_{n,\lambda }$ la densitat d'una distribució $\chi _{n}^{2}(\lambda )$ . També denotarem per $p_{j}$ els pesos corresponents a una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda /2$: $$p_{j}=e^{-\lambda /2}\,{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}.$$Recordem que la distribució khi quadrat no central $\chi _{\nu _{1}}^{2}(\lambda )$ és una mixtura de distribucions $\chi _{\nu _{1}+2j}^{2},\ j=0,1,\dots$ amb pesos $p_{j}$ , i tenim $$f_{\nu _{1},\lambda }(x)=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\,f_{\nu _{1}+2j}(x).\quad \quad (1)$$Donada la independència entre $X$ i $Y$ , la funció de densitat conjunta de $(X,Y)$ és $$f_{(X,Y)}(x,y)=f_{X}(x)\,f_{Y}(y)=f_{\nu _{1},\lambda }(x)\,f_{\nu _{2}}(y).\quad \quad (2)$$Sigui $\varphi _{G}$ la funció característica de $G$. Per (2) i (1), $${\begin{aligned}\varphi _{G}(t)&=E{\big [}e^{itG}{\big ]})=E{\big [}e^{itX/Y}{\big ]}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx/y}f_{(X,Y)}(x,y)\,dx\,dy\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx/y}f_{\nu _{1},\lambda }(x)f_{\nu _{2}}(y)\,dx\,dy=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx/y}f_{\nu _{1}+2j}(x)f_{\nu _{2}}(y)\,dx\,dy.\quad \quad (3)\end{aligned}}$$Però $f_{\nu _{1}+2j}(x)f_{\nu _{2}}(y)$ és la funció de densitat conjunta d'una variable aleatòria $Y_{\nu _{1}+2j}\sim \chi _{\nu _{1}+2j}^{2}$ i una variable $Y'_{\nu _{2}}\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}$ independents. Per tant, els sumands de (3) són les funcions característiques de variables aleatòries de la forma $H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}=Y_{\nu _{1}+2j}/Y'_{\nu _{2}}$ . Reconeixem, per tant, una mixtura de distribucions d'aquests tipus amb els pesos $p_{j}$. Per la fórmula del canvi de variables (vegeu la pàgina distribució F per als càlculs) , la funció de densitat de la variable $H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}$ és $$f_{H_{\nu _{1}+2j,\nu _{2}}}(x)={\frac {1}{B{\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j,{\frac {\nu _{2}}{2}}{\big )}}}\,{\frac {x^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j-1}}{(1+x)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+j}}}.$$Finalment, s'utilitza que si $M$ és una variable aleatòria amb funció de densitat $f_{M}$ i $a\neq 0$ , aleshores la densitat de $N=aM$ és $$f_{N}(x)={\frac {1}{|a|}}f{\Big (}{\frac {x}{a}}{\Big )}.$$

Càlcul de la funció de distribució

Per a $x\geq 0$, a partir de la segona expressió de la funció de densitat tenim que$$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\,{\frac {\nu _{1}^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j}\nu _{2}^{\frac {\nu }{2}}}{B{\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j,{\frac {\nu _{2}}{2}}{\big )}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+j-1}}{(\nu _{2}+\nu _{1}t)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+j}}}\,dt.$$Ara a cada integral es fa el canvi $$t={\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}\,{\frac {y}{1-y}}$$i s'obté una integral del tipus funció beta incompleta.

Moments. Esperança i variància

Sigui $F\sim F(\nu _{1},\nu _{2};\lambda )$ . Aleshores $F$ té moment d'ordre $k$ si i només si $k<\nu _{2}/2$. En aquest cas, $$E[F^{k}]={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}\,{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{2}}{2}}-k{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{2}}{2}}{\big )}}}e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-\lambda /2)^{j}}{j!}}\,{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j+k{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j{\big )}}}.$$

En particular, si $\nu _{2}>2$, llavors $F$ té esperança i val $$E[F]={\frac {\nu _{2}(\nu _{1}+\lambda )}{\nu _{1}(\nu _{2}-2)}}.$$Si $\nu _{2}>4$, llavors $F$ té moment de 2n. ordre que val $$E[F^{2}]={\frac {\nu _{2}^{2}}{\nu _{1}^{2}}}\,{\frac {(\nu _{1}+\lambda )^{2}+4\lambda +2\nu _{1}}{(\nu _{2}-2)(\nu _{2}-4)}}.$$ La variància és$${\text{Var}}(F)=2{\bigg (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\bigg )}^{2}{\frac {(\nu _{1}+\lambda )^{2}+(\nu _{1}+2\lambda )(\nu _{2}-2)}{(\nu _{2}-2)^{2}(\nu _{2}-4)}}.$$

Prova

Amb les notacions que hem introduït al càlcul de la funció de densitat de $F$ , (recordem que $Y_{\nu _{1}+2j}\sim \chi _{\nu _{1}+2j}^{2}$ i $Y'_{\nu _{2}}\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}$ , independents)$${\begin{aligned}E{\big [}F^{k}{\big ]}&={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}E{\big [}G^{k}{\big ]}={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}E{\bigg [}{\frac {Y_{\nu _{1}+2j}^{k}}{(Y'_{\nu _{2}})^{k}}}{\bigg ]}={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}E{\big [}Y_{\nu _{1}+2j}^{k}{\big ]}\,E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}\\&={\Big (}{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}{\Big )}^{k}E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}E{\big [}Y_{\nu _{1}+2j}^{k}{\big ]}.\end{aligned}}$$Amb els mateixos càlculs que hi a la pàgina de la distribució $F$, $$E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}<\infty \quad \Longleftrightarrow \quad k<{\frac {\nu _{2}}{2}},$$i quan $k<\nu _{2}/2$, $$E{\big [}(Y'_{\nu _{2}})^{-k}{\big ]}={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{2}}{2}}-k{\big )}}{2^{k}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{2}}{2}}{\big )}}}.$$D'altra banda, el moment d'ordre $k$ d'una distribució $\chi _{\nu _{1}+2j}^{2}$ és $$E{\big [}Y_{\nu _{1}+2j}^{k}{\big ]}={\frac {2^{k}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j+k{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j{\big )}}}.$$