Einmaleins

Das kleine Einmaleins (auch 1×1 oder 1mal1) ist eine Zusammenstellung aller Produkte, die sich aus der Kombination zweier natürlicher Zahlen von 1 bis 10 ergeben, meist in Tabellenform. Das große Einmaleins ist die Erweiterung auf natürliche Zahlen von 1 bis 20. Das kleine Einmaleins gehört zum arithmetischen Grundwissen der Mathematik und wird meist in der Grundschule auswendig gelernt.

Als Einmaleins werden metaphorisch auch Grundkenntnisse eines Wissensgebiets oder einer Fertigkeit bezeichnet.

Anwendung

Das kleine Einmaleins wird beim schriftlichen Multiplizieren zum Auffinden des Produkts der einzelnen Ziffern beider Faktoren verwendet. Hierfür werden nur die Produkte aus den Ziffernkombinationen $\textstyle 0\cdot 0$ bis $\textstyle 9\cdot 9$ benötigt, wobei die Produkte mit einem Faktor 0 in der Darstellung meist weggelassen werden, dafür werden aus der Tradition der Verwendung römischer Ziffern die Produkte mit einem Faktor 10 ergänzt.^[1]^[2]

“But, to shorten the repeated summation of digits, it is expedient to construct a table, which must be engraved in the memory of the arithmetician.”

„Um aber das wiederholte Addieren von Ziffern zu verkürzen, ist es nützlich, eine Tabelle anzufertigen, die ins Gedächtnis des Arithmetikers eingeprägt werden muss.“

– John Leslie: The Philosophy of Arithmetic^[3]

Dies wird auch bei der schriftlichen Division genutzt.

Das große Einmaleins dient zum Auswendiglernen oft benötigter Produkte.

Darstellung

Nach Adam Ries

Ausschnitt des Rechenbuchs von Adam Ries

In Adam Risen Rechenbuch von 1574 ist folgende Einmaleins-Tabelle dargestellt mit dem Hinweis „du mußt vor allen Dingen das Einmal eins wol wissen und auswendig lernen wie hie:“ (Adam Ries)^[4]

	mal	ist		mal	ist		mal	ist
1	1	1	2	8	16	5	5	25
1	2	2	2	9	18	5	6	30
1	3	3	3	3	9	5	7	35
1	4	4	3	4	12	5	8	40
1	5	5	3	5	15	5	9	45
1	6	6	3	6	18	6	6	36
1	7	7	3	7	21	6	7	42
1	8	8	3	8	24	6	8	48
1	9	9	3	9	27	6	9	54
2	2	4	4	4	16	7	7	49
2	3	6	4	5	20	7	8	56
2	4	8	4	6	24	7	9	63
2	5	10	4	7	28	8	8	64
2	6	12	4	8	32	8	9	72
2	7	14	4	9	36	9	9	81

Diese kompakte Darstellung verzichtet auf redundante Informationen unter Ausnutzung des Kommutativgesetzes (2 · 3 = 3 · 2). Sie diente als Hilfsmittel beim Rechnen auf Linien.

Tabelle

„Pythagorasbrett“ als Napiersche Rechenstäbchen^[5]

Die ausführliche tabellarische Darstellung des kleinen Einmaleins wird Pythagoras zugeschrieben und daher in manchen Sprachen auch Pythagorasbrett bzw. Pythagorastabelle genannt, zum Beispiel im Französischen, Englischen und Italienischen, aber auch in der Montessoripädagogik.^[6]^[3]^[7]

Die folgende Tabelle stellt das kleine Einmaleins dar.

*	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

Unterteilt wird das Einmaleins entsprechend dem zweiten Faktor in die 1er-Reihe, 2er-Reihe, 3er-Reihe usw. bis zur 10er-Reihe. Eine Tabellenspalte stellt also die entsprechende Reihe dar. In der ersten Spalte (links) wird der erste Faktor, in der ersten Zeile (oben) wird der zweite Faktor gesucht, im Schnittpunkt der Zeile mit der Spalte steht das Produkt.

Die folgende Tabelle stellt das große Einmaleins mit Faktoren bis 20 dar (einschließlich des kleinen Einmaleins).

*	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	001	002	003	004	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Reihen

Einzeln werden die Reihen des kleinen Einmaleins wie folgt dargestellt:

1er-Reihe 01 · 1 = 01 02 · 1 = 02 03 · 1 = 03 04 · 1 = 04 05 · 1 = 05 06 · 1 = 06 07 · 1 = 07 08 · 1 = 08 09 · 1 = 09 10 · 1 = 10	2er-Reihe 01 · 2 = 02 02 · 2 = 04 03 · 2 = 06 04 · 2 = 08 05 · 2 = 10 06 · 2 = 12 07 · 2 = 14 08 · 2 = 16 09 · 2 = 18 10 · 2 = 20	3er-Reihe 01 · 3 = 03 02 · 3 = 06 03 · 3 = 09 04 · 3 = 12 05 · 3 = 15 06 · 3 = 18 07 · 3 = 21 08 · 3 = 24 09 · 3 = 27 10 · 3 = 30	4er-Reihe 01 · 4 = 04 02 · 4 = 08 03 · 4 = 12 04 · 4 = 16 05 · 4 = 20 06 · 4 = 24 07 · 4 = 28 08 · 4 = 32 09 · 4 = 36 10 · 4 = 40	5er-Reihe 01 · 5 = 05 02 · 5 = 10 03 · 5 = 15 04 · 5 = 20 05 · 5 = 25 06 · 5 = 30 07 · 5 = 35 08 · 5 = 40 09 · 5 = 45 10 · 5 = 50
6er-Reihe 01 · 6 = 06 02 · 6 = 12 03 · 6 = 18 04 · 6 = 24 05 · 6 = 30 06 · 6 = 36 07 · 6 = 42 08 · 6 = 48 09 · 6 = 54 10 · 6 = 60	7er-Reihe 01 · 7 = 07 02 · 7 = 14 03 · 7 = 21 04 · 7 = 28 05 · 7 = 35 06 · 7 = 42 07 · 7 = 49 08 · 7 = 56 09 · 7 = 63 10 · 7 = 70	8er-Reihe 01 · 8 = 08 02 · 8 = 16 03 · 8 = 24 04 · 8 = 32 05 · 8 = 40 06 · 8 = 48 07 · 8 = 56 08 · 8 = 64 09 · 8 = 72 10 · 8 = 80	9er-Reihe 01 · 9 = 09 02 · 9 = 18 03 · 9 = 27 04 · 9 = 36 05 · 9 = 45 06 · 9 = 54 07 · 9 = 63 08 · 9 = 72 09 · 9 = 81 10 · 9 = 90	10er-Reihe 01 · 10 = 010 02 · 10 = 020 03 · 10 = 030 04 · 10 = 040 05 · 10 = 050 06 · 10 = 060 07 · 10 = 070 08 · 10 = 080 09 · 10 = 090 10 · 10 = 100

Vergleichbares in anderen Zahlensystemen und Zahlschriften

Ein Einmaleins ist aus der Zeit um Christi Geburt in Griechischer Zahlschrift überliefert. Die Aufzeichnung eines Schülers gilt als Beleg, dass zu der Zeit das Einmaleins gelehrt und gelernt wurde.^[8]

493 stellte Victorius von Aquitanien zur Erleichterung der Multiplikation und Division ein Tafelwerk mit 98 Spalten zusammen, in denen er die Produkte der Zahlen von den Brüchen bis zum Wert 1000 mit den Zahlen von 2 bis 50 in Römischer Zahlschrift angab, der sogenannte Calculus Victorii.^[9]

Für das Sexagesimalsystem wurde von Gaspar Schott die Tabula Sexagenaria 1661 veröffentlicht.^[10]

Siehe auch

Das Hexeneinmaleins aus Johann Wolfgang von Goethes Faust. Eine Tragödie
Das Titellied Hey, Pippi Langstrumpf der Fernsehserie Pippi Langstrumpf.

Weblinks

Wiktionary: Einmaleins – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Multiplizierhilfen: historische Einmaleinstafeln

Einzelnachweise

↑ Stephan Weiss: The Small Multiplication Table through the Centuries in Europe. (PDF; 2,0 MB) In: Journal of the Oughtred Society, 22, Fall 2013, S. 2.
↑ Stephan Weiss: Das Einmaleins durch die Jahrhunderte. (PDF; 2,2 MB) 2015.
↑ ^a ^b John Leslie: The Philosophy of Arithmetic. Edinburgh 1820, S. 148 (Textarchiv – Internet Archive).
↑ Adam Risen Rechenbuch auff Linien und Ziphren in allerley Hanthierung / Geschäfften unnd Kauffmanschafft. Mit neuwen künstlichen Regeln und Exempeln gemehret. 1574
↑ aus M. Edouard Lucas: Calculating-Machines. In: E. L. Youmans, W. J. Youmans (Hrsg.): Popular Science Monthly. Band 26. New York 1885, S. 451 (englisch, Wikisource).
↑ John Farrar: An Elementary Treatise on Arithmetic. Cambridge 1825, S. 17 (Textarchiv – Internet Archive).
↑ Maria Montessori: Entwicklungsmaterialien in der Schule des Kindes. Götz, Dörfles 2003, ISBN 3-9501011-7-9 (italienisch: L’autoeducazione nelle scuole elementari. Übersetzt von Karin Pellegrini).
↑ Stephan Weiss: Die Multipliziertafel, ihre Ausgestaltung und Verwendung. (PDF; 11 MB) 2003
↑ David W. Maher, John F. Makowski: Literary Evidence for Roman Arithmetic with Fractions. In: The University of Chicago (Hrsg.): Classical Philology. Nr. 96, 2001, S. 376–399 (englisch, dmaher.org [PDF; 1,2 MB; abgerufen am 8. Januar 2013]).
↑ Stephan Weiss: Reconstruction and Background of Gaspar Schott’s Tabula Sexagenaria (1661). (PDF; 5,8 MB)

[1] Stephan Weiss: The Small Multiplication Table through the Centuries in Europe. (PDF; 2,0 MB) In: Journal of the Oughtred Society, 22, Fall 2013, S. 2.

[2] Stephan Weiss: Das Einmaleins durch die Jahrhunderte. (PDF; 2,2 MB) 2015.

[leslie-3] John Leslie: The Philosophy of Arithmetic. Edinburgh 1820, S. 148 (Textarchiv – Internet Archive).

[4] Adam Risen Rechenbuch auff Linien und Ziphren in allerley Hanthierung / Geschäfften unnd Kauffmanschafft. Mit neuwen künstlichen Regeln und Exempeln gemehret. 1574

[5] us M. Edouard Lucas: Calculating-Machines. In: E. L. Youmans, W. J. Youmans (Hrsg.): Popular Science Monthly. Band 26. New York 1885, S. 451 (englisch, Wikisource).

[6] John Farrar: An Elementary Treatise on Arithmetic. Cambridge 1825, S. 17 (Textarchiv – Internet Archive).

[7] Maria Montessori: Entwicklungsmaterialien in der Schule des Kindes. Götz, Dörfles 2003, ISBN 3-9501011-7-9 (italienisch: L’autoeducazione nelle scuole elementari. Übersetzt von Karin Pellegrini).

[8] Stephan Weiss: Die Multipliziertafel, ihre Ausgestaltung und Verwendung. (PDF; 11 MB) 2003

[MaherMakowski-9] David W. Maher, John F. Makowski: Literary Evidence for Roman Arithmetic with Fractions. In: The University of Chicago (Hrsg.): Classical Philology. Nr. 96, 2001, S. 376–399 (englisch, dmaher.org [PDF; 1,2 MB; abgerufen am 8. Januar 2013]).

[10] Stephan Weiss: Reconstruction and Background of Gaspar Schott’s Tabula Sexagenaria (1661). (PDF; 5,8 MB)

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	mal	ist		mal	ist		mal	ist
1	1	1	2	8	16	5	5	25
1	2	2	2	9	18	5	6	30
1	3	3	3	3	9	5	7	35
1	4	4	3	4	12	5	8	40
1	5	5	3	5	15	5	9	45
1	6	6	3	6	18	6	6	36
1	7	7	3	7	21	6	7	42
1	8	8	3	8	24	6	8	48
1	9	9	3	9	27	6	9	54
2	2	4	4	4	16	7	7	49
2	3	6	4	5	20	7	8	56
2	4	8	4	6	24	7	9	63
2	5	10	4	7	28	8	8	64
2	6	12	4	8	32	8	9	72
2	7	14	4	9	36	9	9	81

*	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

*	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	001	002	003	004	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

	mal	ist		mal	ist		mal	ist
1	1	1	2	8	16	5	5	25
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*	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
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4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
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