Aritmetická míra

Aritmetická míra, též čítací míra nebo počítací míra, je mírou používanou hlavně v diskrétních systémech. Neformálně je to funkce, která množině přiřazuje počet jejích prvků.

Definice

Mějme měřitelný prostor $(X,{\mathcal {P}}(X))$, kde $X$ je libovolná množina a ${\mathcal {P}}$ značí potenční množinu (${\mathcal {P}}(X)$ je speciální případ σ-algebry na $X$). Na takovém prostoru definujeme aritmetickou míru pro $A\in {\mathcal {P}}(X)$ takto:

$\alpha (A)={\begin{cases}|A|&{\mbox{pokud A je konečná množina}}\\\infty &{\mbox{pokud A není konečná}}\end{cases}}$

Vztah sumy a integrálu

Aritmetická míra umožňuje zavést sumu jako speciální případ integrálu (Lebesgueova). Jelikož je každá podmnožina $\mathbb {N}$ měřitelná, tak pro každou funkci (resp. posloupnost) $g:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ platí:

$\int _{\mathbb {N} }g\,\mathrm {d} \alpha =\sum _{n=0}^{\infty }g(n)$ Je-li integrál definován.

Tento vztah je užitečný například při zavádění L_p prostoru na množině posloupností.

Portály: Matematika