Projektionssatz (Informatik)

Der Projektionssatz ist ein hinreichendes Kriterium für eine Sprache, rekursiv aufzählbar zu sein. Eine Sprache ist rekursiv aufzählbar, wenn sie Definitionsbereich einer berechenbaren Funktion ist.

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Satz

Der Satz versteht sich als Rekursion, darum ist er in zwei Teilen gegeben:

• Eine Menge $A\subset \mathbb {N}$ ist eine rekursiv aufzählbare Menge, wenn sie Wertebereich einer berechenbaren Funktion ist.
• Eine Menge $A\subset \mathbb {N} ^{k}$ ist eine rekursiv aufzählbare Menge, genau dann wenn$A=\{\forall x\in \mathbb {N} \,\exists y\in \mathbb {N} :\langle x,y\rangle \in B\}$für ein $B\subset \mathbb {N} ^{k+1}$, das rekursiv (entscheidbar) ist.

Letztere Folgerung ist eine direkte Implikation aus der Definition der aufzählbaren Menge, welche besagt, dass auf einer aufzählbaren Menge ein Algorithmus $f(n)$ definiert werden kann, welcher folgende Werte ausgibt:

$f(n)={\begin{cases}1&n\in B\\0&{\text{sonst}}\\\end{cases}}.$

Dieser Algorithmus ist per Definition für $\forall n\in B$ definiert und stellt daher eine berechenbare Funktion dar, welche als charakteristische Funktion einer Menge angesehen werden kann, die in der Folge entscheidbar bzw. rekursiv ist.