Hyperkoule je v geometrii zobecnění kruhu a koule do vícerozměrného (n >3) prostoru. Je definována jako množina bodů, které mají od daného bodu (tzv. středu ) vzdálenost menší nebo rovnu poloměru r . Povrch hyperkoule v n -rozměrném prostoru je (n-1) -rozměrný a tvoří varietu , která se nazývá (n-1) -sféra
S
n
−
1
.
{\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}.}
3-sféra )
Objem [ujasnit n -rozměrné koule je
V
=
r
n
∏
k
=
1
n
π
Γ
(
k
+
1
2
)
Γ
(
k
2
+
1
)
=
r
n
π
n
2
Γ
(
n
2
+
1
)
,
{\displaystyle V=r^{n}\prod _{k=1}^{n}{\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}+1\right)}}=r^{n}{\pi ^{\frac {n}{2}} \over {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}
kde
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
funkce gama . Tento zápis lze zjednodušit rozpisem na sudé a liché počty rozměrů. Je-li n liché, potom
V
l
=
r
n
π
n
−
1
2
2
n
+
1
2
n
!
!
,
{\displaystyle V_{l}=r^{n}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}2^{\frac {n+1}{2}}}{n!!}},}
a pro sudé n
V
s
=
r
n
π
n
2
(
n
2
)
!
.
{\displaystyle V_{s}=r^{n}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}.}
Povrch n -rozměrné koule je shodný s derivací objemu podle r , tedy
S
=
n
r
n
−
1
∏
k
=
1
n
π
Γ
(
k
+
1
2
)
Γ
(
k
2
+
1
)
=
n
r
n
−
1
π
n
2
Γ
(
n
2
+
1
)
{\displaystyle S=nr^{n-1}\prod _{k=1}^{n}{\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}+1\right)}}=nr^{n-1}{\pi ^{\frac {n}{2}} \over {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}}
Je-li n liché
S
l
=
n
r
n
−
1
π
n
−
1
2
2
n
+
1
2
n
!
!
,
{\displaystyle S_{l}=nr^{n-1}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}2^{\frac {n+1}{2}}}{n!!}},}
je-li n sudé
S
s
=
n
r
n
−
1
π
n
2
(
n
2
)
!
.
{\displaystyle S_{s}=nr^{n-1}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}.}
