(Algebraische) Funktionenkörper sind in der Mathematik algebraische Entsprechungen geometrischer Objekte. Funktionenkörper über endlichen Körpern spielen auch in der algebraischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle.

Algebraische Definition

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Es sei   ein Körper. Dann heißt ein transzendenter Erweiterungskörper   von endlichem Transzendenzgrad ein (algebraischer) Funktionenkörper.

Der algebraische Abschluss von   in   heißt Konstantenkörper.

Funktionenkörper im engeren Sinne sind Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1 über einem endlichen Körper. Zusammen mit den algebraischen Zahlkörpern bilden sie die Klasse der globalen Körper.

Geometrische Definition

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Ist   ein ganzes algebraisches Schema über einem Körper  , so heißt der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt Funktionenkörper von  . Er ist ein Funktionenkörper über   im algebraischen Sinne.

Beispiel

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Die rationalen Funktionen auf einer (irreduziblen) Varietät bilden einen Funktionenkörper.

Literatur

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  • Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, 2006, ISBN 9783540376637, S. 99 ff.
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