Homologie (matematika)

V matematice (speciálně algebraické topologii a abstraktní algebře), je homologie (z řeckého ὁμός homos "identické") proces, který přiřadí matematickým objektům posloupnost Abelových grup nebo modulů.

V homologické algebře jsou objekty komplexy $M_{n}{\stackrel {d_{n}}{\to }}M_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\to }}\ldots {\stackrel {d_{1}}{\to }}M_{0}$, kterým se přiřadí moduly $Ker\,\,d_{i}/Im\,\,d_{i+1}$. Těmto modulům říkáme homologie, resp. homologické grupy.

Pokud indexy modulů $M_{i}$ zleva doprava neklesají ale rostou, mluvíme o kohomologii komplexu, resp. kohomologických grupách.

V teorii topologických prostorů se pod homologií prostoru obvykle rozumí singulární homologie.

Původní motivace pro definování homologických grup je pozorování, že jeden aspekt tvaru geometrických útvaru je popis jeho "děr". Protože ale díra v prostorů "není", je na první pohled nejasné, jak díru definovat a jak rozlišit různé typy děr. Homologie topologických prostorů je rigorózní matematická metoda na hledání a kategorizování děr různých typů.

V diferenciální geometrii hrají důležitou roli homologie komplexů diferenciálních operátorů. Nejznámější příklad je de Rhamův komplex, kterého kohomologie jsou izomorfní topologickým singulárním homologiím s koeficienty v reálných číslech.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu homologie na Wikimedia Commons

Autoritní data	PSH: 7292 LCCN: sh85061770 NLI: 987007565420705171

Portály: Matematika