Pushforward

Als Pushforward wird eine Abbildung zwischen Tangentialräumen glatter Mannigfaltigkeiten bezeichnet, die die im euklidischen Raum definierte Richtungsableitung verallgemeinert.

Das duale Konzept heißt meist Rücktransport (Pullback).

Definition

Sind $M$ und $N$ glatte Mannigfaltigkeiten und ist $F\colon M\rightarrow N$ eine glatte Abbildung, so definiert man den Pushforward

F_{\ast }\colon T_{p}M\rightarrow T_{F(p)}N

von $F$ am Punkt $p\in M$ durch

(F_{*}v)(f)=v(f\circ F)

für $v\in T_{p}M$ und jede glatte Funktion $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N)$ auf der Mannigfaltigkeit $N$ . Hierbei werden Tangentialvektoren als Richtungsableitungen (Derivationen) aufgefasst, vgl. Tangentialraum.

Auf diese Weise wird eine Abbildung $F_{\ast }\colon TM\to TN$ definiert.

Bezeichnungen und Schreibweisen

Andere Bezeichnungen für den Pushforward sind Ableitung, Differential und Tangentialabbildung von $F$ . Andere Schreibweisen sind $F\,'(p)v$ , $DF_{p}(v)$ , $D_{p}F(v)$ , $dF_{p}(v)$ , $d_{p}F(v)$ und $T_{p}F(v)$ . Oft werden die Klammern um das Argument $v$ auch weggelassen.

Bedeutung für Tangentialvektoren von Kurven

Ist $v={\dot {c}}(t)\in T_{p}M$ der Tangentialvektor einer differenzierbaren Kurve $c\colon I\to M$ (hierbei ist $I$ ein Intervall in $\mathbb {R}$ ) im Punkt $p=c(t)$ , so ist $F_{*}v\,$ der Tangentialvektor der Bildkurve ${\tilde {c}}=F\circ c\colon I\to N$ im Bildpunkt $F(p)={\tilde {c}}(t)$ , also

F_{*}v={\dot {\tilde {c}}}(t)=(F\circ c)^{\cdot }(t)

.

Darstellung in Koordinaten

Sind $(x_{1},\dots ,x_{m})$ lokale Koordinaten auf $M$ um $p$ und $(y_{1},\dots ,y_{n})$ lokale Koordinaten auf $N$ um den Bildpunkt $F(p)$ , so haben die Vektoren $v\in T_{p}M$ und $w=F_{*}v\in T_{F(p)}N$ die Darstellungen

v=\sum _{j}v^{j}\,{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}

bzw.

w=\sum _{i}w^{i}\,{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}

.

Wird weiter die Abbildung $F\colon M\to N$ durch die Funktionen $f^{1}(x_{1},\dots ,x_{m}),\dots ,f^{n}(x_{1},\dots ,x_{m})$ dargestellt, so gilt

w^{i}=\sum _{j}{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}\,v^{j}

.

Pushforward im euklidischen Raum

Liegt der Spezialfall $F\colon \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ vor, so stellt $F_{*}\,$ nichts anderes als die totale Ableitung $DF(p)\colon \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum identifiziert wird (die Unterscheidung zwischen Richtungsableitung und totaler Ableitung spielt hier keine Rolle, da die Funktion bereits als hinreichend glatt vorausgesetzt ist).

Oft wird der Tangentialraum $T_{p}\mathbb {R} ^{m}$ des euklidischen Raums $\mathbb {R} ^{m}$ im Punkt $p\in \mathbb {R} ^{m}$ mit $\{p\}\times \mathbb {R} ^{m}$ identifiziert, das Tangentialbündel $T\mathbb {R} ^{m}$ also mit $\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m}$ . In diesem Fall ist der Pushforward die Abbildung $F_{\ast }\colon (p,v)\mapsto (F(p),DF(p)(v))$ .