Kreis

Menge aller Punkte auf einer Ebene, deren Abstand von einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene konstant ist

Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur. Er wird definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene, die den gleichen Abstand zu einem bestimmten Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt) haben.[1] Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius oder Halbmesser des Kreises,[2] er ist eine positive reelle Zahl. Der Kreis gehört zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie.[3]

Umgangssprachlich und früher wird mit dem Begriff Kreis häufig auch eine Kreisfläche oder eine runde Scheibe bezeichnet.[4] Unter einem Kringel versteht man einen kleinen, nicht exakt gezeichneter Kreis bzw. ringförmigen Schnörkel.[5]

Bereits die alten Ägypter und Babylonier versuchten, den Flächeninhalt des Kreises näherungsweise zu bestimmen. In der griechischen Antike stieß der Kreis wegen seiner Vollkommenheit auf Interesse. Archimedes versuchte erfolglos, den Kreis mit den Werkzeugen Zirkel und Lineal in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt zu überführen, um so den Flächeninhalt des Kreises bestimmen zu können (siehe Quadratur des Kreises). Erst 1882 konnte Ferdinand von Lindemann durch den Nachweis einer besonderen Eigenschaft der Kreiszahl, nämlich der Transzendenz, zeigen, dass diese Aufgabe unlösbar ist.

Worterklärungen

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Kreisflächen

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Nach der eingangs genannten Definition ist ein Kreis eine Kurve, also ein eindimensionales Gebilde, und keine zweidimensionale Fläche. Da das Wort „Kreis“ aber oft ungenau auch für die eingeschlossene Fläche benutzt wird, verwendet man zur Verdeutlichung häufig die Begriffe Kreislinie, Kreisrand oder Kreisperipherie[6] anstatt Kreis – im Gegensatz zur Kreisfläche oder Kreisscheibe. Mathematiker unterscheiden dann noch zwischen der abgeschlossenen Kreisfläche oder -scheibe und der offenen (oder dem Kreisinneren), je nachdem ob die Kreislinie dazugehört oder nicht.

In den Elementen des Euklid hingegen wird als Kreis die von der Kurve umschlossene Fläche bezeichnet.[7]

Bogen, Sehne, Sektor, Segment und Ring

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Kreisring
 
Kreisbogen, Kreissektor und Kreissegment

Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises (also der Kreislinie) ist ein Kreisbogen. Eine Verbindungsstrecke von zwei Punkten auf der Kreislinie bezeichnet man als Kreissehne. Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbögen. Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt verlaufen, also die Durchmesser. Die zugehörigen Kreisbögen heißen Halbkreise. Ist die Kreissehne kein Durchmesser, so sind die Kreisbögen unterschiedlich lang.

Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird. Bilden die zwei Radien einen Durchmesser, wird der Sektor auch als Halbkreis bezeichnet.

Kreissegmente (Kreisabschnitte) werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen.

Ein Kreisring entsteht, wenn man aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit demselben Mittelpunkt herausschneidet.

Sekante, Tangente und Passante

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Für die Lage einer Geraden in Bezug auf einen gegebenen Kreis gibt es drei Möglichkeiten:

 
Beziehung von Kreis zu Tangente, Passante und Sekante
  • Ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und Gerade kleiner als der Kreisradius, so haben Kreis und Gerade zwei (verschiedene) Schnittpunkte und man nennt die Gerade Sekante (lateinisch secare = schneiden). Manchmal bezeichnet man den Spezialfall einer Sekante, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, als Zentrale.
  • Stimmt der Abstand des Mittelpunkts zu der Geraden mit dem Radius überein, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Man sagt, dass die Gerade den Kreis berührt, und nennt die Gerade eine Tangente (lateinisch tangere = berühren). Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht (orthogonal, normal) zum entsprechenden Radius.
  • Wenn der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden größer ist als der Kreisradius, dann haben Kreis und Gerade keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall bezeichnet man die Gerade als Passante. Diese Bezeichnung hat keinen unmittelbaren lateinischen Ursprung, sondern wurde wohl nach franz. oder ital. passante = Vorbeigehende gebildet. Die lat. Wurzel ist passus = Schritt.

Formale Definition

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Ein Kreis mit Mittelpunkt  , Radius   und Durchmesser  .

In einer Ebene   ist ein Kreis   mit Mittelpunkt   und Radius   die Punktmenge

 [8]

Dabei ist der Radius   eine positive reelle Zahl, und   bezeichnet die Länge der Strecke  .

Der doppelte Radius heißt Durchmesser und wird oft mit   bezeichnet. Radius   und Durchmesser   sind durch die Beziehungen   oder   miteinander verknüpft.

Manchmal wird auch jede Strecke, die den Mittelpunkt mit einem Punkt auf der Kreislinie verbindet, als Radius bezeichnet, und jede Strecke, die durch den Mittelpunkt geht, und deren beide Endpunkte auf der Kreislinie liegen, als Durchmesser. Bei dieser Sprechweise ist die Zahl   die Länge jedes Radius und die Zahl   die Länge jedes Durchmessers.

Die offene Kreisfläche ist formal definiert als die Punktmenge

 

die abgeschlossene Kreisscheibe als

 

Geschichte

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Zeit der Ägypter und Babylonier

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Kreis (grün) mit d = 9, Quadrat (gepunktete Linie) umschreibt Kreis, unregelmäßiges Achteck (blau) mit A = 63, Quadrat (rot) mit s = 8/9·d mit A = 64 und Kreis mit A = 63,617...
 
Annäherung der Kreisfläche im Papyrus Rhind, die obige Figur im Quadrat wird als unregelmäßiges Achteck gedeutet, darunter die Rechenschritte am Beispiel d = 9 (Chet).

Der Kreis gehört neben dem Punkt und der geraden Linie zu den ältesten Elementen der vorgriechischen Geometrie.[9] Schon vor viertausend Jahren beschäftigten sich die Ägypter mit ihm in ihren Studien zur Geometrie. Sie konnten den Flächeninhalt   eines Kreises näherungsweise bestimmen, indem sie vom Durchmesser d ein Neuntel seiner Länge abzogen und das Ergebnis mit sich selbst multiplizierten. Sie rechneten also

 

und bestimmten so näherungsweise (mit einer Abweichung von nur etwa +0,6 %) den Flächeninhalt einer Kreisfläche. Diese Näherung wurde in der altägyptischen Abhandlung Papyrus Rhind gefunden. Sie lässt sich erhalten (siehe nebenstehendes Bild), wenn man den Kreis durch ein unregelmäßiges Achteck annähert.[10] Um die Seite des zum Kreis annähernd flächengleichen Quadrates (rot) rechnerisch zu erhalten, ermittelt man nach Kurt Vogel den Flächeninhalt des unregelmäßigen Achtecks und bestimmt aus dessen Wert die nächstliegende Quadratzahl. Die Wurzel daraus ist dann die gesuchte Seitenlänge des flächengleichen Quadrates.[11]

Die Babylonier (1900 bis 1600 vor Christus) benutzten eine ganz andere Methode, um den Flächeninhalt der Kreisscheibe zu berechnen. Im Gegensatz zu den Ägyptern gingen sie vom Kreisumfang   aus, den sie als dreimal den Kreisdurchmesser   schätzten. Der Flächeninhalt wurde dann auf ein Zwölftel des Quadrates des Umfanges geschätzt, also[12] mit einer Abweichung von −4,5 % ein deutlich schlechteres Ergebnis.

 
In der Technik ermöglicht die kreisrunde Form des Rades die rollende Fortbewegung.
 
Fragment des Papyrus Rhind
 

Die Babylonier beschäftigten sich aber auch schon mit Kreissegmenten. Sie konnten die Länge der Sehne oder die Höhe des Kreissegments (die senkrecht auf der Sehnenmitte stehende Strecke zwischen Sehne und Umfang) berechnen. Damit begründeten sie die Sehnengeometrie, die später von Hipparch weiterentwickelt wurde und die Claudius Ptolemaios an den Anfang seines astronomischen Lehrbuches Almagest stellte.[13]

 
Titelblatt von Henry Billingsleys englischer Übersetzung der Elemente (1570)

Die Griechen werden meist als die Begründer der Wissenschaft von der Natur angesehen. Als der erste bedeutende Philosoph dieser Zeit, der sich mit Mathematik beschäftigte, gilt Thales von Milet (624–546 v. Chr.). Er brachte Wissen über die Geometrie aus Ägypten mit nach Griechenland, wie zum Beispiel die Aussage, dass der Durchmesser den Kreis halbiert. Andere Aussagen zur Geometrie wurden von Thales selbst aufgestellt. Der heute nach Thales benannte Satz besagt, dass Peripheriewinkel im Halbkreis rechte Winkel sind. Insbesondere war Thales der erste, bei dem der Begriff des Winkels auftrat.[14]

Die erste bekannte Definition des Kreises geht auf den griechischen Philosophen Platon (428/427–348/347 v. Chr.) zurück, die er in seinem Dialog Parmenides formulierte:

„Rund ist doch wohl das, dessen äußerste Teile überall vom Mittelpunkt aus gleich weit entfernt sind.“

Platon: Parmenides[15]

Zirka 300 Jahre vor Christus lebte der griechische Mathematiker Euklid von Alexandria. Über ihn selbst ist wenig bekannt, aber sein Werk im Bereich der Geometrie war beachtlich. Sein Name ist heute noch in Zusammenhängen wie euklidischer Raum, euklidische Geometrie oder euklidische Metrik in Gebrauch. Sein wichtigstes Werk waren Die Elemente, eine dreizehnbändige Abhandlung, in der er die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit zusammenfasste und systematisierte. Er folgerte die mathematischen Aussagen aus Postulaten und begründete damit die euklidische Geometrie. Der dritte Band der Elemente beschäftigte sich mit der Lehre über den Kreis.[16]

Von Archimedes, der vermutlich zwischen 287 v. Chr. und 212 v. Chr. auf Sizilien lebte, ist eine ausführliche Abhandlung mit dem Titel Die Kreismessung überliefert.[17] Er bewies in dieser Arbeit, dass der Flächeninhalt eines Kreises (AK) gleich dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks (AD) mit dem Kreisradius (r) als der einen und dem Kreisumfang (UK) als der anderen Kathete ist. Der Flächeninhalt des Kreises lässt sich also als ½ · Umfang · Radius angeben (s. Bild).[18] Mit dieser Erkenntnis führte er das Problem der Quadratur des Kreises auf die Frage der Konstruierbarkeit des Umfangs aus dem vorgegebenen Radius zurück.

 
Kreisfläche und Kreisumfang nach Archimedes:  

„Jeder Kreis ist einem rechtwinkligen Dreiecke inhaltsgleich, insofern der Radius gleich der einen der den rechten Winkel einschließenden Seiten, der Umfang aber gleich der Basis [gemeint ist: der anderen Kathete] ist.“

Archimedes: Die Kreismessung[19]

In seiner Abhandlung Die Kreismessung konnte Archimedes zeigen, dass der Umfang eines Kreises größer als 31071 und kleiner als 317 des Durchmessers ist. Für praktische Zwecke wird diese Näherung 227 (~ 3,143) heute noch verwendet.

Aus diesen beiden Aussagen folgert man, dass sich der Flächeninhalt eines Kreises zum Quadrat seines Durchmessers nahezu wie 1114 verhält. Euklid war bereits bekannt, dass sich der Flächeninhalt eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers verhält.[20] Archimedes gibt hier eine gute Näherung der Proportionalitätskonstante an.

In einer weiteren Arbeit Über Spiralen[17] beschreibt Archimedes die Konstruktion der später nach ihm benannten archimedischen Spirale. Mit dieser Konstruktion war es Archimedes möglich, den Umfang eines Kreises auf einer Geraden abzutragen. Auf diese Weise konnte nun der Flächeninhalt eines Kreises exakt bestimmt werden. Jedoch kann diese Spirale nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.[21]

Apollonios von Perge lebte zirka 200 Jahre vor Christus. In seiner Kegelschnittlehre Konika fasste er unter anderem die Ellipse und den Kreis als Schnitte eines geraden Kreiskegels auf – genauso wie es heute noch in der algebraischen Geometrie definiert wird. Seine Erkenntnisse gehen auf seine Vorgänger Euklid und Aristaios (um 330 v. Chr.) zurück, deren verfasste Abhandlungen über Kegelschnitte jedoch nicht mehr überliefert sind.[22]

Nach Apollonios ist weiterhin das apollonische Problem benannt, zu drei gegebenen Kreisen mit den euklidischen Werkzeugen Lineal und Zirkel die Kreise zu konstruieren, die die gegebenen berühren. Jedoch im Vergleich zu Euklids Elementen, die auch im Mittelalter die Grundlage der Geometrie bildeten, fanden die Werke von Apollonios zunächst nur im islamischen Bereich Beachtung. In Westeuropa erlangten seine Bücher erst im 17. Jahrhundert größere Bedeutung, als Johannes Kepler die Ellipse als die wahre Bahn eines Planeten um die Sonne erkannte.[23]

Renaissance

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In der Wissenschaftsgeschichte nennt man den Zeitraum zwischen 1400 n. Chr. und 1630 n. Chr. üblicherweise Renaissance, auch wenn der zeitliche Abschnitt nicht mit der Periodisierung etwa der Kunstgeschichte übereinstimmt. In dieser Zeit fanden Euklids Elemente wieder mehr Beachtung. Sie gehörten zu den ersten gedruckten Büchern und wurden in den darauffolgenden Jahrhunderten in vielen verschiedenen Ausgaben verlegt. Erhard Ratdolt stellte 1482 in Venedig die erste gedruckte Ausgabe der Elemente her. Eine der bedeutendsten Ausgaben von Euklids Elementen wurde von dem Jesuiten Christoph Clavius herausgegeben. Er fügte den eigentlichen Texten Euklids neben den spätantiken Büchern XIV und XV noch ein sechzehntes Buch und weitere umfangreiche Ergänzungen hinzu. Beispielsweise ergänzte er eine Konstruktion der gemeinsamen Tangenten zweier Kreise.[24]

19. Jahrhundert

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Ferdinand von Lindemann

Nach Vorleistungen von Leonhard Euler, der die eulersche Identität aufstellte, Johann Heinrich Lambert und Charles Hermite konnte Ferdinand von Lindemann 1882 beweisen, dass die Zahl   transzendent ist. Das heißt, es gibt keine Polynomfunktion mit rationalen Koeffizienten, für die π eine Nullstelle ist. Da jedoch schon im 17. Jahrhundert gezeigt wurde, dass die Kreiszahl   eine Nullstelle einer solchen Polynomfunktion sein müsse, damit die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal funktioniere, wurde somit zugleich bewiesen, dass es kein solches Verfahren geben kann.[25]

Gleichungen

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In der analytischen Geometrie werden geometrische Objekte mit Hilfe von Gleichungen beschrieben. Punkte in der Ebene werden dazu meist durch ihre kartesischen Koordinaten   dargestellt und ein Kreis ist dann die Menge aller Punkte, deren Koordinaten die jeweilige Gleichung erfüllen.

Koordinatengleichung

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Der euklidische Abstand eines Punktes   vom Punkt   berechnet sich als

 

Durch Quadrieren der definierenden Gleichung   ergibt sich die Koordinatengleichung

 

für die Punkte   auf dem Kreis mit Mittelpunkt   und Radius  . Ausmultipliziert ergibt sich daraus:

 

mit

 ,     und   .

Ein wichtiger Spezialfall ist die Koordinatengleichung des Einheitskreises

 

Funktionsgleichung

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Da der Kreis kein Funktionsgraph ist, lässt er sich auch nicht durch eine Funktionsgleichung darstellen. Behelfsweise kann ein Paar von Funktionsgleichungen

 

verwendet werden. Für den Einheitskreis vereinfacht sich dieses zu

 

Parameterdarstellung

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Eine andere Möglichkeit, einen Kreis durch Koordinaten zu beschreiben, bietet die Parameterdarstellung (siehe auch Polarkoordinaten):

 

Hier werden die Koordinaten   und   durch den Parameter   ausgedrückt, der alle Werte mit   annehmen kann.

Wendet man auch diese Gleichungen speziell auf den Einheitskreis an, so erhält man:

 

Es ist auch eine Parameterdarstellung ohne den Rückgriff auf trigonometrische Funktion möglich (rationale Parametrisierung), allerdings wird dabei die gesamte Menge der reellen Zahlen als Parameterbereich benötigt und der Punkt   wird nur als Grenzwert für   erreicht.

 

Für den Einheitskreis ergibt sich dann:

 

Komplexe Darstellung

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In der komplexen Zahlenebene lässt sich der Kreis um   mit Radius   durch die Gleichung

 

darstellen. Mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion erhält man die Parameterdarstellung

 

Dreipunkteform einer Kreisgleichung

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Die Koordinatengleichung des Kreises durch drei vorgegebene Punkte  , die nicht auf einer Gerade liegen, ergibt sich durch Umformung der 3-Punkteform (Beseitigung der Nenner und quadratische Ergänzung):

 

Kreis durch drei Punkte

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Aus der Dreipunkteform und der Koordinatengleichung ergibt sich für den Kreis durch drei vorgegebene Punkte   mit

 

und den Determinanten

 

für den Mittelpunkt   und den Radius  

 

Liegen die drei gegebenen Punkte auf einer Geraden, so ist  .

Kreisberechnung

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Kreiszahl

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Das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser ist aus Gründen der Ähnlichkeit für alle Kreise gleich groß. Der Zahlenwert dieses Verhältnisses wird in der Elementargeometrie als die Kreiszahl

 

definiert. Die Zahl   hat den Wert  . Sie ist eine transzendente Zahl, die auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik eine herausragende Bedeutung hat.

Entsprechend der obigen Definition von   als das Verhältnis von Kreisumfang   zu Kreisdurchmesser   gilt

 

Dabei ist   der Radius des Kreises.

Kreisfläche

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Ein Vergleich des Flächeninhalts   einer Kreisscheibe mit einem Quadrat über seinem Radius verdeutlicht, dass   größer als   und kleiner als   ist.
 
Näherung der Kreisfläche durch ein Rechteck

Der Flächeninhalt   (lat. area: Fläche) der Kreisfläche, auch Kreisinhalt genannt, lässt sich durch Grenzwert-Betrachtungen berechnen, die auf Archimedes zurückgehen. Wenn man den Kreis, wie in der nebenstehenden Abbildung veranschaulicht, in Kreissektoren zerlegt, lässt sich seine Fläche in eine annähernd rechteckige Form (rechte Figur) bringen. Der Flächeninhalt bleibt gleich. Je feiner man nun den Kreis in Sektoren unterteilt, um so mehr nähert sich die nur annähernd rechteckige Form (rechte Figur) einem Rechteck an mit der Länge   (halber Umfang) und der Breite  . Im Grenzwert ergibt sich als Flächeninhalt   der Kreisfläche somit:

 

Ein formaler Beweis dieser Formel lässt sich zum Beispiel über Integrieren der Kreisgleichung führen oder nutzt, wie Archimedes, die unten beschriebene Annäherung durch regelmäßige Vielecke.

Aus Gründen der Ähnlichkeit ist der Flächeninhalt   der Kreisfläche proportional zum Quadrat des Radius   (und damit auch zum Quadrat des Durchmessers  ) eines Kreises. Die Grenzwert-Betrachtung mittels der Zerlegung des Kreises in Sektoren (siehe Abbildung oben) zeigt, dass der Proportionalitätsfaktor identisch ist mit dem Proportionalitätsfaktor beim Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises, also gleich  .

Durchmesser

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Der Durchmesser   eines Kreises mit Flächeninhalt   und mit Radius   lässt sich durch

 

berechnen.

Krümmung

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Eine im Vergleich zu den bis jetzt beschriebenen Größen weniger elementare Eigenschaft des Kreises ist die Krümmung. Zur präzisen Definition der Krümmung werden Begriffe aus der Analysis benötigt, sie lässt sich jedoch aufgrund der Symmetrieeigenschaften des Kreises einfach berechnen. Anschaulich gibt die Krümmung in jedem Punkt   an, wie stark der Kreis in der unmittelbaren Umgebung des Punktes   von einer Geraden abweicht. Die Krümmung   des Kreises im Punkt   lässt sich durch

 

berechnen, wobei   wieder der Radius des Kreises ist. Im Gegensatz zu anderen mathematischen Kurven hat der Kreis in jedem Punkt die gleiche Krümmung. Außer dem Kreis hat nur noch die Gerade eine konstante Krümmung, mit  . Bei allen anderen Kurven ist die Krümmung vom Punkt   abhängig.

Weitere Formeln

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In den folgenden Formeln bezeichnet   den Sektorwinkel im Bogenmaß. Bezeichnet   den Winkel im Gradmaß, so gilt die Umrechnung  .

Formeln zum Kreis
Fläche eines Kreisringes  
Länge eines Kreisbogens  
Fläche Kreissektor  
Fläche eines Kreissegments  
Länge Kreissehne  
Höhe (Kreissegment)  

Näherungen für den Flächeninhalt

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Da die Kreiszahl   eine transzendente Zahl ist, gibt es kein Konstruktionsverfahren mit Zirkel und Lineal, mit dem man den Flächeninhalt exakt bestimmen kann. Außerdem sind transzendente Zahlen auch irrational, und daher hat   auch keine endliche Dezimalbruchentwicklung, weshalb der Kreisflächeninhalt bei rationalem Radius auch keine endliche Dezimalbruchentwicklung besitzt. Aus diesen Gründen wurden bis heute unterschiedliche Näherungsverfahren für den Flächeninhalt und somit auch den Umfang eines Kreises entwickelt. Manche der Näherungsverfahren, wie beispielsweise das im Abschnitt Annäherung durch Vielecke erläuterte Verfahren, können durch mehrfache Wiederholung ein beliebig genaues Ergebnis liefern.

Annäherung durch Quadrate

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Ein Kreis mit Radius   wird mit einem Quadrat der Seitenlänge   umschrieben. Ihm wird weiter ein Quadrat mit der Diagonalen   einbeschrieben. Der Flächeninhalt des äußeren Quadrates ist  , der des inneren nach der Dreiecksflächenformel   und der Mittelwert ist somit  . Mit dieser Näherung   wird die Kreisfläche mit einem relativen Fehler von weniger als 5 % bestimmt.

Auszählen in einem Raster

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Die Kreisfläche lässt sich annähernd bestimmen, indem man ihr viele kleine Quadrate unterlegt (z. B. mit Millimeterpapier). Zählt man alle Quadrate, die vollständig innerhalb des Kreises liegen, so erhält man einen etwas zu niedrigen Wert für die Fläche, zählt man auch alle Quadrate mit, die den Kreis lediglich schneiden, so ist der Wert zu groß. Der Mittelwert beider Ergebnisse ergibt eine Näherung für den Flächeninhalt des Kreises, deren Güte mit der Feinheit des Quadratrasters steigt.

Annäherung durch Integration

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Man kann die Fläche des Kreises aus im Verhältnis zum Radius sehr schmalen Streifen zusammensetzen. Dazu verwendet man die Gleichungen

  und  .
 
Annäherung an den Umkreis über ein Sechseck und ein Zwölfeck
 
Kreisflächen-Integration

Annäherung durch Vielecke

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Bei einer anderen Möglichkeit zur Kreisflächenbestimmung ist in den Kreis ein regelmäßiges Sechseck einzuzeichnen, dessen Ecken auf dem Kreis liegen. Werden nun die Seitenmitten vom Mittelpunkt aus auf den Kreis projiziert und diese neuen Punkte mit den alten Ecken verbunden, so entsteht ein regelmäßiges Zwölfeck. Wird dieser Vorgang wiederholt, entstehen nacheinander ein 24-Eck, ein 48-Eck und so fort.

In jedem Sechseck sind die Seiten gleich lang wie der Umkreisradius. Die Seiten der folgenden Vielecke ergeben sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras jeweils aus den Seiten der vorhergehenden. Aus den Seiten lassen sich die Flächen der Vielecke durch Dreiecksflächenberechnung exakt bestimmen. Sie sind alle etwas kleiner als die Kreisfläche, der sie sich bei steigender Eckenzahl jedoch annähern.

Entsprechend kann man mit einem Sechseck verfahren, das von außen an den Kreis gezeichnet ist, dessen Seitenmitten also auf ihm liegen. Man erhält eine fallende Folge von Flächenmaßen, deren Grenzwert wiederum die Kreisfläche ist.

Geometrische Sätze und Begriffe rund um den Kreis

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Symmetrie und Abbildungseigenschaften

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Der Kreis ist eine geometrische Figur von sehr hoher Symmetrie. Jede Gerade durch seinen Mittelpunkt ist eine Symmetrieachse. Zudem ist der Kreis rotationssymmetrisch, d. h., jede Drehung um den Mittelpunkt bildet den Kreis auf sich selbst ab. In der Gruppentheorie werden die genannten Symmetrieeigenschaften des Kreises durch seine Symmetriegruppe charakterisiert. Formal ergibt sich dafür die orthogonale Gruppe  , das ist die Gruppe der orthogonalen  -Matrizen.

Alle Kreise mit dem gleichen Radius sind zueinander kongruent, lassen sich also durch Parallelverschiebungen aufeinander abbilden. Zwei beliebige Kreise sind zueinander ähnlich. Sie lassen sich stets durch eine zentrische Streckung und eine Parallelverschiebung aufeinander abbilden.

Kreiswinkel und Winkelsätze

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Kreiswinkel: Der Umfangswinkel   hängt nicht von der Lage des Punktes C auf dem Kreisbogen ab. Er ist halb so groß wie der Zentriwinkel   und genauso groß wie der Sehnentangentenwinkel  .
 
Halbkreis mit rechtwinkligen Dreiecken

Eine Kreissehne mit Endpunkten A und B teilt einen gegebenen Kreis in zwei Kreisbögen. Ein Winkel   mit Scheitel C auf einem der Kreisbögen wird Umfangswinkel oder Peripheriewinkel genannt. Der Winkel   mit Scheitel im Mittelpunkt M heißt Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel.

Im Spezialfall, dass die Sehne den Mittelpunkt enthält, also ein Durchmesser des Kreises ist, ist der Mittelpunktswinkel ein gestreckter Winkel mit 180°. In dieser Situation gilt eine grundlegende Aussage der Kreisgeometrie, der Satz von Thales: Er besagt, dass Umfangswinkel über einem Durchmesser stets rechte Winkel sind, also 90° betragen. Der Kreis um das rechtwinklige Dreieck wird in dieser Situation auch Thaleskreis genannt (Weiteres im Abschnitt Thaleskreis).

Auch im Fall einer beliebigen Kreissehne sind alle Umfangswinkel, die auf dem gleichen Kreisbogen liegen, gleich groß. Diese Aussage wird auch Umfangswinkelsatz genannt. Der Kreisbogen, auf dem die Scheitel der Umfangswinkel liegen, heißt Fasskreisbogen. Liegen Umfangswinkel und Zentriwinkel auf der gleichen Seite der Sehne, dann ist der Zentriwinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel (Kreiswinkelsatz). Zwei Umfangswinkel, die auf gegenüberliegenden Seiten der Sehne liegen, ergänzen einander zu 180°.

Der Umfangswinkel ist genauso groß wie der spitze Sehnentangentenwinkel zwischen der Sehne und der durch einen ihrer Endpunkte verlaufenden Tangente (Sehnentangentenwinkelsatz).

Sätze über Sehnen, Sekanten und Tangenten

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Für Kreise gilt der Sehnensatz, der besagt: Schneiden zwei Sehnen [AC] und [BD] einander in einem Punkt S, so gilt

 

d. h., die Produkte der jeweiligen Sehnenabschnitte sind gleich.

Zwei Sehnen eines Kreises, die einander nicht schneiden, können verlängert werden zu Sekanten, die entweder parallel sind oder einander in einem Punkt S außerhalb des Kreises schneiden. Ist Letzteres der Fall, so gilt analog zum Sehnensatz der Sekantensatz

 

Im Fall einer Sekante, die den Kreis in den Punkte A und C schneidet, und einer Tangente, die den Kreis im Punkt B berührt, gilt der Sekanten-Tangenten-Satz: Ist S der Schnittpunkt von Sekante und Tangente, so folgt

 

Umkreise und Inkreise in Dreiecken

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Sind A, B, C drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, also ein nicht ausgeartetes Dreieck bilden, dann existiert ein eindeutig bestimmter Kreis durch diese Punkte, nämlich der Umkreis des Dreiecks ABC. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Ebenso kann jedem Dreieck ein eindeutig bestimmter Kreis einbeschrieben werden, der die drei Seiten berührt, d. h., die Dreiecksseiten bilden Tangenten des Kreises. Dieser Kreis wird Inkreis des Dreiecks genannt. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.

In der Elementargeometrie werden noch weitere Kreise am Dreieck betrachtet: Die Ankreise liegen außerhalb des Dreiecks und berühren eine Seite und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten. Ein weiterer interessanter Kreis am Dreieck ist der Feuerbachkreis, benannt nach Karl Wilhelm Feuerbach. Auf ihm liegen die drei Seitenmittelpunkte und die drei Fußpunkte der Höhen. Da auf ihm außerdem die drei Mittelpunkte der Strecken zwischen dem Höhenschnittpunkt und den Ecken des Dreiecks liegen, wird der Feuerbachkreis auch Neunpunktekreis genannt. Sein Mittelpunkt liegt wie der Schwerpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Höhenschnittpunkt auf der eulerschen Geraden.

Umkreise in unregelmäßigen Vielecken

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Im Gegensatz zu Dreiecken besitzen unregelmäßige Polygone (Vielecke) mit mehr als drei Ecken im Allgemeinen keinen Umkreis oder Inkreis. Für regelmäßige Polygone existieren beide, eingezeichnet oder nicht, allerdings stets.

Ein Viereck, das einen Umkreis besitzt, wird Sehnenviereck genannt. Ein konvexes Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn sich gegenüberliegende Winkel zu 180° ergänzen. Ein Viereck, das einen Inkreis besitzt, wird Tangentenviereck genannt. Ein konvexes Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die Summe der Seitenlängen zweier gegenüberliegender Seiten gleich der Summe der beiden anderen Seitenlängen ist.

Sechseck

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Satz von Ceva für Kreise

Ein unregelmäßiges Sechseck mit Umkreis (auch Sehnensechseck genannt), dessen Diagonalen sich in einem Punkt schneiden, hat besondere Eigenschaften, die an den Satz von Ceva erinnern. In der Fachliteratur wird der nachfolgende Satz deshalb mitunter auch als „Satz von Ceva für Kreise“ bezeichnet:

In einem Kreis schneiden sich die drei Sehnen  ,   und   in einem Punkt   (siehe Abbildung). Dann gilt für die Seiten des einbeschriebenen Sechsecks   die Verhältnisgleichung

 .

Nach dem Sehnensatz sind folgende Dreiecke ähnlich zueinander:

  zu  ,   zu  ,   zu  

Also gilt:

 
 
 

Da die Flächeninhalte ähnlicher Figuren wie die Quadrate der entsprechenden Seitenlängen ansteigen, folgt

 

und weiter für die Flächeninhalte der Teildreiecke:

 
 
 

Somit gilt:

 

Daraus folgt

 

und gleichzeitig, dass das Produkt der Flächen der grünen Dreiecke gleich dem Produkt der Flächen der gelben Dreiecke ist.

Damit ist die Aussage des Satzes bewiesen.[26][27]

Einem Kreis einbeschriebene Kreise

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Beziehungen im Dreipass

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Gegeben sei ein Dreipass mit drei sich paarweise berührenden kongruenten Kreisen mit Radius  , die einem Kreis   mit Radius   einbeschrieben sind. Dann gilt

 .

Beweis:

 
Figur 1

Der Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge   hat den Radius

 ,

was gleichbedeutend ist mit

 .

Hieraus folgt nach dem Strahlensatz im gelben Dreieck von Figur 1

 

und weiter nach elementaren algebraischen Termumformungen

 .

Beziehungen im Vierpass

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Figur 2

Gegeben sei ein Vierpass aus Dreiviertelkreisbögen von vier kongruenten Kreisen mit Radius  , die einem Kreis   mit Radius   einbeschrieben sind. Dann gilt

 .

Beweis:

Nach dem Satz des Pythagoras gilt im gelben Dreieck von Figur 2

 .

Hieraus folgt nach elementaren algebraischen Termumformungen

 .[28]
 
Figur 3

Beziehungen im Sechspass

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Gegeben sei ein Sechspass aus Zweidrittelkreisbögen von sechs kongruenten Kreisen mit Radius  , die einem Kreis mit Radius   einbeschrieben sind. Dann gilt

 .

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus Figur 3 aufgrund der Eigenschaften der eingezeichneten gleichseitigen Dreiecke.[29]

Bogendreieck

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Drei Eckpunkte eines Quadrats seien Mittelpunkte dreier Kreise, die durch den Diagonalenschnittpunkt des Quadrates verlaufen. Dann ist das Quadrat flächengleich zu dem von den drei Kreisen begrenzten gelben Bereich, dem sogenannten Bogendreieck (Figuren 4 und 5).[30]

Der Beweis ergibt sich durch geometrische Verschiebungen und Drehungen aus den Figuren 6, 7 und 8.

Eine andere Beweisvariante verwendet eine Parkettierung der Ebene mit den gelben Kreisteilen bzw. den rot umrandeten Quadraten. Die Flächengleichheit resultiert aus der Tatsache, dass einerseits die gelben Kreisteile und andererseits die rot umrandeten Quadrate jeweils die gesamte Ebene parkettieren (Figur 9).[30]

Im Gegensatz zum Kreis ist es möglich, vom durch drei Kreisen begrenzten Bogendreieck ein flächengleiches Quadrat zu konstruieren.

Kreisspiegelungen und Möbiustransformationen

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Die Kreisspiegelung, auch Inversion genannt, ist eine spezielle Abbildung der ebenen Geometrie, die eine „Spiegelung“ der euklidischen Ebene an einem gegebenen Kreis   mit Mittelpunkt   und Radius   beschreibt. Ist   ein gegebener Punkt, dann ist sein Bildpunkt   dadurch bestimmt, dass er auf der Halbgeraden   liegt und sein Abstand von   die Gleichung

 

erfüllt. Die Kreisspiegelung bildet das Innere des gegebenen Kreises   auf sein Äußeres ab und umgekehrt. Alle Kreispunkte von   werden auf sich selbst abgebildet. Kreisspiegelungen sind winkeltreu, orientierungsumkehrend und kreistreu. Letzteres bedeutet, dass verallgemeinerte Kreise – das sind Kreise und Geraden – wieder auf verallgemeinerte Kreise abgebildet werden.

Die Hintereinanderausführung zweier Kreisspiegelungen ergibt eine Möbiustransformation. Möbiustransformationen – eine weitere wichtige Klasse von Abbildungen der Ebene – sind daher ebenfalls winkeltreu und kreistreu, allerdings orientierungserhaltend.

Kreisspiegelungen und Möbiustransformationen lassen sich besonders übersichtlich mit Hilfe komplexer Zahlen darstellen: Bei einer Kreisspiegelung eines Punktes   an dem Kreis   lautet die Formel für den Bildpunkt  

 

Für die Spiegelung am Einheitskreis gilt einfach  .

Möbiustransformationen der komplexen Ebene werden durch gebrochen lineare Funktionen der Gestalt

 

mit   und   dargestellt.

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

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In der Geometrie schlägt man Kreise mittels eines Zirkels.

Ein klassisches Problem der Geometrie ist die Konstruktion geometrischer Objekte mit Zirkel und Lineal in endlich vielen Konstruktionsschritten aus einer gegebenen Punktemenge. In jedem Schritt dürfen dabei Geraden durch gegebene oder bereits konstruierte Punkte gezogen werden sowie Kreise um solche Punkte mit gegebenem oder bereits konstruiertem Radius gezogen werden. Die dadurch konstruierten Punkte ergeben sich als Schnittpunkte zweier Geraden, zweier Kreise oder einer Geraden mit einem Kreis. Naturgemäß spielen daher bei allen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Kreise eine wichtige Rolle.

Im Folgenden sollen exemplarisch einige Konstruktionen angesprochen werden, die im Zusammenhang mit der Geometrie von Kreisen von Bedeutung sind.

Thaleskreis

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Für die Konstruktion des Thaleskreises über einer gegebenen Strecke   wird zunächst der Mittelpunkt   dieser Strecke konstruiert, der auch der Mittelpunkt des Thaleskreises ist. Dazu werden um   und   jeweils zwei kurze Kreisbögen mit dem gleichen Radius   geschlagen, wobei   so groß gewählt werden muss, dass die vier Kreisbögen sich in zwei Punkten   und   schneiden. Das ist z. B. für   der Fall. Die Strecke   schneidet dann   im Mittelpunkt  . Der gesuchte Thaleskreis ist nun der Kreis mit Mittelpunkt   und Radius  . (Figur 1)

Konstruktion von Tangenten

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Gegeben sei ein Punkt   außerhalb eines Kreises   mit Mittelpunkt   und es sollen die beiden Tangenten an den Kreis konstruiert werden, die durch den Punkt   laufen. Diese elementare Konstruktionsaufgabe lässt sich einfach mit Hilfe des Satzes von Thales lösen: Man konstruiert den Thaleskreis mit der Strecke   als Durchmesser. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit   sind dann die Berührpunkte der gesuchten Tangenten. (Figur 1)

Kreis durch drei gegebene Punkte

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Kreis (rot) verläuft durch die drei gegebenen Punkte   und  

Gegeben sind die Punkte   und  , gesucht ist jener Kreis der durch diese Punkte verläuft.

Es beginnt mit dem Ziehen dreier Kreise mit gleicher Zirkelöffnung mit dem Radius gleich dem zweitgrößten Abstand   um die Punkte   und  . Als Schnittpunkte ergeben sich   und  . Nun werden die beiden Mittelsenkrechten   bzw.   der Abstände   und   mithilfe der Verbindungen der Punkte   mit   und   mit   generiert. Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt   des gesuchten Kreises, der abschließend durch die drei Punkte   und   gezogen wird.

Streckendrittelung

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Für jede der folgenden alternativen Figuren bedarf es nur einer Zirkelöffnung, sprich die Kreise haben stets den Radius gleich der gegebenen Strecke  . Die alphabetisch bezeichneten Punkte zeigen jeweils die Reihenfolge der Konstruktionsschritte für die Drittelung der Strecke   an.

In Figur 2, Figur 4 und in Figur 5 erzeugt jeweils der Schnittpunkt   die Streckendrittelung.

In Figur 2 ist die Strecke   halb so lang wie die Strecke  .[31][32]

In Figur 3 liefert der Teilungspunkt   die Drittelung der Strecke  .

Konstruktion der Schnittpunkte in Figur 4 bzw. in Figur 5:

  •   ist der Schnittpunkt der Strecke   und der Strecke  .
  •   ist der Schnittpunkt des Kreises mit dem Mittelpunkt   und der Strecke  .
  •   ist der Schnittpunkt des Kreises mit dem Mittelpunkt   und dem Kreis mit dem Mittelpunkt  .
  •   ist der Schnittpunkt der Strecke   und der Strecke   und liefert somit das letzte Drittel der Strecke  .

Die Figur 4 mit den Kreismittelpunkten   und   und Figur 5 mit den Kreismittelpunkten   und   sind elementare Vereinfachungen der Konstruktionen „Zwei Mal halbieren“ bzw. „Drei Mal halbieren“ von Hans Walser aus dem Jahr 2007.[33]

Flächenverdoppelung

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Figur 6: Die Fläche des roten Kreises ist doppelt so groß wie die Fläche des kleinen, blauen Kreises.

Die Fläche eines Kreises lässt sich geometrisch verdoppeln, indem ein Quadrat gezeichnet wird, dessen eine Ecke im Kreismittelpunkt liegt, wobei zwei weitere Ecken auf dem Kreisbogen liegen. Durch die vierte Ecke wird ein Kreis um den alten Mittelpunkt gezogen. Dieses Verfahren wurde im 13. Jahrhundert im Bauhüttenbuch des Villard de Honnecourt dargestellt. Dieses Verfahren funktioniert, da (nach dem Satz des Pythagoras)

 

und damit der Flächeninhalt des großen Kreises

 

genau doppelt so groß ist wie der des kleinen Kreises. (Figur 6)

Kreisteilung

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Ein weiteres bereits in der Antike untersuchtes Konstruktionsproblem ist die Kreisteilung. Hierbei soll zu einer gegebenen natürlichen Zahl   einem gegebenen Kreis ein regelmäßiges  -Eck einbeschrieben werden. Die auf dem Kreis gelegenen Eckpunkte teilen diesen dann in   gleich lange Kreisbögen. Diese Konstruktion ist nicht für alle   möglich: Mit Hilfe der algebraischen Theorie der Körpererweiterungen lässt sich zeigen, dass sie genau dann durchführbar ist, wenn   eine Primfaktorzerlegung der Form

 

hat mit   und paarweise verschiedenen fermatschen Primzahlen  , also Primzahlen der Form  . Damit ist die Konstruktion also beispielsweise für   möglich, jedoch nicht für z. B.  . Carl Friedrich Gauß wies im Jahre 1796 nach, dass die Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal möglich ist.

Konstruktionen nur mit dem Zirkel

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Bei gewissen geometrischen Konstruktionen kann auf ein Lineal verzichtet werden. Der französische Kaiser Napoleon Bonaparte, der sich unter anderem auch mit geometrischen Fragestellungen befasste, lieferte zwei Beispiele für solche Konstruktionsaufgaben, die in der Fachliteratur auch als Napoleonische Probleme bezeichnet werden.[34]

Erstes Napoleonisches Problem

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Sind ein Kreis   mit dem Mittelpunkt   und dem Radius   sowie ein Punkt   auf der Kreislinie gegeben, so sind die Eckpunkte eines einbeschriebenen Quadrats ausschließlich mit dem Zirkel konstruierbar.

1. Konstruktionsschritt:

Zeichne einen Kreis um   mit dem Radius  . Der eine Schnittpunkt dieses Kreises mit   sei   (von   aus gegen den Uhrzeigersinn).

2. Konstruktionsschritt:

Zeichne einen Kreis um   mit dem Radius  . Der eine Schnittpunkt dieses Kreises mit   sei   (von   aus gegen den Uhrzeigersinn).

3. Konstruktionsschritt:

Zeichne einen Kreis um   mit dem Radius  . Der eine Schnittpunkt dieses Kreises mit   sei   (von   aus gegen den Uhrzeigersinn).

4. Konstruktionsschritt:

Zeichne einen Kreis um   durch   und einen Kreis um   durch  . Der eine Schnittpunkt dieser beiden Kreise sei   (  liege außerhalb von  ).

5. Konstruktionsschritt:

Zeichne einen Kreis um   mit dem Radius  . Die Schnittpunkte dieses Kreises mit   seien   und  .
Hierbei resultiert die Wahl des Radius   aus folgendem Sachverhalt:
Das Dreieck   hat den rechten Winkel  . Dieser setzt sich zusammen aus dem 60°-Winkel   des gleichseitigen Dreiecks   und dem 30°-Winkel   des durch   symmetrisch geteilten gleichseitigen Dreiecks  .
Deshalb gilt nach dem Satz des Pythagoras:
 
  – und damit auch   – ist doppelt so lang wie die Höhe   des gleichseitigen Dreiecks  , bzw.  .
 
 
Dies ist die Diagonalenlänge des einbeschriebenen Quadrats  .
Damit sind die Eckpunkte des einbeschriebenen Quadrats   ausschließlich mit dem Zirkel konstruiert.

Grafische Darstellung der Konstruktionsschritte (Die hinzugekommenen Schritte sind jeweils rot markiert.):

Zweites Napoleonisches Problem

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Sind ein Kreis   mit dem Radius   sowie ein Punkt   auf der Kreislinie gegeben, so ist der Mittelpunkt von   ausschließlich mit dem Zirkel konstruierbar.

1. Konstruktionsschritt:

Zeichne einen Kreis   um   mit einem Radius zwischen   und  . Die Schnittpunkte von   und   seien   und  .

2. Konstruktionsschritt:

Zeichne einen Kreis um   mit dem Radius   und einen Kreis um   mit dem Radius  . Der zweite Schnittpunkt dieser beiden Kreise sei  .

3. Konstruktionsschritt:

Zeichne einen Kreis   um   mit dem Radius  . Die Schnittpunkte von   und   seien   und  .

4. Konstruktionsschritt:

Zeichne einen Kreis um   mit dem Radius   und einen Kreis um   mit dem Radius  . Der zweite Schnittpunkt dieser beiden Kreise ist der Mittelpunkt   von  .

Grafische Darstellung der Konstruktionsschritte (Die hinzugekommenen Schritte sind jeweils rot markiert.):

Kreisberechnung in der Analysis

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In der modernen Analysis werden die trigonometrischen Funktionen und die Kreiszahl   üblicherweise zunächst ohne Rückgriff auf die elementargeometrische Anschauung und auf spezielle Eigenschaften des Kreises definiert. So lassen sich etwa Sinus und Kosinus über ihre Darstellung als Potenzreihe definieren. Eine gängige Definition für den Wert von   ist dann das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus.

Der Kreis als Kurve

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In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Analysis, das geometrische Formen mit Hilfe der Differential- und Integralrechnung untersucht, werden Kreise als spezielle Kurven angesehen. Diese Kurven lassen sich mit Hilfe der oben genannten Parameterdarstellung als Weg beschreiben. Legt man den Koordinatenursprung in den Mittelpunkt eines Kreises mit Radius  , dann ist durch die Funktion   mit

 

eine solche Parametrisierung gegeben. Mit Hilfe der trigonometrischen Formel   folgt für die euklidische Norm der parametrisierten Punkte  , das heißt, sie liegen tatsächlich auf einem Kreis mit Radius  . Da Sinus und Kosinus  -periodische Funktionen sind, entspricht das Definitionsintervall   von   genau einem Kreisumlauf.

Kreisumfang

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Der Umfang des Kreises ergibt sich als Länge des Weges   durch Integration zu

 

Analog gilt für die Länge   des durch   gegebenen Teilkreisbogens  . Dadurch erhält man als Parametrisierung des Kreises nach der Bogenlänge

 

mit  .

Flächeninhalt

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Der Flächeninhalt   der Kreisscheibe  , also das Maß der Menge  , kann als (zweidimensionales) Integral

 

dargestellt werden. Um die etwas mühsame Berechnung dieses Integrals in kartesischen Koordinaten zu umgehen, ist es günstig, eine Transformation  ,   auf Polarkoordinaten durchzuführen. Damit ergibt sich

 

Eine andere Möglichkeit zur Berechnung der Kreisfläche besteht darin, die Sektorformel von Leibniz auf die Parameterdarstellung des Kreisrandes anzuwenden. Mit  ,   erhält man damit ebenfalls

 

Krümmung

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Für die oben hergeleitete Parametrisierung   des Kreises nach seiner Bogenlänge ergibt sich

 

Für die Krümmung des Kreises erhält man daher

 

Die Krümmung des Kreises ist also konstant und der Krümmungsradius   ist gerade sein Radius.

In der Differentialgeometrie wird gezeigt, dass eine ebene Kurve bis auf Kongruenz durch ihre Krümmung eindeutig bestimmt ist. Die einzigen ebenen Kurven mit konstanter positiver Krümmung sind daher Kreisbögen. Im Grenzfall, dass die Krümmung konstant gleich 0 ist, ergeben sich Geradenstücke.

Isoperimetrisches Problem

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Unter allen Flächen der euklidischen Ebene mit gegebenem Umfang besitzt die Kreisfläche den größten Flächeninhalt. Umgekehrt hat die Kreisfläche bei gegebenem Flächeninhalt den kleinsten Umfang. In der Ebene ist der Kreis daher die eindeutig bestimmte Lösung des sog. isoperimetrischen Problems. Obwohl diese anschaulich einleuchtende Tatsache schon den Mathematikern im antiken Griechenland bekannt war, wurden formale Beweise erst im 19. Jahrhundert erbracht. Da eine Kurve gesucht ist, die ein Funktional maximiert, nämlich den umschlossenen Flächeninhalt, handelt es sich dabei aus moderner Sicht um ein Problem der Variationsrechnung. Ein gängiger Beweis für stückweise stetige Kurven verwendet die Theorie der Fourierreihen.[35]

Verallgemeinerungen und verwandte Themen

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Es ist möglich, den Kreis als Objekt der Ebene in den dreidimensionalen Raum zu verallgemeinern. Dann erhält man die Hülle einer Kugel. Dieses Objekt wird in der Mathematik Sphäre oder genauer 2-Sphäre genannt. Analog lässt sich die 2-Sphäre auf   Dimensionen zur  -Sphäre verallgemeinern. In diesem Kontext nennt man den Kreis auch 1-Sphäre.

Kegelschnitte

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Der Kreis als Kegelschnitt

In der ebenen Geometrie kann der Kreis als spezielle Ellipse aufgefasst werden, bei der die beiden Brennpunkte mit dem Kreismittelpunkt zusammenfallen. Beide Halbachsen sind dabei gleich dem Kreisradius. Der Kreis ist daher ein spezieller Kegelschnitt: Er entsteht als Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene senkrecht zu Kegelachse. Er ist damit ein Spezialfall einer zweidimensionalen Quadrik.

Hierbei ergibt sich eine weitere, äquivalente Definition für Kreise (Kreis des Apollonios): Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in der Ebene, für die der Quotient   ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten konstant ist. Die beiden Punkte liegen auf einem von   ausgehenden Strahl im Abstand   bzw.   und wechselseitig auf der Polaren des jeweils anderen Punktes als Pol. Ähnliche Definitionen gibt es auch für die Ellipse (konstante Summe), Hyperbel (konstante Differenz) und die Cassinische Kurve (konstantes Produkt der Abstände).

Kreise in der synthetischen Geometrie

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In der synthetischen Geometrie können Kreise in bestimmten affinen Ebenen (zum Beispiel präeuklidischen Ebenen) ohne einen Abstandsbegriff allein durch eine Orthogonalitätsrelation definiert werden, indem der Satz vom Umkreis (Mittellotensatz) zur Definition des Kreises verwendet wird. Dadurch kann dann ein schwächerer Begriff der „Abstands-“ oder „Längengleichheit“ von Punktepaaren   in solchen Ebenen eingeführt werden. → Siehe dazu Präeuklidische Ebene.

Zeichnung im digitalen Raster

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Für das Zeichnen von angenäherten Kreisen in einem Punktraster wurden mehrere Algorithmen entwickelt, siehe dazu Rasterung von Kreisen. Diese Verfahren sind insbesondere für die Computergrafik von Belang. Für die zweifarbige Rasterung von Kreisen reichen die Grundrechenarten aus.

Siehe auch

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Literatur

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Commons: Kreis – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Kreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Quadratur – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

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  1. Harald Scheid: Kreis. Hrsg.: Meyers Lexikonredaktion. 6. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim 2000, ISBN 3-411-05346-1, S. 343.
  2. Guido Walz: Kreis. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 2. Auflage. Teil: Band 3, Lexikon der Mathematik Band 3: Inp bis Mon. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-53502-8, S. 214.
  3. Euklid von Alexandria: Die Ersten Sechs Bücher Elementorum Euclidis:. In welchen die Anfäng und Gründe der Geometria ordentlich gelehret, und gründtlich erwiesen werden / Mit sonderm Fleiß und Mühe auß Griechischer in unsere Hohe deutsche Sprach übergesetzet ... und aigentlichest erkläret ... Durch Simonem Marium Guntzenhusanum Franc. Fürstlichen Brandenb: bestalten Mathematicum, und Medicinae Utriusq[ue] Studiosum. Hrsg.: Simon Marius. Böhem, Onoltzbach 1610, S. 18 v. 188.
  4. Kai Möller: Was ist ein Kreis? Kreisfläche? Umfang? Segment? In: Website https://lernflix.at/. Kai Möller, abgerufen am 13. Juni 2023.
  5. Kringel, der. In: Duden. Cornelsen Verlag, abgerufen am 7. Februar 2024.
  6. Ilja Nikolajewitsch Bronštein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 5. Auflage, Thun und Frankfurt 2001, S. 143.
  7. vgl. Definitionen in: Euklid, Elemente. Buch I; in der Übersetzung nach Rudolf Haller heißt es: „Ein Kreis ist eine ebene Figur innerhalb einer Linie, von deren Punkte zu einem besonderen Punkt innerhalb der Figur gleiche gerade Strecken zu ziehen sind.“
  8. Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 143.
  9. Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 2005, S. 32–33.
  10. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 13.
  11. Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 2005, S. 23.
  12. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 18.
  13. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 19–20.
  14. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 31–33.
  15. Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2007, Korrigierter Nachdruck 2009, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 145.
  16. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 49–50.
  17. a b In englischer Übersetzung von Thomas Little Heath: The works of Archimedes, ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897. Kreismessung: S. 91 ff., Über Spiralen: S. 151 ff., (Digitalisat).
  18. Norbert Froese: 1. Kreismessung und archimedische Spirale. Archimedes – Das antike Jahrtausend-Genie. 21. November 2023, abgerufen am 5. November 2024.
  19. Markus Ruppert: Bestimmung von Kreisfläche und Kreisumfang nach Archimedes. Archimedes, der Kreis und die Kugel. Universität Würtzburg, 2011, abgerufen am 30. September 2023.
  20. Euklids Elemente. XII, § 2.
  21. Siehe Gericke: Antike und Orient. S. 120 ff.
  22. Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 2005, S. 40–42.
  23. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 72–73.
  24. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 247–248.
  25. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 405–406.
  26. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik – 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 70 und 71
  27. L. Hoehn: A simple generalisation of Ceva’s theorem. Mathematical Gazette (1989), 73, S. 126–127
  28. Günter Aumann: Kreisgeometrie, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45305-6, Seiten 10–13
  29. Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 148
  30. a b Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 33/167
  31. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, S. 30.
  32. Scott Coble: Proof with Words: An Efficient Trisection of a Line Segment. In: Mathematics Magazine. Band 67, Nr. 5, Dezember 1994, ISSN 0025-570X, S. 354, doi:10.1080/0025570X.1994.11996248.
  33. Hans Walser: Dritteln durch Halbieren. (PDF) 3 Der elegante Weg. 1. April 2007, S. 1–2, abgerufen am 10. August 2023.
  34. Günter Aumann: Kreisgeometrie, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45305-6, Seiten 237–240
  35. Hurwitz: Quelques applications geometriques des series de Fourier. Annales de l’Ecole Normale, Band 19, 1902, S. 357–408.
    Der Beweis findet sich zum Beispiel in Blaschke: Vorlesungen über Differentialgeometrie. Band 1, Springer, 1924, S. 45.
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