Hochzusammengesetzte Zahl

Eine hochzusammengesetzte Zahl (engl. highly composite number, kurz: HCN) ist eine positive ganze Zahl, die mehr Teiler besitzt als jede kleinere positive ganze Zahl. Solche Zahlen sind aufgrund ihrer maximalen Teilbarkeit eine Art Gegenstück zu den Primzahlen. Der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan hat als einer der Ersten diese Zahlen und ihre Eigenschaften eingehend untersucht und 1915 einen umfangreichen Artikel zu ihnen publiziert.

Die ersten 30 hochzusammengesetzten Zahlen

k	Zahl	Teiler		k	Zahl	Teiler		k	Zahl	Teiler		k	Zahl	Teiler		k	Zahl	Teiler		k	Zahl	Teiler
1	1	1		6	24	8		11	180	18		16	1260	36		21	10080	72		26	45360	100
2	2	2		7	36	9		12	240	20		17	1680	40		22	15120	80		27	50400	108
3	4	3		8	48	10		13	360	24		18	2520	48		23	20160	84		28	55440	120
4	6	4		9	60	12		14	720	30		19	5040	60		24	25200	90		29	83160	128
5	12	6		10	120	16		15	840	32		20	7560	64		25	27720	96		30	110880	144

Die kleinste Zahl mit mehr als 1 000 Teilern ist die Zahl 245 044 800 = 2⁶ · 3² · 5² · 7 · 11 · 13 · 17 mit 1 008 Teilern.
Die kleinste Zahl mit mehr als 10 000 Teilern ist die Zahl 6 746 328 388 800 = 2⁶ · 3⁴ · 5² · 7² · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 mit 10 080 Teilern.
Die kleinste Zahl mit mehr als 100 000 Teilern ist die Zahl 897 612 484 786 617 600 = 2⁸ · 3⁴ · 5² · 7² · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 37 mit 103 680 Teilern.

Eigenschaften

Aufbau

Zwei notwendige Eigenschaften hochzusammengesetzter Zahlen ergeben sich aus der Teileranzahlfunktion. Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik ist jede positive natürliche Zahl $n$ folgendermaßen aufgebaut:

$n=p_{1}^{c_{1}}\cdot p_{2}^{c_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{c_{k}}$    mit Primzahlen    $p_{1}<p_{2}<\dotsb <p_{k},$

Die Exponenten $c_{i}$ sind dabei von null verschiedene natürliche Zahlen. Für $k=0$ ergibt sich das leere Produkt $n=1$. Die Definition der Teileranzahlfunktion $d(n)$ liefert dann die Anzahl der Teiler für natürliche Zahlen:

$d(n)=(c_{1}+1)\cdot (c_{2}+1)\cdot \ldots \cdot (c_{k}+1)$.

Für hochzusammengesetzte Zahlen folgt aus dieser Formel:

• Die $k$ Primzahlen $p_{i}$ sind genau die ersten $k$ Primzahlen, denn jede ausgelassene Primzahl würde es ermöglichen, ein kleineres $n$ mit gleicher Teileranzahl zu konstruieren.
• Die Folge der Exponenten ist absteigend, es gilt $c_{1}\geq c_{2}\geq \dotsb \geq c_{k}$. Andernfalls wäre es durch Vertauschung von Exponenten möglich, ein kleineres $n$ mit gleicher Teileranzahl zu konstruieren.

Diese beiden Eigenschaften sind zwar notwendig, aber nicht hinreichend. So muss, ausgenommen $n=4$ und $n=36$, der letzte Exponent $1$ sein.

Beispiel:

$720=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}$ hat $(4+1)\cdot (2+1)\cdot (1+1)=30$ Teiler. Das sind mehr Teiler als bei allen kleineren Zahlen. Also ist $720$ eine hochzusammengesetzte Zahl.

Es gibt keine ungeraden hochzusammengesetzten Zahlen außer der 1.

Anwendungen

Die Eigenschaft, möglichst viele Teiler zu haben, bietet praktische Vorteile und wird deshalb oft bewusst gesucht. So basiert das Winkelgradsystem zu 360° auf einer hochzusammengesetzten Zahl. Auch die Stunden zu 24, Minuten und Sekunden zu je 60 Einheiten sowie das alte Münzsystem Karls des Großen mit der Beziehung ein Pfund Silber gleich 240 Pfennige oder Denare sind hier zu nennen. In Preußen war von 1821 bis 1873 ein Taler gleich 360 Pfennig. Das babylonische Zahlensystem verwendete als Basis die Zahl 60. Außerdem kommt die Verwendung des Dutzends daher, dass 12 eine hochzusammengesetzte Zahl ist.

Entwickelt man eine Skala oder Kreisteilung auf Basis einer hochzusammengesetzten Zahl, so lässt sich diese Skala auf besonders viele verschiedene Arten gleichmäßig teilen.

Ramanujan und hochzusammengesetzte Zahlen

Als einer der ersten Mathematiker beschäftigte sich der Inder Srinivasa Ramanujan (1887–1920) eingehend mit hochzusammengesetzten Zahlen. Dabei fand er die oben genannte Regel der nicht ansteigenden Exponenten. Die Regel kann dazu genutzt werden, hochzusammengesetzte Zahlen zu konstruieren. Ramanujan selbst stellte eine Liste von über hundert der ersten hochzusammengesetzten Zahlen auf. Er übersah dabei aber eine einzige, nämlich die Zahl 293.318.625.600. Heute sind Online-Listen mit über hunderttausend Zahlen dieser Zahlenfolge zu finden.

Siehe auch

• Teilerfunktion

Literatur

• S. Ramanujan: Highly composite numbers. In: Proc. London. Math. Soc. Band 14, 1915, S. 347–409 (ramanujan.sirinudi.org [PDF] (Review. In: Zentralblatt Math)). 
• József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory I. Springer-Verlag, Dordrecht NL 2006, ISBN 978-1-4020-4215-7, S. 45–46. 
• Paul Erdős: On Highly Composite Numbers (PDF; 622 kB) In: Journal of the London Mathematical Society, 1944.
• Paul Erdős, L. Alaolglu: On Highly Composite and Similar Numbers (PDF; 3,0 MB) In: Transaction of the Americal Mathematical Society, Vol. 56, No 3, November 1944, S. 448–469.
• Srinivasa Ramanujan, Jean-Louis Nicolas, Guy Robin: Highly Composite Numbers (PDF; 256 kB) In: The Ramanujan Journal, I, 1997, S. 119–153.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Highly Composite Number. In: MathWorld (englisch).
• Achim Flammenkamp: Weiterführendes, Universität Bielefeld.
• Besondere hochzusammengesetzte Zahlen
• Zugehörige Seite der Michigan State University