Šestnáctková soustava

Šestnáctková soustava (též hexadecimální soustava) je číselná soustava základu 16. Slovo hexadecimální pochází z řeckého slova έξι (hexi) znamenajícího „šest“, a latinského slova decem, které znamená „deset“. Hexadecimální čísla se zapisují pomocí číslic '0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8' a '9' a písmen 'A', 'B', 'C', 'D', 'E' a 'F', přičemž písmena 'A'–'F' reprezentují cifry s hodnotou 10–15. Např. 3F7₁₆ reprezentuje hodnotu, které v desítkové soustavě odpovídá číslu 3×16² + 15×16¹ + 7×16⁰ = 1015. Díky jednoduchému vzájemnému převodu mezi šestnáctkovou a dvojkovou soustavou, se hexadecimální zápis čísel často používá v oblasti informatiky, například pro adresy v operační paměti počítače.

Význam a použití

Číselné soustavy, bity a Grayův kód

hex	dec	oct	3	2	1	0	krok
0hex	00dec	00oct	0	0	0	0	g0
1hex	01dec	01oct	0	0	0	1	h1
2hex	02dec	02oct	0	0	1	0	j2
3hex	03dec	03oct	0	0	1	1	i3
4hex	04dec	04oct	0	1	0	0	n4
5hex	05dec	05oct	0	1	0	1	m5
6hex	06dec	06oct	0	1	1	0	k6
7hex	07dec	07oct	0	1	1	1	l7
8hex	08dec	10oct	1	0	0	0	v8
9hex	09dec	11oct	1	0	0	1	u9
Ahex	10dec	12oct	1	0	1	0	sA
Bhex	11dec	13oct	1	0	1	1	tB
CChex	12dec	14oct	1	1	0	0	oC
Dhex	13dec	15oct	1	1	0	1	pD
Ehex	14dec	16oct	1	1	1	0	rE
Fhex	15dec	17oct	1	1	1	1	qF

V podstatě všechny současné počítače pracují ve dvojkové soustavě, protože je to z konstrukčního hlediska nejvýhodnější. Mnohaciferná dvojková čísla jsou však pro člověka dlouhá a nepřehledná. Proto se při programování počítačů často vyjadřují dvojková čísla a kódy v šestnáctkové, případně osmičkové soustavě, kde je počet cifer 4x resp. 3x menší.

Základ hexadecimální soustavy, číslo 16, je rovno 2⁴. Jedna hexadecimální číslice tedy reprezentuje právě 4 dvojkové číslice (bity), čili jeden nibble (půl bajtu). Například všechny hodnoty uložitelné do jednoho bajtu lze vyjádřit právě dvěma šestnáctkovými číslicemi (00₁₆–FF₁₆).

Zápis hexadecimálních čísel

V matematice se šestnáctková čísla označují dolním indexem 16, H nebo hex. Do počítače se hexadecimální čísla zapisují různě, podle konvence používané konkrétním programovacím jazykem nebo souborovým formátem. V programovacím jazyce C se před šestnáctkové číslo klade předpona 0x, např. 0xAB. V některých speciálních situacích se používá pouze předpona x, např. při zadávání znaku pomocí escape sekvence je možno napsat \xAB. V jazyce symbolických adres (assembleru) se hexadecimální číslice obvykle označují předponou $ (např. $AB), nebo příponou h (např. 0ABh). V programovacích jazycích používajících zápis typu 1Fh je před číslo začínající cifrou A–F třeba napsat nevýznamnou nulu, aby se poznalo, že se jedná o číslo, nikoli o identifikátor proměnné (Dech je identifikátor, 0Dech je číslo).

Pro hexadecimální zápis desítkového čísla 225 se používají následující notace:

• E1₁₆, E1_hex, E1_H – matematický zápis
• 0xE1 – zápis v programovacím jazyce C, C++ a v jazycích vycházejících ze syntaxe C-jazyka
• 0E1h – zápis ve většině assemblerů (když číslo nezačíná desítkovou číslicí, tak je 0 na počátku povinná, 'h' může být malé i velké)
• $E1 – jazyk Pascal, některé assemblery
• #0000E1 – zápis kódu barvy v HTML a CSS (šest číslic, první dvojčíslí je intenzita červené, druhá zelené, třetí modré; případně tři číslice – jedna pro každou složku)
• U+00E1 – kód znaku UNICODE (unikód znaku malé dlouhé A – „á“; zpravidla uvádíme minimálně 4 číslice, kvůli UTF-16)
• &HE1 – jazyk Visual Basic

Při zápisu hexadecimálních čísel většinou nehraje roli, zda se pro cifry s hodnotou 10 až 15 použijí velká písmena 'A' až 'F' nebo malá písmena 'a' až 'f'.

Převody čísel

Převodem čísel zde zpravidla rozumíme převod z hexadecimální soustavy do dekadické, nebo z dekadické do hexadecimální, mohli bychom uvažovat také dvojkovou soustavu nebo osmičkovou soustavu, jiné číselné soustavy se běžně nepoužívají.

Hexadecimální desetinná čísla lze vždy převést beze zbytku do desítkové soustavy, avšak dekadická desetinná čísla se často promítnou do šestnáctkové soustavy jako periodická (např. 0,2₁₀ = 0,333333...₁₆).

Převod celých desítkových čísel na šestnáctkové

Celá desítková čísla můžeme převádět na šestnáctková například pomocí postupného dělení šestnácti a sepisování zbytku po dělení.

Mějme například číslo $x=(15119)_{10}$ v dekadické soustavě. Převod provádíme tak, že číslo $x$ dělíme šestnácti a výsledek (podíl) píšeme v celých číslech. Při dělení vzniká zbytek, který si napíšeme. Vzniklý podíl opětovně dělíme šestnácti a zbytek zapisujeme, dokud nedostaneme nulu. Když přečteme zbytky v obráceném pořadí jako šestnáctkové číslice, dostáváme šestnáctkové číslo:

15119 / 16	= 944 zbytek 15	(F)16
944 / 16	= 59 zbytek 0	(0)16
59 / 16	= 3 zbytek 11	(B)16
3 / 16	= 0 zbytek 3	(3)16

Když přepíšeme zbytky v opačném pořadí, dostaneme šestnáctkové číslo 3B0F₁₆.

Převod celých šestnáctkových čísel na desítkové

Výpočet hodnoty hexadecimálního čísla, které se skládá z $k$ číslic $x_{0}x_{1}\ldots x_{(k-1)}$, nabývající hodnoty 0–9, A, B, C, D, E, F se provádí podle následujícího vzorce:

$x=\sum _{i=0}^{k-1}{x_{i}}\cdot 16^{i}$

Tedy například číslo v hexadecimální soustavě zapsané jako 3B0F znamená v desítkové soustavě číslo 15119:

$\ x_{3}=3;x_{2}={\rm {B}}\equiv 11;x_{1}=0;x_{0}={\rm {F}}\equiv 15$

$({\rm {3B0F}})_{16}=\sum _{i=0}^{k-1}{x_{i}}\cdot 16^{i}=x_{3}\cdot 16^{3}+\ x_{2}\cdot 16^{2}+\ x_{1}\cdot 16^{1}+\ x_{0}\cdot 16^{0}$ $=3\cdot 16^{3}+\ 11\cdot 16^{2}+\ 0\cdot 16^{1}+\ 15\cdot 16^{0}=12288\ +\ 2816\ +\ 0\ +\ 15\ =(15119)_{10}$

rozepsané hex. číslo	3	B	0	F
násobeno	163	162	161	160
rozepsaný násobek	12288	2816	0	15

Převod šestnáctkových čísel na dvojkové

Převod čísla z hexadecimální soustavy do soustavy dvojkové (binární) je usnadněn díky tomu, že číslo 16 je mocninou čísla 2 (2⁴ = 16). Postup převodu je následovný. Rozdělíme byte reprezentovaný dvěma šestnáctkovými čísly na nibbly (¹⁄₂ bytu − 1 písmeno) a každý nibbl převedeme pomocí následující tabulky do jeho dvojkové (binární) reprezentace.

Šestnáctkové číslo	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
Dekadické číslo	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Binární číslo	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Po převodu opět spojíme nibbly (teď již ve dvojkové (binární) reprezentaci) do jednoho bytu (teď již ve dvojkové (binární) reprezentaci).

Příklad: Chceme číslo (3F 5A)₁₆ = (16218)₁₀ převést do dvojkové (binární) soustavy.

Rozdělíme si číslo (dvojbajtové) na jednotlivé nibbly – 3, F, 5, A. Každý nibbl převedeme podle výše uvedené tabulky do jeho dvojkové (binární) reprezentace:

3 = 0011

F = 1111

5 = 0101

A = 1010

A převedené nibbly opět spojíme dohromady (3F 5A)₁₆ = (00111111 01011010)₂.

Převod z dvojkové soustavy do šestnáctkové

Algoritmus převodu je přesně opačný, než u převádění HEX do binární soustavy. Nejprve rozdělíme byty na nibbly, které pomocí výše uvedené tabulky převedeme na jednotlivé číslice v hexadecimální soustavě, které spojíme dohromady.

Příklad 1

Chceme číslo (11001101)₂ převést do hexadecimální soustavy.

Nejprve rozdělíme číslo na jednotlivé nibbly – 1100,1101. A každý nibbl převedeme pomocí výše zmíněné tabulky:
1100 = C
1101 = D

Převedené nibbly opět spojíme dohromady (11001101)₂ = (CD)₁₆. Tím jsme pomocí tabulky získali přímý převod binárního čísla do hexa formy.

Příklad 2

Tabulku není třeba si pamatovat, binární hodnoty lze do hexa převádět i zprostředkovaně přes dekadické hodnoty: Danou hodnotu (100101101)₂ rozdělíme na již zmíněné nibbly (vždy zprava):
1 0010 1101

Označíme pozice a jejich hodnoty, 1₈1₄1₂1₁, takže pokud dle pozic sečteme hodnoty u všech jedniček, získáme dekadickou hodnotu nibblu, zde:
0₈ 0₄ 0₂ 1₁ = 1
0₈ 0₄ 1₂ 0₁ = 2
1₈ 1₄ 0₂ 1₁ = 8 + 4 + 1 = (13)₁₀ = D_H

Číslo už teď stačí jen konečně sepsat do hexa: (12D)₁₆ nebo počítačově 0x12D.

Převodní tabulka

Do jednoho bajtu lze uložit čísla v rozsahu 0 až FF₁₆ nebo dekadicky 0 až 255₁₀. Pomocí následující tabulky převedeme hexadecimální byte tak, že ve sloupci najdeme první cifru a v řádku druhou cifru. Např. pro číslo C5₁₆ najdeme v řádku „C0“ a sloupci „+05“ dekadickou hodnotu 197.

HEX/DEC	+016	+116	+216	+316	+416	+516	+616	+716	+816	+916	+A16	+B16	+C16	+D16	+E16	+F16
0016	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1016	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
2016	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47
3016	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63
4016	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
5016	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95
6016	96	97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111
7016	112	113	114	115	116	117	118	119	120	121	122	123	124	125	126	127
8016	128	129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	143
9016	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	157	158	159
A016	160	161	162	163	164	165	166	167	168	169	170	171	172	173	174	175
B016	176	177	178	179	180	181	182	183	184	185	186	187	188	189	190	191
C016	192	193	194	195	196	197	198	199	200	201	202	203	204	205	206	207
D016	208	209	210	211	212	213	214	215	216	217	218	219	220	221	222	223
E016	224	225	226	227	228	229	230	231	232	233	234	235	236	237	238	239
F016	240	241	242	243	244	245	246	247	248	249	250	251	252	253	254	255

Zlomky v šestnáctkové soustavě

• (1/2)₁₀ = (0,8)₁₆
• (1/4)₁₀ = (0,4)₁₆
• (1/8)₁₀ = (0,2)₁₆
• (1/10)₁₀ = (0,199999…)₁₆
• (1/16)₁₀ = (0,1)₁₆
• (1/20)₁₀ = (0,0CCCCC…)₁₆

Srovnání číselných soustav

Číselná soustava (základ)
10	2	3	4	5	6	7	8	9	12	16	20	36
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	10	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
3	11	10	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
4	100	11	10	4	4	4	4	4	4	4	4	4
5	101	12	11	10	5	5	5	5	5	5	5	5
6	110	20	12	11	10	6	6	6	6	6	6	6
7	111	21	13	12	11	10	7	7	7	7	7	7
8	1000	22	20	13	12	11	10	8	8	8	8	8
9	1001	100	21	14	13	12	11	10	9	9	9	9
10	1010	101	22	20	14	13	12	11	A	A	A	A
100	1100100	10201	1210	400	244	202	144	121	84	64	50	2S
1000	1111101000	1101001	33220	13000	4344	2626	1750	1331	6B4	3E8	2A0	RS

Odkazy

Související články

• Číselná soustava
• Binární soustava
• Osmičková soustava
• Endianita: MSB, LSB

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu šestnáctková soustava na Wikimedia Commons
• Výukový kurs Číselné soustavy/Šestnáctková soustava ve Wikiverzitě