Pětiúhelník

Pětiúhelník (pentagon) je rovinný obrazec, mnohoúhelník s pěti vrcholy a pěti stranami. Součet velikostí vnitřních úhlů pětiúhelníku je přesně 540° (3π).

Pravidelný pětiúhelník
Základní informace
Obsah	$S={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4}}a^{2}$
Poloměr kružnice opsané	$r={\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{10}}a$
Poloměr kružnice vepsané	$\rho ={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{10}}a$
Úhel u vrcholu	108°
Délka nejdelší úhlopříčky	$l_{u}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}a$ (zlatý řez)

Pravidelný pětiúhelník je v podstatě složen z pěti shodných rovnoramenných trojúhelníků, jejichž úhly při základně mají velikost ${\frac {3\pi }{10}}$ a při vrcholu ${\frac {2\pi }{5}}$.

Vlastnosti

Vnitřní pětiúhelník vymezený úhlopříčkami

K zajímavým vlastnostem pravidelného pětiúhelníku patří jeho vztah ke zlatému řezu:

• poměr délek úhlopříčky a strany je roven zlatému řezu
• jedna úhlopříčka protíná druhou tak, že délky vzniklých částí jsou opět v poměru zlatého řezu

Úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku uvnitř něho vymezují oblast, která má rovněž tvar pravidelného pětiúhelníku. Vnitřní a vnější pětiúhelník mají stejný střed (geometrie), jsou opačně orientovány a délky jejich stran jsou v poměru

$1:(1-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}})=1:{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$.

Obsah S pravidelného pětiúhelníku o délce strany a je:

${\begin{aligned}S&={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4}}\cdot a^{2}={\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{4}}\cdot a^{2}={\frac {5a^{2}\tan 54^{\circ }}{4}}\approx 1.720~a^{2}\end{aligned}}$

Historie

Pentagram uvnitř prstence, v němž jsou vepsány pythagorejské symboly

Pravidelný pětiúhelník hrál významnou úlohu v mystice a symbolice pythagorejců. Od pravidelného pětiúhelníku je také odvozen symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sektě jako poznávací znamení. Jedním z důvodů, proč byl pravidelný pětiúhelník takto uctíván, bylo zřejmě to, že se v něm hned na několika místech ukazuje nejdokonalejší ze všech poměrů - poměr zlatého řezu.

Konstrukce

Pentagon je jedním z mála pravidelných mnohoúhelníků (s lichým počtem stran), který lze sestrojit euklidovsky, tzn. jen kružítkem a pravítkem.

Postup konstrukce pravidelného pětiúhelníku

Konstrukce pravidelného pětiúhelníku byla známa již ve starověkém Řecku.

Pětiúhelník v soustavě souřadnic

Zapíšeme-li pravidelný pětiúhelník do souřadnicové soustavy, kladouce střed kružnice opsané do bodu $S$ [$x_{0}$; $y_{0}$], obdržíme při poloměru kružnice opsané $k$ a natočení vrcholu nejbližšího ose $x$ v jejím kladném směru o úhel $\omega$ oproti této ose následující souřadnice vrcholů:

	x	y
$X_{1}$	$x_{0}+k\cdot \cos \omega \,\!$	$y_{0}+k\cdot \sin \omega \,\!$
$X_{2}$	$x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {2\pi }{5}})\,\!$	$y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {2\pi }{5}})\,\!$
$X_{3}$	$x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {4\pi }{5}})\,\!$	$y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {4\pi }{5}})\,\!$
$X_{4}$	$x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {6\pi }{5}})\,\!$	$y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {6\pi }{5}})\,\!$
$X_{5}$	$x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {8\pi }{5}})\,\!$	$y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {8\pi }{5}})\,\!$

Body vnitřního pětiúhelníku mají následující souřadnice:

	x	y
$Y_{1}$	$x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$	$y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$
$Y_{2}$	$x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {3\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$	$y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {3\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$
$Y_{3}$	$x_{0}+k\cdot \cos(\omega +\pi )\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$	$y_{0}+k\cdot \sin(\omega +\pi )\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$
$Y_{4}$	$x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {7\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$	$y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {7\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$
$Y_{5}$	$x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {9\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$	$y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {9\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$

Související články

• Penroseovo dláždění

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu pětiúhelník na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo pětiúhelník ve Wikislovníku
• Encyklopedické heslo Pětiúhelník v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích
• Nová pětiúhelníková dlaždice unikala vědcům více než stovku let

Autoritní data	NKC: ph327608

Portály: Matematika