Benennung der Seiten und Winkel
Der Innenwinkel beim Eckpunkt A nennt man
α
{\displaystyle \alpha }
Die Dreiecksseite (bzw. deren Länge) gegenüber der Ecke A nennt man a
Alle Seiten sind gleich lang Alle Winkel sind gleich groß (60°) Höhenlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten entspricht dem Mittelpunkt des Umkreises .
Die Höhen schneiden sich in einem Punkt. Die Höhe hc ist die Höhe vom Punkt C aus auf die Seite c. D ist der Höhenfußpunkt von hc .
Flächenberechnung mit Grundseite und Höhe
A
=
g
⋅
h
2
{\displaystyle A={\frac {g\cdot h}{2}}}
Flächenberechnung mit einem Winkel
A
=
b
⋅
c
⋅
sin
(
α
)
2
{\displaystyle A={\frac {b\cdot c\cdot \sin(\alpha )}{2}}}
(b und c sind die den Winkel
α
{\displaystyle \alpha }
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypothenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten:
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle \mathbf {a^{2}+b^{2}=c^{2}} }
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypothenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypothenuse:
a
2
=
p
⋅
c
,
b
2
=
q
⋅
c
{\displaystyle a^{2}=p\cdot c,\ b^{2}=q\cdot c}
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypothenuse flächengleich mit dem Rechteck aus den Hypothenusenabschnitten.
h
2
=
q
⋅
p
{\displaystyle h^{2}=q\cdot p}
Bei einem Dreieck ist :α + β + γ = 180°.
b
c
=
sin
β
sin
γ
;
c
a
=
sin
γ
sin
α
;
a
b
=
sin
α
sin
β
{\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }};\;\;\;\;{\frac {c}{a}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha }};\;\;\;\;{\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}
a
:
sin
α
=
b
:
sin
β
=
c
:
sin
γ
{\displaystyle a:\sin \alpha =b:\sin \beta =c:\sin \gamma }
a
:
b
:
c
=
sin
α
:
sin
β
:
sin
γ
{\displaystyle a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma }
Siehe auch: Sinussatz
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }
b
2
=
c
2
+
a
2
−
2
c
a
cos
β
{\displaystyle b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta }
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }
cos
α
=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}
cos
β
=
c
2
+
a
2
−
b
2
2
c
a
{\displaystyle \cos \beta ={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}}
cos
γ
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
a
2
+
b
c
cos
α
=
b
2
+
c
a
cos
β
=
c
2
+
a
b
cos
γ
=
a
2
+
b
2
+
c
2
2
{\displaystyle a^{2}+bc\cos \alpha =b^{2}+ca\cos \beta =c^{2}+ab\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}}
Siehe auch: Cosinussatz
a
=
b
cos
γ
+
c
cos
β
{\displaystyle a=b\cos \gamma +c\cos \beta }
b
=
c
cos
α
+
a
cos
γ
{\displaystyle b=c\cos \alpha +a\cos \gamma }
c
=
a
cos
β
+
b
cos
α
{\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha }
b
+
c
a
=
cos
β
−
γ
2
sin
α
2
;
b
−
c
a
=
sin
β
−
γ
2
cos
α
2
{\displaystyle {\frac {b+c}{a}}={\frac {\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}};\;\;\;\;{\frac {b-c}{a}}={\frac {\sin {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\cos {\frac {\alpha }{2}}}}}
Analoge Formeln gelten für (c + a )/b , (c - a )/b , (a + b )/c und (a - b )/c .
b
+
c
b
−
c
=
tan
α
+
β
2
tan
α
−
β
2
=
cot
γ
2
tan
α
−
β
2
{\displaystyle {\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}
Analoge Formeln gelten für (c + a )/(c - a ) und (a + b )/(a - b ). Siehe auch: Tangenssatz
Im folgenden bedeutet s immer die Hälfte des Umfangs des Dreiecks ABC , also
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
s
−
a
=
b
+
c
−
a
2
;
s
−
b
=
c
+
a
−
b
2
;
s
−
c
=
a
+
b
−
c
2
{\displaystyle s-a={\frac {b+c-a}{2}};\;\;\;\;s-b={\frac {c+a-b}{2}};\;\;\;\;s-c={\frac {a+b-c}{2}}}
(
s
−
b
)
+
(
s
−
c
)
=
a
{\displaystyle \left(s-b\right)+\left(s-c\right)=a}
(
s
−
c
)
+
(
s
−
a
)
=
b
{\displaystyle \left(s-c\right)+\left(s-a\right)=b}
(
s
−
a
)
+
(
s
−
b
)
=
c
{\displaystyle \left(s-a\right)+\left(s-b\right)=c}
(
s
−
a
)
+
(
s
−
b
)
+
(
s
−
c
)
=
s
{\displaystyle \left(s-a\right)+\left(s-b\right)+\left(s-c\right)=s}
sin
α
2
=
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
b
c
;
sin
β
2
=
(
s
−
c
)
(
s
−
a
)
c
a
;
sin
γ
2
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
a
b
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{bc}}};\;\;\;\;\sin {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-c\right)\left(s-a\right)}{ca}}};\;\;\;\;\sin {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)}{ab}}}}
cos
α
2
=
s
(
s
−
a
)
b
c
;
cos
β
2
=
s
(
s
−
b
)
c
a
;
cos
γ
2
=
s
(
s
−
c
)
a
b
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {s\left(s-a\right)}{bc}}};\;\;\;\;\cos {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {s\left(s-b\right)}{ca}}};\;\;\;\;\cos {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {s\left(s-c\right)}{ab}}}}
tan
α
2
=
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
(
s
−
a
)
;
tan
β
2
=
(
s
−
c
)
(
s
−
a
)
s
(
s
−
b
)
;
tan
γ
2
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
s
(
s
−
c
)
{\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s\left(s-a\right)}}};\;\;\;\;\tan {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-c\right)\left(s-a\right)}{s\left(s-b\right)}}};\;\;\;\;\tan {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)}{s\left(s-c\right)}}}}
s
=
4
r
cos
α
2
cos
β
2
cos
γ
2
{\displaystyle s=4r\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}
s
−
a
=
4
r
cos
α
2
sin
β
2
sin
γ
2
{\displaystyle s-a=4r\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}}
Analoge Formeln gelten für s-b und s-c . Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC wird hier mit F bezeichnet (nicht, wie heute üblich, mit A , um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke A auszuschließen):
Den Umkreisradius des Dreiecks ABC bezeichnen wir mit r .
[Es ist zu beachten, daß die hier benutzten Bezeichnungen r , ρ , ρa , ρb , ρc für den Umkreisradius, den Inkreisradius und die drei Ankreisradien von der vorwiegend im englischsprachigen Raum verbreiteten Bezeichnungsweise abweichen, bei der dieselben Größen R , r , ra , rb , rc genannt werden.]
Heronsche Formel:
F
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
=
1
4
(
a
+
b
+
c
)
(
b
+
c
−
a
)
(
c
+
a
−
b
)
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle F={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}}
F
=
1
4
2
(
b
2
c
2
+
c
2
a
2
+
a
2
b
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle F={\frac {1}{4}}{\sqrt {2\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right)-\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)}}}
F
=
1
2
b
c
sin
α
=
1
2
c
a
sin
β
=
1
2
a
b
sin
γ
{\displaystyle F={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta ={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }
F
=
1
2
a
h
a
=
1
2
b
h
b
=
1
2
c
h
c
{\displaystyle F={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}}
ha , hb und hc die Längen der von A , B bzw. C ausgehenden Höhen des Dreiecks ABC sind.
F
=
2
r
2
sin
α
sin
β
sin
γ
{\displaystyle F=2r^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }
F
=
a
b
c
4
r
{\displaystyle F={\frac {abc}{4r}}}
F
=
ρ
s
=
ρ
a
(
s
−
a
)
=
ρ
b
(
s
−
b
)
=
ρ
c
(
s
−
c
)
{\displaystyle F=\rho s=\rho _{a}\left(s-a\right)=\rho _{b}\left(s-b\right)=\rho _{c}\left(s-c\right)}
F
=
ρ
ρ
a
ρ
b
ρ
c
{\displaystyle F={\sqrt {\rho \rho _{a}\rho _{b}\rho _{c}}}}
Erweiterter Sinussatz:
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
=
2
r
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r}
a
=
2
r
sin
α
{\displaystyle a=2r\sin \alpha }
b
=
2
r
sin
β
{\displaystyle b=2r\sin \beta }
c
=
2
r
sin
γ
{\displaystyle c=2r\sin \gamma }
r
=
a
b
c
4
F
{\displaystyle r={\frac {abc}{4F}}}
In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet, in denen der Inkreisradius ρ und die Ankreisradien ρa , ρb und ρc des Dreiecks ABC vorkommen.
ρ
=
(
s
−
a
)
tan
α
2
=
(
s
−
b
)
tan
β
2
=
(
s
−
c
)
tan
γ
2
{\displaystyle \rho =\left(s-a\right)\tan {\frac {\alpha }{2}}=\left(s-b\right)\tan {\frac {\beta }{2}}=\left(s-c\right)\tan {\frac {\gamma }{2}}}
ρ
=
4
r
sin
α
2
sin
β
2
sin
γ
2
=
s
tan
α
2
tan
β
2
tan
γ
2
{\displaystyle \rho =4r\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=s\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}}
ρ
=
r
(
cos
α
+
cos
β
+
cos
γ
−
1
)
{\displaystyle \rho =r\left(\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1\right)}
ρ
=
F
s
=
a
b
c
4
r
s
{\displaystyle \rho ={\frac {F}{s}}={\frac {abc}{4rs}}}
ρ
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
=
1
2
(
b
+
c
−
a
)
(
c
+
a
−
b
)
(
a
+
b
−
c
)
a
+
b
+
c
{\displaystyle \rho ={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}}
ρ
=
a
cot
β
2
+
cot
γ
2
=
b
cot
γ
2
+
cot
α
2
=
c
cot
α
2
+
cot
β
2
{\displaystyle \rho ={\frac {a}{\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {b}{\cot {\frac {\gamma }{2}}+\cot {\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {c}{\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}}}}
Wichtige Ungleichung:
2
ρ
≤
r
{\displaystyle 2\rho \leq r}
ABC gleichseitig ist.
ρ
a
=
s
tan
α
2
=
(
s
−
b
)
tan
γ
2
=
(
s
−
c
)
tan
β
2
{\displaystyle \rho _{a}=s\tan {\frac {\alpha }{2}}=\left(s-b\right)\tan {\frac {\gamma }{2}}=\left(s-c\right)\tan {\frac {\beta }{2}}}
ρ
a
=
4
r
sin
α
2
cos
β
2
cos
γ
2
=
(
s
−
a
)
tan
α
2
cot
β
2
cot
γ
2
{\displaystyle \rho _{a}=4r\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}=\left(s-a\right)\tan {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}}
ρ
a
=
r
(
−
cos
α
+
cos
β
+
cos
γ
+
1
)
{\displaystyle \rho _{a}=r\left(-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +1\right)}
ρ
a
=
F
s
−
a
=
a
b
c
4
r
(
s
−
a
)
{\displaystyle \rho _{a}={\frac {F}{s-a}}={\frac {abc}{4r\left(s-a\right)}}}
ρ
a
=
s
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
−
a
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
(
c
+
a
−
b
)
(
a
+
b
−
c
)
b
+
c
−
a
{\displaystyle \rho _{a}={\sqrt {\frac {s\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s-a}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a+b+c\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{b+c-a}}}}
Die Ankreise sind gleichberechtigt: Jede Formel für ρa gilt in analoger Form für ρb und ρc .
1
ρ
=
1
ρ
a
+
1
ρ
b
+
1
ρ
c
{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{\rho _{a}}}+{\frac {1}{\rho _{b}}}+{\frac {1}{\rho _{c}}}}
Die Längen der von A , B bzw. C ausgehenden Höhen des Dreiecks ABC werden mit ha , hb und hc bezeichnet.
h
a
=
b
sin
γ
=
c
sin
β
=
2
F
a
=
2
r
sin
β
sin
γ
{\displaystyle h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta ={\frac {2F}{a}}=2r\sin \beta \sin \gamma }
h
b
=
c
sin
α
=
a
sin
γ
=
2
F
b
=
2
r
sin
γ
sin
α
{\displaystyle h_{b}=c\sin \alpha =a\sin \gamma ={\frac {2F}{b}}=2r\sin \gamma \sin \alpha }
h
c
=
a
sin
β
=
b
sin
α
=
2
F
c
=
2
r
sin
α
sin
β
{\displaystyle h_{c}=a\sin \beta =b\sin \alpha ={\frac {2F}{c}}=2r\sin \alpha \sin \beta }
h
a
=
a
cot
β
+
cot
γ
;
h
b
=
b
cot
γ
+
cot
α
;
h
c
=
c
cot
α
+
cot
β
{\displaystyle h_{a}={\frac {a}{\cot \beta +\cot \gamma }};\;\;\;\;\;h_{b}={\frac {b}{\cot \gamma +\cot \alpha }};\;\;\;\;\;h_{c}={\frac {c}{\cot \alpha +\cot \beta }}}
F
=
1
2
a
h
a
=
1
2
b
h
b
=
1
2
c
h
c
{\displaystyle F={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}}
1
h
a
+
1
h
b
+
1
h
c
=
1
ρ
=
1
ρ
a
+
1
ρ
b
+
1
ρ
c
{\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{\rho _{a}}}+{\frac {1}{\rho _{b}}}+{\frac {1}{\rho _{c}}}}
Hat das Dreieck ABC einen rechten Winkel bei C (ist also γ = 90°), dann gilt
h
c
=
a
b
c
{\displaystyle h_{c}={\frac {ab}{c}}}
h
a
=
b
{\displaystyle h_{a}=b}
h
b
=
a
{\displaystyle h_{b}=a}
Die Längen der von A , B bzw. C ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC werden sa , sb und sc genannt.
s
a
=
1
2
2
b
2
+
2
c
2
−
a
2
=
1
2
b
2
+
c
2
+
2
b
c
cos
α
=
a
2
4
+
b
c
cos
α
{\displaystyle s_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+c^{2}+2bc\cos \alpha }}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{4}}+bc\cos \alpha }}}
s
b
=
1
2
2
c
2
+
2
a
2
−
b
2
=
1
2
c
2
+
a
2
+
2
c
a
cos
β
=
b
2
4
+
c
a
cos
β
{\displaystyle s_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {c^{2}+a^{2}+2ca\cos \beta }}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}+ca\cos \beta }}}
s
c
=
1
2
2
a
2
+
2
b
2
−
c
2
=
1
2
a
2
+
b
2
+
2
a
b
cos
γ
=
c
2
4
+
a
b
cos
γ
{\displaystyle s_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}+ab\cos \gamma }}}
s
a
2
+
s
b
2
+
s
c
2
=
3
4
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
{\displaystyle s_{a}^{2}+s_{b}^{2}+s_{c}^{2}={\frac {3}{4}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}
Wir bezeichnen mit wα , wβ und wγ die Längen der von A , B bzw. C ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck ABC .
w
α
=
2
b
c
cos
α
2
b
+
c
=
2
F
a
cos
β
−
γ
2
{\displaystyle w_{\alpha }={\frac {2bc\cos {\frac {\alpha }{2}}}{b+c}}={\frac {2F}{a\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}}
w
β
=
2
c
a
cos
β
2
c
+
a
=
2
F
b
cos
γ
−
α
2
{\displaystyle w_{\beta }={\frac {2ca\cos {\frac {\beta }{2}}}{c+a}}={\frac {2F}{b\cos {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}}
w
γ
=
2
a
b
cos
γ
2
a
+
b
=
2
F
c
cos
α
−
β
2
{\displaystyle w_{\gamma }={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}={\frac {2F}{c\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}
Lehrbuch und Übungsbuch Mathematik: Bd. 2 Planimetrie, Stereometrie und Trigonometrie der Ebene. Von Wolfgang Pauli (1991), ISBN 3-446-00755-5 , KNO-NR: 04 41 57 51
Ursprünglich als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken und daher nur für Winkel von 0 bis 90 Grad definiert (siehe Sinus , Kosinus , Tangens ), können die Winkelfunktionen als Sekanten - und Tangentenabschnitte am Einheitskreis auch auf größere Winkel erweitert werden. Vom Schnittpunkt des einen Winkelschenkels mit dem Einheitskreis werden die Lote auf die beiden Koordinatenachsen gefällt und liefern Sinus und Kosinus des Winkels. Die Tangenten in den Punkten x = 1 bzw. y = 1 schneiden den Schenkel ebenfalls und liefern dann in der Projektion auf die Achsen den Tangens und den Kotangens. Dabei muss der Schenkel gegebenenfalls rückwärts verlängert werden, um einen Schnittpunkt zu erzielen. Auf diese Weise können jedem Winkel von 0 bis 360 Grad Werte der Winkelfunktionen zugeordnet werden, die nun freilich auch negativ werden können (siehe Abbildung).
Die Vorzeichen der Winkelfunktionen in Abhängigkeit vom Quadranten gibt die folgende Tabelle an:
Quadrant
sin
cos
tan
cot
I
+
+
+
+
II
+
−
−
−
III
−
−
+
+
IV
−
+
−
−
Eine Tabelle spezieller Werte findet sich unter Reduktionsformeln .
Anwendung der trigonometrischen Funktionen
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Hauptsächlich werden die trigonometrischen Funktionen im Vermessungswesen genutzt.
Für eine Liste von Formeln zur Berechnung von Größen am Dreieck siehe den Artikel Dreiecksgeometrie .
Weiterhin sind sie in der Analysis und bei vielen Anwendungen der Physik wichtig. Es besteht eine enge Beziehung zur Exponentialfunktion , die besonders bei Funktionen komplexer Zahlen und in der Taylorreihe der Funktionen sichtbar wird.
Umkehrung der trigonometrischen Funktionen
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In manchen Situationen werden die trigonometrischen Winkelfunktionen benötigt, um aus Seitenverhältnissen Winkel zu berechnen. Dazu werden die Arcus-Funktionen oder inverse Winkelfunktionen arcsin , arccos , arctan und arccot - die Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen - verwendet. Auf Taschenrechnern sind sie häufig (irreführenderweise) mit sin -1 usw. bezeichnet, was die Umkehrung zu sin andeuten solle.
Die Arcus-Funktionen werden verwendet, um zu einem Seitenverhältnis den Winkel zu berechnen. Wegen der Symmetrie der trigonometrischen Funktionen ist bei ihnen zu klären, in dem Quadrant der gesuchte Winkel liegt.
Die trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:
tan
x
=
sin
x
cos
x
{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
1
+
tan
2
x
=
1
cos
2
x
=
sec
2
x
{\displaystyle 1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x}
1
+
cot
2
x
=
1
sin
2
x
=
csc
2
x
{\displaystyle 1+\cot ^{2}x={\frac {1}{\sin ^{2}x}}=\csc ^{2}x}
Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:
sin
x
=
1
−
cos
2
x
f
u
¨
r
x
∈
[
0
∘
;
180
∘
]
{\displaystyle \sin x={\sqrt {1-\cos ^{2}x}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[0^{\circ };\;180^{\circ }\right]}
sin
x
=
−
1
−
cos
2
x
f
u
¨
r
x
∈
[
180
∘
;
360
∘
]
{\displaystyle \sin x=-{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[180^{\circ };\;360^{\circ }\right]}
sin
x
=
tan
x
1
+
tan
2
x
f
u
¨
r
x
∈
[
0
∘
;
90
∘
]
∪
[
270
∘
;
360
∘
]
{\displaystyle \sin x={\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]}
sin
x
=
−
tan
x
1
+
tan
2
x
f
u
¨
r
x
∈
[
90
∘
;
270
∘
]
{\displaystyle \sin x=-{\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[90^{\circ };\;270^{\circ }\right]}
cos
x
=
1
−
sin
2
x
f
u
¨
r
x
∈
[
0
∘
;
90
∘
]
∪
[
270
∘
;
360
∘
]
{\displaystyle \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]}
cos
x
=
−
1
−
sin
2
x
f
u
¨
r
x
∈
[
90
∘
;
270
∘
]
{\displaystyle \cos x=-{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[90^{\circ };\;270^{\circ }\right]}
cos
x
=
1
1
+
tan
2
x
f
u
¨
r
x
∈
[
0
∘
;
90
∘
]
∪
[
270
∘
;
360
∘
]
{\displaystyle \cos x={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]}
cos
x
=
−
1
1
+
tan
2
x
f
u
¨
r
x
∈
[
90
∘
;
270
∘
]
{\displaystyle \cos x=-{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[90^{\circ };\;270^{\circ }\right]}
tan
x
=
1
−
cos
2
x
cos
x
f
u
¨
r
x
∈
[
0
∘
;
180
∘
]
{\displaystyle \tan x={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[0^{\circ };\;180^{\circ }\right]}
tan
x
=
−
1
−
cos
2
x
cos
x
f
u
¨
r
x
∈
[
180
∘
;
360
∘
]
{\displaystyle \tan x=-{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[180^{\circ };\;360^{\circ }\right]}
tan
x
=
sin
x
1
−
sin
2
x
f
u
¨
r
x
∈
[
0
∘
;
90
∘
]
∪
[
270
∘
;
360
∘
]
{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]}
tan
x
=
−
sin
x
1
−
sin
2
x
f
u
¨
r
x
∈
[
90
∘
;
270
∘
]
{\displaystyle \tan x=-{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[90^{\circ };\;270^{\circ }\right]}
sin
x
>
0
f
u
¨
r
x
∈
]
0
∘
;
180
∘
[
{\displaystyle \sin x>0\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left]0^{\circ };\;180^{\circ }\right[}
sin
x
<
0
f
u
¨
r
x
∈
]
180
∘
;
360
∘
[
{\displaystyle \sin x<0\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left]180^{\circ };\;360^{\circ }\right[}
cos
x
>
0
f
u
¨
r
x
∈
]
0
∘
;
90
∘
[
∪
]
270
∘
;
360
∘
[
{\displaystyle \cos x>0\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left]0^{\circ };\;90^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ };\;360^{\circ }\right[}
cos
x
<
0
f
u
¨
r
x
∈
]
90
∘
;
270
∘
[
{\displaystyle \cos x<0\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left]90^{\circ };\;270^{\circ }\right[}
tan
x
>
0
f
u
¨
r
x
∈
]
0
∘
;
90
∘
]
∪
[
180
∘
;
270
∘
[
{\displaystyle \tan x>0\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left]0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[180^{\circ };\;270^{\circ }\right[}
tan
x
<
0
f
u
¨
r
x
∈
]
90
∘
;
180
∘
]
∪
[
270
∘
;
360
∘
[
{\displaystyle \tan x<0\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left]90^{\circ };\;180^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right[}
Die Vorzeichen von cot , sec und csc stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen tan , cos bzw. sin .
Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:
sin
(
−
x
)
=
−
sin
x
{\displaystyle \sin(-x)=-\sin x}
cos
(
−
x
)
=
cos
x
{\displaystyle \cos(-x)=\cos x}
tan
(
−
x
)
=
−
tan
x
{\displaystyle \tan(-x)=-\tan x}
cot
(
−
x
)
=
−
cot
x
{\displaystyle \cot(-x)=-\cot x}
sec
(
−
x
)
=
sec
x
{\displaystyle \sec(-x)=\sec x}
csc
(
−
x
)
=
−
csc
x
{\displaystyle \csc(-x)=-\csc x}
Weiterhin sind die Additionstheoreme nützlich:
sin
(
x
+
y
)
=
sin
x
cos
y
+
sin
y
cos
x
{\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\;\cos y+\sin y\;\cos x}
sin
(
x
−
y
)
=
sin
x
cos
y
−
sin
y
cos
x
{\displaystyle \sin(x-y)=\sin x\;\cos y-\sin y\;\cos x}
cos
(
x
+
y
)
=
cos
y
cos
x
−
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos(x+y)=\cos y\;\cos x-\sin x\;\sin y}
cos
(
x
−
y
)
=
cos
y
cos
x
+
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos(x-y)=\cos y\;\cos x+\sin x\;\sin y}
tan
(
x
+
y
)
=
tan
x
+
tan
y
1
−
tan
x
tan
y
=
sin
(
x
+
y
)
cos
(
x
+
y
)
{\displaystyle \tan(x+y)={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\;\tan y}}={\frac {\sin(x+y)}{\cos(x+y)}}}
tan
(
x
−
y
)
=
tan
x
−
tan
y
1
+
tan
x
tan
y
=
sin
(
x
−
y
)
cos
(
x
−
y
)
{\displaystyle \tan(x-y)={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\;\tan y}}={\frac {\sin(x-y)}{\cos(x-y)}}}
cot
(
x
+
y
)
=
cot
x
cot
y
−
1
cot
x
+
cot
y
=
cos
(
x
+
y
)
sin
(
x
+
y
)
{\displaystyle \cot \left(x+y\right)={\frac {\cot x\cot y-1}{\cot x+\cot y}}={\frac {\cos(x+y)}{\sin(x+y)}}}
cot
(
x
−
y
)
=
−
(
cot
x
cot
y
+
1
)
cot
x
−
cot
y
=
cos
(
x
−
y
)
sin
(
x
−
y
)
{\displaystyle \cot \left(x-y\right)={\frac {-\left(\cot x\cot y+1\right)}{\cot x-\cot y}}={\frac {\cos(x-y)}{\sin(x-y)}}}
sin
(
x
+
y
)
sin
(
x
−
y
)
=
cos
2
y
−
cos
2
x
{\displaystyle \sin(x+y)\sin(x-y)=\cos ^{2}y-\cos ^{2}x}
cos
(
x
+
y
)
cos
(
x
−
y
)
=
cos
2
y
−
sin
2
x
{\displaystyle \cos(x+y)\cos(x-y)=\cos ^{2}y-\sin ^{2}x}
Für x = y folgen hieraus die
sin
(
2
x
)
=
2
sin
x
cos
x
=
2
tan
x
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \sin(2\;x)=2\sin x\;\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}}
cos
(
2
x
)
=
cos
2
x
−
sin
2
x
=
1
−
2
sin
2
x
=
2
cos
2
x
−
1
=
1
−
tan
2
x
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \cos(2\;x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}}}
tan
(
2
x
)
=
2
tan
x
1
−
tan
2
x
=
2
cot
x
−
tan
x
{\displaystyle \tan(2\;x)={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}={\frac {2}{\cot x-\tan x}}}
cot
(
2
x
)
=
cot
2
x
−
1
2
cot
x
=
cot
x
−
tan
x
2
{\displaystyle \cot(2\;x)={\frac {\cot ^{2}x-1}{2\cot x}}={\frac {\cot x-\tan x}{2}}}
sin
(
3
x
)
=
3
sin
x
−
4
sin
3
x
{\displaystyle \sin(3\;x)=3\sin x-4\sin ^{3}x}
sin
(
4
x
)
=
8
sin
x
cos
3
x
−
4
sin
x
cos
x
{\displaystyle \sin(4\;x)=8\sin x\;\cos ^{3}x-4\sin x\;\cos x}
sin
(
5
x
)
=
16
sin
x
cos
4
x
−
12
sin
x
cos
2
x
+
sin
x
{\displaystyle \sin(5\;x)=16\sin x\;\cos ^{4}x-12\sin x\;\cos ^{2}x+\sin x}
sin
(
n
x
)
=
n
sin
x
cos
n
−
1
x
−
(
n
3
)
sin
3
x
cos
n
−
3
x
+
(
n
5
)
sin
5
x
cos
n
−
5
x
−
+
…
{\displaystyle \sin(n\;x)=n\;\sin x\;\cos ^{n-1}x-{n \choose 3}\sin ^{3}x\;\cos ^{n-3}x+{n \choose 5}\sin ^{5}x\;\cos ^{n-5}x\;-\;+\;\dots }
cos
(
3
x
)
=
4
cos
3
x
−
3
cos
x
{\displaystyle \cos(3\;x)=4\cos ^{3}x-3\cos x}
cos
(
4
x
)
=
8
cos
4
x
−
8
cos
2
x
+
1
{\displaystyle \cos(4\;x)=8\cos ^{4}x-8\cos ^{2}x+1}
cos
(
5
x
)
=
16
cos
5
x
−
20
cos
3
x
+
5
cos
x
{\displaystyle \cos(5\;x)=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x}
cos
(
n
x
)
=
cos
n
x
−
(
n
2
)
sin
2
x
cos
n
−
2
x
+
(
n
4
)
sin
4
x
cos
n
−
4
x
−
+
…
{\displaystyle \cos(n\;x)=\cos ^{n}x-{n \choose 2}\sin ^{2}x\;\cos ^{n-2}x+{n \choose 4}\sin ^{4}x\;\cos ^{n-4}x\;-\;+\;\dots }
tan
(
3
x
)
=
3
tan
x
−
tan
3
x
1
−
3
tan
2
x
{\displaystyle \tan(3\;x)={\frac {3\tan x-\tan ^{3}x}{1-3\tan ^{2}x}}}
tan
(
4
x
)
=
4
tan
x
−
4
tan
3
x
1
−
6
tan
2
x
+
tan
4
x
{\displaystyle \tan(4\;x)={\frac {4\tan x-4\tan ^{3}x}{1-6\tan ^{2}x+\tan ^{4}x}}}
cot
(
3
x
)
=
cot
3
x
−
3
cot
x
3
cot
2
x
−
1
{\displaystyle \cot(3\;x)={\frac {\cot ^{3}x-3\cot x}{3\cot ^{2}x-1}}}
cot
(
4
x
)
=
cot
4
x
−
6
cot
2
x
+
1
4
cot
3
x
−
4
cot
x
{\displaystyle \cot(4\;x)={\frac {\cot ^{4}x-6\cot ^{2}x+1}{4\cot ^{3}x-4\cot x}}}
Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln :
sin
(
x
2
)
=
±
1
−
cos
(
x
)
2
f
u
¨
r
x
∈
[
0
∘
;
360
∘
]
{\displaystyle \sin({\frac {x}{2}})=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[0^{\circ };\;360^{\circ }\right]}
cos
(
x
2
)
=
±
1
+
cos
(
x
)
2
f
u
¨
r
x
∈
[
−
180
∘
;
180
∘
]
{\displaystyle \cos({\frac {x}{2}})=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[-180^{\circ };\;180^{\circ }\right]}
tan
(
x
2
)
=
±
1
−
cos
(
x
)
1
+
cos
(
x
)
=
1
−
cos
(
x
)
sin
(
x
)
=
sin
(
x
)
1
+
cos
(
x
)
f
u
¨
r
x
∈
(
−
180
∘
;
180
∘
)
{\displaystyle \tan({\frac {x}{2}})=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left(-180^{\circ };\;180^{\circ }\right)}
cot
(
x
2
)
=
±
1
+
cos
(
x
)
1
−
cos
(
x
)
=
1
+
cos
(
x
)
sin
(
x
)
=
sin
(
x
)
1
−
cos
(
x
)
f
u
¨
r
x
∈
(
−
180
∘
;
180
∘
)
{\displaystyle \cot({\frac {x}{2}})=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{1-\cos(x)}}}={\frac {1+\cos(x)}{\sin(x)}}={\frac {\sin(x)}{1-\cos(x)}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left(-180^{\circ };\;180^{\circ }\right)}
Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit denen die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt aufgefasst werden kann:
sin
x
+
sin
y
=
2
sin
x
+
y
2
cos
x
−
y
2
{\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}}
sin
x
−
sin
y
=
2
cos
x
+
y
2
sin
x
−
y
2
{\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}}
cos
x
+
cos
y
=
2
cos
x
+
y
2
cos
x
−
y
2
{\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}}
cos
x
−
cos
y
=
−
2
sin
x
+
y
2
sin
x
−
y
2
{\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}}
tan
x
+
tan
y
=
sin
(
x
+
y
)
cos
x
cos
y
{\displaystyle \tan x+\tan y={\frac {\sin(x+y)}{\cos x\cos y}}}
tan
x
−
tan
y
=
sin
(
x
−
y
)
cos
x
cos
y
{\displaystyle \tan x-\tan y={\frac {\sin(x-y)}{\cos x\cos y}}}
cot
x
+
cot
y
=
sin
(
x
+
y
)
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cot x+\cot y={\frac {\sin(x+y)}{\sin x\sin y}}}
cot
x
−
cot
y
=
−
sin
(
x
−
y
)
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cot x-\cot y={\frac {-\sin(x-y)}{\sin x\sin y}}}
sin
x
sin
y
=
1
2
[
cos
(
x
−
y
)
−
cos
(
x
+
y
)
]
{\displaystyle \sin x\;\sin y={\frac {1}{2}}\left[\cos(x-y)-\cos(x+y)\right]}
cos
x
cos
y
=
1
2
[
cos
(
x
−
y
)
+
cos
(
x
+
y
)
]
{\displaystyle \cos x\;\cos y={\frac {1}{2}}\left[\cos(x-y)+\cos(x+y)\right]}
sin
x
cos
y
=
1
2
[
sin
(
x
−
y
)
+
sin
(
x
+
y
)
]
{\displaystyle \sin x\;\cos y={\frac {1}{2}}\left[\sin(x-y)+\sin(x+y)\right]}
tan
x
tan
y
=
tan
x
+
tan
y
cot
x
+
cot
y
=
−
tan
x
−
tan
y
cot
x
−
cot
y
{\displaystyle \tan x\;\tan y={\frac {\tan x+\tan y}{\cot x+\cot y}}=-{\frac {\tan x-\tan y}{\cot x-\cot y}}}
cot
x
cot
y
=
cot
x
+
cot
y
tan
x
+
tan
y
=
−
cot
x
−
cot
y
tan
x
−
tan
y
{\displaystyle \cot x\;\cot y={\frac {\cot x+\cot y}{\tan x+\tan y}}=-{\frac {\cot x-\cot y}{\tan x-\tan y}}}
tan
x
cot
y
=
tan
x
+
cot
y
cot
x
+
tan
y
=
−
tan
x
−
cot
y
cot
x
−
tan
y
{\displaystyle \tan x\;\cot y={\frac {\tan x+\cot y}{\cot x+\tan y}}=-{\frac {\tan x-\cot y}{\cot x-\tan y}}}
sin
x
sin
y
sin
z
=
1
4
[
sin
(
x
+
y
−
z
)
+
sin
(
y
+
z
−
x
)
+
sin
(
z
+
x
−
y
)
−
sin
(
x
+
y
+
z
)
]
{\displaystyle \sin x\;\sin y\;\sin z={\frac {1}{4}}\left[\sin(x+y-z)+\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z)\right]}
cos
x
cos
y
cos
z
=
1
4
[
cos
(
x
+
y
−
z
)
+
cos
(
y
+
z
−
x
)
+
cos
(
z
+
x
−
y
)
+
cos
(
x
+
y
+
z
)
]
{\displaystyle \cos x\;\cos y\;\cos z={\frac {1}{4}}\left[\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z)\right]}
sin
x
sin
y
cos
z
=
1
4
[
−
cos
(
x
+
y
−
z
)
+
cos
(
y
+
z
−
x
)
+
cos
(
z
+
x
−
y
)
−
cos
(
x
+
y
+
z
)
]
{\displaystyle \sin x\;\sin y\;\cos z={\frac {1}{4}}\left[-\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)-\cos(x+y+z)\right]}
sin
x
cos
y
cos
z
=
1
4
[
sin
(
x
+
y
−
z
)
−
sin
(
y
+
z
−
x
)
+
sin
(
z
+
x
−
y
)
+
sin
(
x
+
y
+
z
)
]
{\displaystyle \sin x\;\cos y\;\cos z={\frac {1}{4}}\left[\sin(x+y-z)-\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)+\sin(x+y+z)\right]}
sin
2
x
=
1
2
[
1
−
cos
(
2
x
)
]
{\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {1}{2}}\ \left[1-\cos(2\ x)\right]}
cos
2
x
=
1
2
[
1
+
cos
(
2
x
)
]
{\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1}{2}}\ \left[1+\cos(2\ x)\right]}
tan
2
x
=
1
−
cos
(
2
x
)
1
+
cos
(
2
x
)
{\displaystyle \tan ^{2}x={\frac {1-\cos(2\ x)}{1+\cos(2\ x)}}}
sin
3
x
=
1
4
[
3
sin
x
−
sin
(
3
x
)
]
{\displaystyle \sin ^{3}x={\frac {1}{4}}\ \left[3\sin x-\sin(3\ x)\right]}
cos
3
x
=
1
4
[
3
cos
x
+
cos
(
3
x
)
]
{\displaystyle \cos ^{3}x={\frac {1}{4}}\ \left[3\cos x+\cos(3\ x)\right]}
sin
4
x
=
1
8
[
cos
(
4
x
−
4
cos
(
2
x
)
+
3
]
{\displaystyle \sin ^{4}x={\frac {1}{8}}\ \left[\cos(4\ x-4\cos(2\ x)+3\right]}
cos
4
x
=
1
8
[
cos
(
4
x
+
4
cos
(
2
x
)
+
3
]
{\displaystyle \cos ^{4}x={\frac {1}{8}}\ \left[\cos(4\ x+4\cos(2\ x)+3\right]}
sin
5
x
=
1
16
[
10
sin
x
−
5
sin
(
3
x
)
+
sin
(
5
x
)
]
{\displaystyle \sin ^{5}x={\frac {1}{16}}\ \left[10\sin x-5\sin(3\ x)+\sin(5\ x)\right]}
cos
5
x
=
1
16
[
10
cos
x
+
5
cos
(
3
x
)
+
cos
(
5
x
)
]
{\displaystyle \cos ^{5}x={\frac {1}{16}}\ \left[10\cos x+5\cos(3\ x)+\cos(5\ x)\right]}
sin
6
x
=
1
32
[
10
−
15
cos
(
2
x
)
+
6
cos
(
4
x
)
−
cos
(
6
x
)
]
{\displaystyle \sin ^{6}x={\frac {1}{32}}\ \left[10-15\cos(2\ x)+6\cos(4\ x)-\cos(6\ x)\right]}
cos
6
x
=
1
32
[
10
+
15
cos
(
2
x
)
+
6
cos
(
4
x
)
+
cos
(
6
x
)
]
{\displaystyle \cos ^{6}x={\frac {1}{32}}\ \left[10+15\cos(2\ x)+6\cos(4\ x)+\cos(6\ x)\right]}
Es gibt Reduktionsformeln , mit denen man das Argument einer Winkelfunktion in das Intervall [0, 90°] bzw. [0, π/4] bringen kann.
Siehe auch: Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen , Quadrant
Die folgenden Formeln folgen nach mehr oder weniger langen Termumformungen aus α + β + γ = 180°, gelten also allgemein für drei beliebige Winkel α, β und γ mit α + β + γ = 180°, solange die die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangense und Kotangense vorkommen).
tan
α
+
tan
β
+
tan
γ
=
tan
α
tan
β
tan
γ
{\displaystyle \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }
cot
β
cot
γ
+
cot
γ
cot
α
+
cot
α
cot
β
=
1
{\displaystyle \cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta =1}
cot
α
2
+
cot
β
2
+
cot
γ
2
=
cot
α
2
cot
β
2
cot
γ
2
{\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}}
tan
β
2
tan
γ
2
+
tan
γ
2
tan
α
2
+
tan
α
2
tan
β
2
=
1
{\displaystyle \tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}=1}
sin
α
+
sin
β
+
sin
γ
=
4
cos
α
2
cos
β
2
cos
γ
2
{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}
−
sin
α
+
sin
β
+
sin
γ
=
4
cos
α
2
sin
β
2
sin
γ
2
{\displaystyle -\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}}
cos
α
+
cos
β
+
cos
γ
=
4
sin
α
2
sin
β
2
sin
γ
2
+
1
{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1}
−
cos
α
+
cos
β
+
cos
γ
=
4
sin
α
2
cos
β
2
cos
γ
2
−
1
{\displaystyle -\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1}
sin
(
2
α
)
+
sin
(
2
β
)
+
sin
(
2
γ
)
=
4
sin
α
sin
β
sin
γ
{\displaystyle \sin \left(2\alpha \right)+\sin \left(2\beta \right)+\sin \left(2\gamma \right)=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }
−
sin
(
2
α
)
+
sin
(
2
β
)
+
sin
(
2
γ
)
=
4
sin
α
cos
β
cos
γ
{\displaystyle -\sin \left(2\alpha \right)+\sin \left(2\beta \right)+\sin \left(2\gamma \right)=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma }
cos
(
2
α
)
+
cos
(
2
β
)
+
cos
(
2
γ
)
=
−
4
cos
α
cos
β
cos
γ
−
1
{\displaystyle \cos \left(2\alpha \right)+\cos \left(2\beta \right)+\cos \left(2\gamma \right)=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1}
−
cos
(
2
α
)
+
cos
(
2
β
)
+
cos
(
2
γ
)
=
−
4
cos
α
sin
β
sin
γ
+
1
{\displaystyle -\cos \left(2\alpha \right)+\cos \left(2\beta \right)+\cos \left(2\gamma \right)=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1}
sin
2
α
+
sin
2
β
+
sin
2
γ
=
2
cos
α
cos
β
cos
γ
+
2
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2}
−
sin
2
α
+
sin
2
β
+
sin
2
γ
=
2
cos
α
sin
β
sin
γ
{\displaystyle -\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma }
cos
2
α
+
cos
2
β
+
cos
2
γ
=
−
2
cos
α
cos
β
cos
γ
+
1
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1}
−
cos
2
α
+
cos
2
β
+
cos
2
γ
=
−
2
cos
α
sin
β
sin
γ
+
1
{\displaystyle -\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1}
−
sin
2
(
2
α
)
+
sin
2
(
2
β
)
+
sin
2
(
2
γ
)
=
−
2
cos
(
2
α
)
sin
(
2
β
)
sin
(
2
γ
)
{\displaystyle -\sin ^{2}\left(2\alpha \right)+\sin ^{2}\left(2\beta \right)+\sin ^{2}\left(2\gamma \right)=-2\cos \left(2\alpha \right)\sin \left(2\beta \right)\sin \left(2\gamma \right)}
−
cos
2
(
2
α
)
+
cos
2
(
2
β
)
+
cos
2
(
2
γ
)
=
2
cos
(
2
α
)
sin
(
2
β
)
sin
(
2
γ
)
+
1
{\displaystyle -\cos ^{2}\left(2\alpha \right)+\cos ^{2}\left(2\beta \right)+\cos ^{2}\left(2\gamma \right)=2\cos \left(2\alpha \right)\sin \left(2\beta \right)\sin \left(2\gamma \right)+1}
Der Sinus (blau) verglichen mit seiner Taylorreihe bis x7 (pink) Bitte beachten : Hier, wie auch sonst in der Analysis , ist es wichtig, dass alle Winkel im Bogenmaß angegeben werden.
Man kann zeigen, dass der Cosinus die Ableitung des Sinus darstellt und die Ableitung des Cosinus der negative Sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle x aus den reellen Zahlen gelten:
sin
(
x
)
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
−
…
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
f
u
¨
r
|
x
|
<
∞
{\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\;-\;\dots \;=\;\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad f{\ddot {u}}r\quad |x|<\infty }
cos
(
x
)
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
−
…
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
f
u
¨
r
|
x
|
<
∞
{\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\;-\;\dots \;=\;\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\qquad \quad f{\ddot {u}}r\quad |x|<\infty }
tan
(
x
)
=
x
+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+
62
2835
x
9
+
…
=
∑
n
=
0
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
n
(
2
n
)
!
f
u
¨
r
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tan(x)=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+{\frac {62}{2835}}x^{9}+\;\dots \;=\;\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{n}}{(2n)!}}\quad f{\ddot {u}}r\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}}
cot
(
x
)
=
1
x
−
1
3
x
−
1
45
x
3
−
2
945
x
5
−
1
4725
x
7
−
…
f
u
¨
r
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \cot(x)={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}-\;\dots \qquad f{\ddot {u}}r\quad 0<|x|<\pi }
In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit A, B und C bezeichnet.
Die Seite , die einer Ecke gegenüberliegt, wird analog a, b bzw. c genannt. Damit liegt z.B. die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber, verbindet also die Punkte B und C .
Die Winkel werden α, β und γ genannt; α ist der Winkel am Eckpunkt A , usw.
Die Summe der Winkel in einem planaren (ebenen) Dreieck beträgt immer 180°.
Die Summe zweier Seiten eines Dreieck ist immer größer als die dritte Seite. Diese intuitiv einsichtigen Eigenschaften ebener Dreiecke folgen aus den Axiomen der Euklidischen Geometrie .
Hat man von einem beliebigen Dreieck drei Angaben (Seiten bzw. Winkel), kann man die 3 fehlenden Angaben berechnen. Die 5 Auflösungsfälle werden symbolisch bezeichnet: SSS , SSW , SWS , SWW , WSW . WWW ist bei ebenen Dreiecken nicht lösbar, weil es de facto nur 2 Angaben sind (α+β+γ = 180°). Ohne gegebene Seite ist zwar die Form des Dreiecks gegeben, seine Größe bleibt aber offen.
Für Berechnungen sind der Sinussatz und der Kosinussatz am wichtigsten; zusätzlich kennt man den Projektionssatz sowie Tangenten- und Halbwinkelsätze . Sinussatz gibt es in 3 Varianten, von denen sich aber die dritte aus den beiden anderen ergibt:
a
s
i
n
α
=
b
s
i
n
β
=
c
s
i
n
γ
{\displaystyle {\frac {a}{sin\alpha }}={\frac {b}{sin\beta }}={\frac {c}{sin\gamma }}}
Der Kosinussatz ist eine verallgemeinerte Form des "Pythagoras" , mit dem sich die Seiten eines beliebigen Dreiecks berechnen lassen:
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
∗
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc*\cos \alpha }
b
2
=
a
2
+
c
2
−
2
a
c
∗
cos
β
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac*\cos \beta }
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
∗
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab*\cos \gamma }
Da für einen Winkel γ = 90° (bzw.
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
Cosinus γ = 0 ist, gilt für ein rechtwinkliges Dreieck die Formel
c
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
allgemeines Dreieck
Umfang:
u
=
8
r
∗
cos
α
2
∗
cos
β
2
∗
cos
γ
2
{\displaystyle u=8r*\cos {\frac {\alpha }{2}}*\cos {\frac {\beta }{2}}*\cos {\frac {\gamma }{2}}}
Inkreisradius:
ρ
=
4
r
∗
sin
α
2
∗
sin
β
2
∗
sin
γ
2
{\displaystyle \rho =4r*\sin {\frac {\alpha }{2}}*\sin {\frac {\beta }{2}}*\sin {\frac {\gamma }{2}}}
Umkreisradius:
r
=
a
2
∗
sin
α
=
b
2
∗
sin
β
=
c
2
∗
sin
γ
{\displaystyle r={\frac {a}{2*\sin \ \alpha }}={\frac {b}{2*\sin \ \beta }}={\frac {c}{2*\sin \ \gamma }}}
Höhenformeln:
h
a
=
c
∗
sin
β
=
b
∗
sin
γ
{\displaystyle h_{a}=c*\sin \ \beta =b*\sin \ \gamma }
h
b
=
a
∗
sin
γ
=
c
∗
sin
α
{\displaystyle h_{b}=a*\sin \ \gamma =c*\sin \ \alpha }
h
c
=
b
∗
sin
α
=
a
∗
sin
β
{\displaystyle h_{c}=b*\sin \ \alpha =a*\sin \ \beta }
Flächeninhalt:
A
=
1
2
a
h
a
=
1
2
b
h
b
=
1
2
c
h
c
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}}
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Dreiecksarten
unregelmäßigKein Winkel und keine Seite sind gleichgroß.
gleichschenkligZwei Seiten und zwei Winkel sind gleichgroß
gleichseitigAlle Winkel und Seiten sind gleichgroß.
spitzwinkligAlle Winkel sind spitze Winkel, d.h. alle Winkel sind <90°.
Gleichseitiges Dreieck
rechtwinkligEin Winkel ist ein rechter Winkel.
nicht in der Ebene möglich, da dort die winkelsumme 180° sein muss. Aber als Dreieck auf einer Kugelfläche möglich.
stumpfwinkligEin Winkel ist ein stumpfer Winkel (>90°).
in der Ebene unmöglich
Gleichseitiges Dreieck Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle drei Innenwinkel gleich groß. Aus diesem Grund gehört das gleichseitige Dreieck auch zu den regelmäßigen Polygonen .
Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 60°.
Das gleichseitige Dreieck zählt zu den spitzwinkligen Dreiecken, weil alle drei Winkel kleiner als 90° sind.
Außerdem ist das gleichseitige Dreieck auch ein gleichschenkliges Dreieck .
Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich .
Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende und Höhe zu einer Seite fallen bei einem gleichseitigen Dreieck jeweils zusammen. Entsprechendes gilt für den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt, den Schwerpunkt und den Höhenschnittpunkt des gleichseitigen Dreiecks. Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks wird mit a bezeichnet.
Fläche A
A
=
3
4
a
2
{\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}
Höhe h
h
=
3
2
a
{\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}
Umkreisradius r
r
=
3
3
a
=
1
3
a
{\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{3}}a={\frac {1}{\sqrt {3}}}a}
Inkreisradius ρ
ρ
=
3
6
a
{\displaystyle \rho ={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}
Umfang u
u
=
3
∗
a
{\displaystyle u=3*a}
Links ein gleichschenkliges, rechts ein gleichseitiges Dreieck Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind wenigstens zwei Seiten gleich lang und die jeweils gegenüber liegenden Winkel gleich groß.
Die beiden gleich langen Seiten bezeichnet man als Schenkel , die dritte als Basis .
Die gleich großen Winkel, die den Schenkeln gegenüber liegen, heißen Basiswinkel .
Der Punkt, an dem beide Schenkel zusammentreffen, nennt man Spitze .
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Mittelsenkrechte zur Basis, die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze, die Seitenhalbierende der Basis und die Höhe zur Basis identisch.
Das gleichseitige Dreieck lässt sich als eine spezielle Form des gleichschenkligen Dreiecks sehen, bei der jede Seite gleichzeitig Schenkel und Basis ist und jede Ecke des Dreiecks als Spitze bezeichnet werden kann. Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen 90°-Winkel, auch rechter Winkel genannt.
Die längste Seite des Dreiecks liegt dem rechten Winkel gegenüber und wird Hypotenuse genannt.
Die beiden anderen Seiten heißen Katheten . Bei Kenntnis zwei der Angaben (a, b, c, p, q und h) lassen sich die fehlenden 3 anderen Werte aus den, in der Tabelle aufgeführten Formeln berechnen.
Die Längen der drei Seiten werden durch den Satz des Pythagoras in Beziehung gebracht:
Das Quadrat der Länge der Hypotenuse (in der Grafik als c bezeichnet) gleicht der Summe der Quadrate der Längen der Katheten (a und b).
In Bezug auf die spitzen Winkel des Dreiecks spricht man von der Ankathete Gegenkathete
Rechtwinkliges Dreieck mit den rechten Winkel im Punkt C
Funktion
Berechnung
Der Sinus des Winkels α ist dabei als das Verhältnis zwischen der Gegenkathete (hier: a ) und der Hypotenuse (hier: c ) definiert.
sin
α
=
a
c
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}}}
Der Kosinus des Winkels α ist das Verhältnis zwischen der Ankathete (hier: b ) und der Hypotenuse.
cos
α
=
b
c
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}}
Der Tangens ist durch das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete gegeben.
tan
α
=
a
b
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a}{b}}}
Der Kotangens ist das Verhältnis zwischen Ankathete und Gegenkathete, und ist damit der Kehrwert des Tangens .
cot
α
=
b
a
=
1
tan
α
{\displaystyle \cot \alpha ={\frac {b}{a}}={\frac {1}{\tan \alpha }}}
Der Sekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete, also der Kehrwert des Kosinus .
sec
α
=
c
b
=
1
cos
α
{\displaystyle \sec \alpha ={\frac {c}{b}}={\frac {1}{\cos \alpha }}}
Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete, d. h. der Kehrwert des Sinus .
csc
α
=
c
a
=
1
sin
α
{\displaystyle \csc \alpha ={\frac {c}{a}}={\frac {1}{\sin \alpha }}}
Diese sechs Funktionen werden Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen genannt; im schulischen Kanon werden diese jedoch meistens auf die ersten drei reduziert (diese sind auch die geläufigsten, die anderen sind seltener von Bedeutung).
Dreiecke der Nichteuklidschen Geometrie
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Dreiecke auf der Kugel nennt man sphärisch ), wobei die 3 Seiten Teile von Großkreisen sind. Ihre Seitenlänge wird nicht in der Dimension einer Länge angegeben (Meter, cm usw.), sondern als zugehöriger Winkel im Kugelmittelpunkt.
Sphärisches Dreieck (Kugeldreieck) Ein sphärisches Dreieck hat eine Winkelsumme größer als 180°, wobei der "Überschuss" sphärischer Exzess heißt und in Formeln meist als ε bezeichnet wird:
α
+
β
+
γ
=
180
∘
+
ϵ
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }+\epsilon }
Der Exzess hängt direkt mit dem Flächeninhalt des Dreiecks zusammen (ε = F / R² , bzw. in Grad ε = 180°.F / R²π),
worin R den Kugelradius und π die Kreiszahl 3,14159... bedeutet. Exzess von 360° tritt beim größtmöglichen "Dreieck" auf, das die halbe Kugeloberfläche umspannt: mit 3 gestreckten Winkeln hat es eine Winkelsumme von 3mal 180° und ε = 540° - 180°.
Sphärische Dreiecke können analog den ebenen Dreiecken berechnet werden, wofür es z.B. den spärischen Sinussatz , den Cosinussatz , den Projektionssatz und verschiedene Halbwinkelsätze gibt - siehe Sphärische Trigonometrie .
Sphärisches Zweieck Sphärisches Zweieck Sphärisches Zweieck: für manche Berechnungen auf der Sphäre - z.B. auf der Himmelskugel - sind auch Zweiecke nützlich. Die Formeln ergeben sich als Sonderfall des Dreiecks.
Sattelfläche und geodätisches Dreieck Zur nichteuklidischen Geometrie - in der das Parallelen-Axiom nicht gilt - zählen z.B. auch Dreiecke auf einer Sattelfläche . Während eine Kugel überall konvex gekrümmt ist, haben Sattel- und andere hyperbolische Flächen sowohl konvexe als auch konkave Krümmung (ihr Produkt, das Krümmungsmaß, ist negativ ).
Entsprechend ist auch der Exzess negativ - d.h. die Winkelsumme eines Dreiecks auf einer Sattelfläche ist kleiner als 180°.
---
Die Kongruenzsätze machen Aussagen über die Dreiecksgrößen (Seitenlänge, Winkel ), die notwendig sind, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen. Trigonometrie , einem Teilgebiet der Mathematik , spielen Dreiecke die wesentliche Rolle. Siehe dazu insbesondere Dreiecksgeometrie .
Interessant sind auch die Schnittpunkte dieser Linien bzw. die Mittelpunkte der Kreise, die als ausgezeichnete Punkte des Dreiecks bekannt sind.
![{\displaystyle \sin x={\sqrt {1-\cos ^{2}x}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[0^{\circ };\;180^{\circ }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e50d6cb2b947d73e6f7fee7aaa888a84c096ba5)
![{\displaystyle \sin x=-{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[180^{\circ };\;360^{\circ }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf2c0e11fed099c0522c7a63b70ac7ff7ed88b0)
![{\displaystyle \sin x={\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4669b8c05c8ead68b2816e90789ad45cd06e7912)
![{\displaystyle \sin x=-{\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[90^{\circ };\;270^{\circ }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f93b11cfe5d66b826cf9836c210efdd554a023e5)
![{\displaystyle \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0d3dbc54666748ed2639bf4ac432b0e93d72393)
![{\displaystyle \cos x=-{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[90^{\circ };\;270^{\circ }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c515a45ea2f82ac495aaa0999091251ddedce4)
![{\displaystyle \cos x={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501f3e579d8520fd3055edd0beac6ebd8fde8186)
![{\displaystyle \cos x=-{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[90^{\circ };\;270^{\circ }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb39fc35001527c53171754ce6b28bb26ef310dd)
![{\displaystyle \tan x={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[0^{\circ };\;180^{\circ }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5564513daeed004aea661635528dc39d83691a)
![{\displaystyle \tan x=-{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[180^{\circ };\;360^{\circ }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b6ee9fafbe9ed644983261c9ad22dc86d8394d)
![{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d83cfd55612b80726bd8956ad584c2e07c7a57c)
![{\displaystyle \tan x=-{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[90^{\circ };\;270^{\circ }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/549d84bbf28d778f0e275dcf2fcd636510bb1380)
![{\displaystyle \sin x>0\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left]0^{\circ };\;180^{\circ }\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76fcb5ed4e02181173daf4806aa9da79ec3be11)
![{\displaystyle \sin x<0\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left]180^{\circ };\;360^{\circ }\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26ae980591cc8ed232745dd6018fe5fc56ddf5a)
![{\displaystyle \cos x>0\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left]0^{\circ };\;90^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ };\;360^{\circ }\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f198c37f9b4a372bcf7b40a55fd12faa14f32979)
![{\displaystyle \cos x<0\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left]90^{\circ };\;270^{\circ }\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57195ed4983c7becb954f4ee9053a488d77cc88)
![{\displaystyle \tan x>0\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left]0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[180^{\circ };\;270^{\circ }\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e5041d0e7f7a2d301a879fb3bc09f541eaf322)
![{\displaystyle \tan x<0\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left]90^{\circ };\;180^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0019906b4f8ec80f218c5a1a7f6279fb2e7e1b37)
![{\displaystyle \sin({\frac {x}{2}})=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[0^{\circ };\;360^{\circ }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c70d50c425f2311827fdc28f9244f73e43f9c1)
![{\displaystyle \cos({\frac {x}{2}})=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad x\in \left[-180^{\circ };\;180^{\circ }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/857bf52e8e0ac83171bff87f8965c8bc8827b300)
![{\displaystyle \sin x\;\sin y={\frac {1}{2}}\left[\cos(x-y)-\cos(x+y)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b7c9ae00c5d428ec0cd19d41970ce915520c89)
![{\displaystyle \cos x\;\cos y={\frac {1}{2}}\left[\cos(x-y)+\cos(x+y)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b74cf4602fe267aa63e65cf3fc1e9a32ad66c24)
![{\displaystyle \sin x\;\cos y={\frac {1}{2}}\left[\sin(x-y)+\sin(x+y)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa432407ffec164f4135133e52dee0c19938580)
![{\displaystyle \sin x\;\sin y\;\sin z={\frac {1}{4}}\left[\sin(x+y-z)+\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d8ebb9b49c3d0eef86b75f53db923afd399af8)
![{\displaystyle \cos x\;\cos y\;\cos z={\frac {1}{4}}\left[\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2531ad917e8fd506876febc9afec3be9cfe7e685)
![{\displaystyle \sin x\;\sin y\;\cos z={\frac {1}{4}}\left[-\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)-\cos(x+y+z)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d89dfcd5f8887d058fc58d149fa9a3aca21a32a)
![{\displaystyle \sin x\;\cos y\;\cos z={\frac {1}{4}}\left[\sin(x+y-z)-\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)+\sin(x+y+z)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4742f0e8097b1d543dc9230d0244ab81b5f37888)
![{\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {1}{2}}\ \left[1-\cos(2\ x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ef88d61713adbec6afb5a8ea3ca02d28e74051)
![{\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1}{2}}\ \left[1+\cos(2\ x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538116e713cb4be2b7ab270c51c349a0c8edd0a5)
![{\displaystyle \sin ^{3}x={\frac {1}{4}}\ \left[3\sin x-\sin(3\ x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d474b57f2221e791fa163b8d19266cabed235e9)
![{\displaystyle \cos ^{3}x={\frac {1}{4}}\ \left[3\cos x+\cos(3\ x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b6516f885389a9a732212d7a8158c987e06302)
![{\displaystyle \sin ^{4}x={\frac {1}{8}}\ \left[\cos(4\ x-4\cos(2\ x)+3\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93cedaae02cfd596ed4276eb2730173a60f4715)
![{\displaystyle \cos ^{4}x={\frac {1}{8}}\ \left[\cos(4\ x+4\cos(2\ x)+3\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f3495180ddb9650d783bb85e055e686ed18f0d)
![{\displaystyle \sin ^{5}x={\frac {1}{16}}\ \left[10\sin x-5\sin(3\ x)+\sin(5\ x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9315776cf338fa1dea2bcaadd9b7d5c19a08ced8)
![{\displaystyle \cos ^{5}x={\frac {1}{16}}\ \left[10\cos x+5\cos(3\ x)+\cos(5\ x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df278021f6baf5433b9766a1320f6c4147cb4396)
![{\displaystyle \sin ^{6}x={\frac {1}{32}}\ \left[10-15\cos(2\ x)+6\cos(4\ x)-\cos(6\ x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6322fb647fd1de83d22420ed93d76e827a1d2b93)
![{\displaystyle \cos ^{6}x={\frac {1}{32}}\ \left[10+15\cos(2\ x)+6\cos(4\ x)+\cos(6\ x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e722024252f9aad46252b028d01e8a0c24fa23d1)
