Normální matice

V lineární algebře se čtvercová komplexní matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ nazývá normální matice, pokud komutuje se svou hermitovsky sdruženou maticí, tj. pokud má vlastnost:

{\boldsymbol {A^{\mathrm {H} }A}}={\boldsymbol {AA^{\mathrm {H} }}}

Reálná matice ${\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ je proto normální, právě když komutuje se svou transponovanou maticí:

{\boldsymbol {B^{\mathrm {T} }B}}={\boldsymbol {BB}}^{\mathrm {T} }

Podle spektrální věty je matice normální, právě když je unitárně diagonalizovatelná (resp. pro reálné matice ortogonálně diagonalizovatelná).

Příklad

Reálná matice

{\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}

je normální, protože:

{\boldsymbol {A^{\mathrm {T} }A}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}={\boldsymbol {AA^{\mathrm {T} }}}

Reálná matice

{\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}0&1\\4&0\\\end{pmatrix}}

není normální, protože:

{\boldsymbol {B^{\mathrm {T} }B}}={\begin{pmatrix}0&4\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\4&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16&0\\0&1\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1&0\\0&16\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\4&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&4\\1&0\\\end{pmatrix}}={\boldsymbol {BB^{\mathrm {T} }}}

Vlastnosti

Speciálními případy reálných normálních matic jsou symetrické, antisymetrické a ortogonální matice. V komplexním oboru mezi normální matice patří hermitovské, antihermitovské a unitární matice.

Spektrální věta

Matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ normální, právě když existují unitární matice ${\boldsymbol {U}}$ a diagonální matice ${\boldsymbol {D}}$ takové, že ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {UDU}}^{\mathrm {H} }$ . Jinými slovy, normální matice jsou unitárně diagonalizovatelné, neboli mají Schurův rozklad s diagonální maticí. Sloupce ${\boldsymbol {U}}$ tvoří ortonormální bázi složenou z vlastních vektorů ${\boldsymbol {A}}$ . Prvky na diagonále ${\boldsymbol {D}}$ jsou vlastní čísla ${\boldsymbol {A}}$ .

Příklady

Vlastní čísla reálné matice ${\boldsymbol {A}}$ mohou být komplexní, a tím pádem i prvky matic ${\boldsymbol {U}}$ a ${\boldsymbol {D}}$ , jak ilustruje příklad:

{\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}\implies {\boldsymbol {U}}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\i&-i\\\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {D}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\\\end{pmatrix}}

Pouze pro speciální případ reálné symetrické matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ jsou matice ${\boldsymbol {U}}$ i ${\boldsymbol {D}}$ také reálné.

Existují matice, které jsou diagonalizovatelné, ale nejsou normální. Tyto matice nelze unitárně diagonalizovat, neboli mají rozklad ${\boldsymbol {RDR}}^{-1}$ , kde ${\boldsymbol {R}}$ je regulární ale nikoli unitární.

Ukázkou takové matice je

{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {RDR}}^{-1}={\begin{pmatrix}-1&1\\2&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-{\tfrac {1}{2}}&{\tfrac {1}{4}}\\{\tfrac {1}{2}}&{\tfrac {1}{4}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\4&0\\\end{pmatrix}}

Další vlastnosti

Normální matice je unitární, právě když všechna její vlastní čísla (její spektrum) jsou komplexní jednotky.

Normální matice je hermitovská, právě když má všechna vlastní čísla reálná.

Součet ani součin dvou normálních matic nemusí být normální. Pro normální matice, jejichž součin komutuje, však platí následující:

Jsou-li

{\boldsymbol {A}}

a

{\boldsymbol {B}}

normální, přičemž

{\boldsymbol {AB}}={\boldsymbol {BA}}

, pak jsou normální i matice

{\boldsymbol {AB}}

a

{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}

. Dále existuje unitární matice

{\boldsymbol {U}}

taková, že

{\boldsymbol {UAU}}^{\mathrm {H} }

a

{\boldsymbol {UBU}}^{\mathrm {H} }

jsou diagonální matice. Jinými slovy,

{\boldsymbol {A}}

a

{\boldsymbol {B}}

jsou současně diagonalizovatelné.

V tomto speciálním případě jsou sloupce

{\boldsymbol {U}}^{\mathrm {H} }

vlastními vektory

{\boldsymbol {A}}

i

{\boldsymbol {B}}

a tvoří ortonormální bázi v

\mathbb {C} ^{n}

. Jde o kombinaci tvrzení, že nad algebraicky uzavřeným tělesem jsou komutující matice současně triangularizovatelné a že normální matice jsou diagonalizovatelné. Zde je navíc možné obojí provést současně.

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Normal matrix na anglické Wikipedii a Normale Matrix na německé Wikipedii.

Literatura

BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.