Zobecněná souřadnice

Jako zobecněné souřadnice (někdy též obecné souřadnice) se označuje skupina souřadnic použitých k popisu fyzikálního systému. Zobecněné souřadnice nemusí mít fyzikální rozměr délky nebo času. Používají se zvláště v teoretické mechanice.

Nezávislé zobecněné souřadnice

Při řešení určitého fyzikálního problému je výhodné, pokud je možné zvolit zobecněné souřadnice tak, aby byly nezávislé. Tento postup se používá v lagrangeovské mechanice, neboť umožňuje zbavit se těch proměnných, které by bylo nutno vyjádřit pomocí různých vazebných podmínek.

Pro systém s $m$ stupni volnosti a $n$ částicemi, jejichž polohy jsou určeny polohovými vektory $\{\mathbf {r} _{i}\}$ ve třírozměrném prostoru existuje $3n-m$ rovnic, které omezují složky těchto polohových vektorů. Počet zobecněných souřadnic lze v takovém případě zvolit stejný jako je počet stupňů volnosti $m$. Zobecněné souřadnice $\{q_{1},q_{2},...,q_{m}\}$ a čas $t$ postačují k popisu systému, jsou-li všechny zobecněné souřadnice vzájemně nezávislé. Návrat k původním souřadnicím (tedy k polohovým vektorům jednotlivých částic) je pak dán transformačními vztahy

$\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},...,q_{m},t)$

pro $i=1,2,...,n$.

Tyto transformace umožňují při práci s komplikovanými systémy použít vhodnější souřadnice a po vyřešení problému se vrátit zpět k původním souřadnicím. Pomocí těchto rovnic lze vytvořit diferenciály, např. pro případy virtuálního posunutí nebo zobecněných sil.

Prostor $\mathbf {R} ^{n}$ zobecněných souřadnic se nazývá konfigurační prostor.

Zobecněná rychlost

Časová změna zobecněné souřadnice určuje zobecněnou rychlost

${\dot {q}}_{i}={\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}$

Rychlosti pohybu jednotlivých částic lze získat použitím transformačních vztahů

${\dot {\mathbf {r} }}_{i}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}$

Související články

• Lagrangeovská formulace mechaniky
• Stupeň volnosti
• Virtuální práce
• Konfigurační prostor
• Fázový prostor