Pravidelný mnohoúhelník

Pravidelný mnohoúhelník je mnohoúhelník, který má všechny úhly stejně velké a všechny strany stejně dlouhé. Může být konvexní nebo hvězdicový.

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky
Obsah	$S={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}$ s je délka strany, n je počet vrcholů/úhlů
Grupa symetrie	Dihedrální (Dn)
Úhel u vrcholu	$\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\times 180^{\circ }$°
Součet vnitřních úhlů	$\left(n-2\right)\times 180^{\circ }$°

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky

Obecné vlastnosti

Tyto vlastnosti se týkají i konvexních i hvězdicových pravidelných mnohoúhelníků.

• Všechny vrcholy pravidelného mnohoúhelníku leží na stejné kružnici (kružnice opsaná). Společně se stejnou délkou stran to znamená, že má i kružnici vepsanou, která se dotýká každé strany v jejím středu.
• Pravidelný n-úhelník je konstruovatelný Eukleidovskou konstrukcí tehdy a jen tehdy, když jsou liché dělitele n různá Fermatova prvočísla.
• Pravidelné mnohoúhelníky jsou symetrické.
• Pravidelný n-úhelník má n os souměrnosti, je-li n sudé číslo, pak má i střed souměrnosti.

Pravidelné konvexní mnohoúhelníky

Galerie

• 
  Rovnostranný trojúhelník
• 
  Čtverec
• 
  Pětiúhelník
• 
  Šestiúhelník
• 
  Sedmiúhelník
• 
  Osmiúhelník
• 
  Devítiúhelník
• 
  Desetiúhelník
• 
  Jedenáctiúhelník
• 
  Dvanáctiúhelník
• 
  Třináctiúhelník
• 
  Čtrnáctiúhelník

Úhly

Pro každý pravidelný konvexní n-úhelník platí, že každý vnitřní úhel je veliký

$(1-{\frac {2}{n}})\times 180$ (neboli $(n-2)\times {\frac {180}{n}}$ ) stupňů

neboli ${\frac {(n-2)\pi }{n}}$ radiánů

a každý vnější úhel (doplňkový k vnitřnímu úhlu) je veliký ${\frac {360}{n}}$ stupňů.

Úhlopříčky

Pro $n>2$ je počet úhlopříček ${\frac {n(n-3)}{2}}$.

Pro n-úhelník vepsaný do jednotkové kružnice je součin vzdáleností od jednoho vrcholu ke všem ostatním vrcholům (včetně sousedních) je rovný n.

Poloměry

Poloměr kružnice opsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

$r={\frac {s}{2\sin {\frac {180}{n}}}}$

Poloměr kružnice vepsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:

$\varrho ={\frac {s}{2\tan {\frac {180}{n}}}}$

Pozn.: Délka poloměru kružnice vepsané se rovná délce apotémy, což je úsečka spojující střed se středem libovolné strany

Obsah

Obsah S pravidelného konvexního n-úhelníku s délkou strany s a poloměry kružnic opsané r a vepsané $\varrho$ je:

$S={\frac {1}{4}}ns^{2}{\text{cotg}}{\tfrac {\pi }{n}}={\frac {1}{2}}nr^{2}\sin {\tfrac {2\pi }{n}}={\frac {1}{2}}ns\varrho$

Pro pravidelné mnohoúhelníky se stranou s=1 jsou obsahy následující

Strany	Název	Přesná plocha	Přibližná plocha
n	pravidelný n-úhelník	${\tfrac {n}{4}}{\text{cotg}}{\tfrac {\pi }{n}}$
3	rovnostranný trojúhelník	${\frac {\sqrt {3}}{4}}$	0,433012702
4	čtverec	1
5	pravidelný pětiúhelník	${\frac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$	1,720477401
6	pravidelný šestiúhelník	${\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	2,598076211
7	pravidelný sedmiúhelník		3,633912444
8	pravidelný osmiúhelník	$2+2{\sqrt {2}}$	4,828427125
9	pravidelný devítiúhelník		6,181824194
10	pravidelný desetiúhelník	${\frac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	7,694208843
11	pravidelný jedenáctiúhelník		9,365639907
12	pravidelný dvanáctiúhelník	$6+3{\sqrt {3}}$	11,19615242
13	pravidelný třináctiúhelník		13,18576833
14	pravidelný čtrnáctiúhelník		15,33450194
15	pravidelný patnáctiúhelník	${\frac {15}{4}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}}$	17,64236291
16	pravidelný šestnáctiúhelník	$4(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}})$	20,10935797
17	pravidelný sedmnáctiúhelník		22,73549190
18	pravidelný osmnáctiúhelník		25,52076819
19	pravidelný devatenáctiúhelník		28,46518943
20	pravidelný dvacetiúhelník	$5(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})$	31,56875757

Ze všech n-úhelníků daného obvodu má pravidelný mnohoúhelník největší plochu.

Pravidelné hvězdicové mnohoúhelníky

Pentagram {5/2}

Nekonvexní pravidelný mnohoúhelník je pravidelný hvězdicový mnohoúhelník. Nejznámějším příkladem je pentagram, který má stejné vrcholy jako pětiúhelník, ale spojuje jiné (všechny zbývající) vrcholy).

Pro každý hvězdicový mnohoúhelník s n stranami se udává Schläfliho symbol, který označuje „hustotu“ m, výsledný symbol je tedy {n/m}. Když je m rovno 2, znamená to, že se spojí každý druhý vrchol. Když je m rovno 3, spojí se každý třetí vrchol atd.

• pentagram - {5/2}
• hexagram - {6/2}
• heptagram - {7/2} a {7/3}
• oktagram - {8/2} a {8/3}
• enneagram - {9/2}, {9/3} a {9/4}
• dekagram - {10/2}, {10/3} a {10/4}
• hendekagram - {11/2}, {11/3}, {11/4} a {11/5}
• dodekagram - {12/2}, {12/3}, {12/4} a {12/5}

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Regular polygon na anglické Wikipedii.

Literatura

• Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 34-37

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu pravidelný mnohoúhelník na Wikimedia Commons

• Pravidelný mnohoúhelník v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Portály: Matematika