L'Hôpitals regel er benævnelsen for en række matematiske regler eller sætninger af Guillaume de l'Hôpital, der benyttes til bestemmelse af en brøksgrænseværdi, når både nævner og tæller går mod enten 0 eller ,[1] når den indgående variabel går mod et fast punkt eller mod uendelig.
Af de første to ligninger følger, at funktionerne og er defineret i et interval til højre for . Sættes kan bevises, at både og er kontinuerte på intervallet. Af den tredje ligning følger, at er defineret i et interval , hvor det kan antages, at , da en funktion nødvendigvis må være defineret, for at dens afledede er det. Det betyder, at i dette interval. Hvis opfylder middelværdisætningens antagelser, og der eksisterer et , så
,
hvor , og , så , hvorfor brøken er defineret. At vise at denne brøk har en grænseværdi, er det samme som at vise, at
.
Det vides imidlertid, at
,
og det påstås, at samme afparerer begge . da , gælder
Antag, at og er definerede på intervallet og for og for . Så gælder et lignende resultat som det forrige, hvis brøken har en grænseværdi. Hvis for gælder nemlig for , uanset om eller .
Antag, som ved den første regel, at og er definerede nær et punkt , men denne gang at både og går mod for . Som ved de forrige er resultatet, at hvis for , gælder for . Som tidligere kan både være et reelt tal eller plus eller minus uendelig, og resultatet gælder også, hvis , og .
^Se side 17-18 i Hebsgaard, Thomas m.fl. (1995): Matematik højniveau 2 - integralregning og differentialligninger. Forlaget Trip, Vejle. ISBN87-88049-17-5