Diferenciální forma

Diferenciální forma stupně k neboli diferenciální k-forma je matematické zobecnění totálního diferenciálu na hladké varietě. Formálně jde o funkci s hodnotami ve vnější tenzorové mocnině kotečného prostoru. Ekvivalentně, diferenciální forma je antisymetrická multilineární funkce, která k vektorovým polím přiřadí skalár.

Neformálně je diferenciální $k$ -forma objekt, který se dá integrovat přes k-rozměrné podvariety, je to výraz vystupující za symbolem integrálu.

Někdy se pod pojmem diferenciální forma rozumí lineární diferenciální forma (1. stupně, 1-forma, Pfaffova forma), které jsou zobecněním totálního diferenciálu a mají důležité uplatnění např. v termodynamice. V souřadnicích $\{x_{i}\}$ se dá lokálně vyjádřit jako

a_{1}(x)dx_{1}+\ldots +a_{n}(x)dx_{n}

.

Příklad

Příkladem diferenciální formy je totální diferenciál funkce $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ , tj.:

df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}

, kde parciální derivace funkce

f

v bodě

\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}

tvoří vektorové pole

{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}

.

Definice

$M$ je hladká varieta. Zobrazení $\alpha :M\to \bigwedge ^{i}T^{*}M$ nazveme vnější diferenciální $k$ -formou, pokud $\alpha$ je hladké zobrazení a $\alpha (m)\in \bigwedge ^{k}T_{m}^{*}M$ , kde $\bigwedge ^{k}T_{m}^{*}M$ je tzv. vnější mocnina vektorového prostoru $T_{m}^{*}M$ . Často označujeme $\alpha (m)$ symbolem $\alpha _{m}$ .

Prostor vnějších diferenciálních $k$ -forem označujeme symbolem $\Omega ^{k}(M)$ .

Jsou-li $(U,\phi =(x^{1},\ldots ,x^{n}))$ souřadnice z atlasu na $M$ , potom $\alpha _{|U}=\sum _{I}\alpha _{I}dx^{I},$ kde $I\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ je multindex délky $|I|=k,\alpha _{I}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ a $dx^{I}=dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}},$ $i_{j}=1,\ldots ,n$ .

De Rhamův komplex

Prostor diferenciálních forem stupně k na varietě M dimenze n se značí $\Omega ^{k}(M)$ , prostor všech diferenciálních forem $\Omega (M)$ . Na prostoru k-forem je dán De Rhamův diferenciál $d:\,\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)$ . Posloupnost $0\to \Omega ^{0}(M)\to \ldots \to \Omega ^{n}(M)\to 0$ se nazývá De Rhamův komplex a jeho kohomologie jsou izomorfní singulárním kohomologiím s hodnotami v $\mathbb {R}$ .

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.