Teorie modelů

Teorie modelů je matematická disciplína, která je jedním z podoborů matematické logiky. Zabývá se studiem reprezentace matematických konceptů pomocí pojmů teorie množin a studiem struktur a modelů, jejich vlastností a vzájemných vztahů a také jejich vztahem k pojmům axiomatické teorie a dokazatelnosti.

Model

Hlavní článek: Model (logika)

Model je sémantický pojem umožňující mluvit o pravdivosti (platnosti) formulí. Jeho protikladem je syntaktický pojem teorie umožňující hovořit o dokazatelnosti formulí. Vztah mezi těmito dvěma pojmy je (v klasické logice) vyjádřen Gödelovou větou o úplnosti. Studium modelů a jejich vlastností může být velmi užitečné, neboť sestrojení vhodného modelu je nejčastější způsob prokázání nedokazatelnosti některých tvrzení v jistých teoriích.

Předmět studia

Teorie modelů se zabývá například otázkami:

Je možné nějakou strukturu či třídu struktur věrně vystihnout nějakými axiomy? – axiomatizovatelnost
Jaké množiny je možné v dané struktuře jednoznačně definovat pomocí nějaké formule? – definovatelnost
Jaké jsou vztahy mezi modely dané teorie? Především:
- Kolik různých modelů existuje? – spektrum teorie
- Existují mezi těmito modely nějaké, které jsou v jistém smyslu minimální resp. maximální? – prvomodely a univerzální modely
- Existují mezi těmito modely nějaké obsahující nejmenší nutný resp. největší možný počet prvků? – atomické a saturované modely

Důležité věty teorie modelů

Základní význam pro teorii modelů má Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky, která neformálně říká, že pojmy dokazatelnosti (v teorii) a pravdivosti (v modelu) splývají, tedy zkoumání modelů může být užitečné pro zjišťování vlastností axiomatických teorií a dokazatelnosti v nich. Další podstatnou větou je věta o kompaktnosti, která poukazuje na konečný charakter pojmu pravdivosti (vyplývá-li nějaká formule z jisté množiny předpokladů, pak vyplývá i z nějaké její konečné části). Podle Löwenheim-Skolemovy věty existují pro danou bezespornou teorii modely všech mohutností větších než kardinalita jazyka. Morleyova věta o kategoričnosti navíc tvrdí, že existuje-li v nějaké takové mohutnosti jen jediný model, pak v každé takové mohutnosti existuje jen jediný model. Podle Vaughtovy "nikdy 2" věty nemůže mít úplná teorie ve spočetném jazyce právě dva spočetné modely.

Související články

Matematická logika

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu teorie modelů na Wikimedia Commons