Digitale bildgebende Verfahren: Beleuchtung

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Dieses Kapitel beschäftigt sich mit Themen, die im Zusammenhang mit der Beleuchtung von Objekten (synonym für "von Gegenständen"), die betrachtet oder photographisch abgebildet werden sollen, von Bedeutung sind.

Photonen

Photonen sind die Ausprägung von elektromagnetischer Strahlung als Teilchen. Sie breiten sich in allen optischen Medien wellenartig aus. Das Produkt aus der Schwingungsfrequenz $f$ der elektromagnetischen Welle und deren Wellenlänge $\lambda$ ist die Lichtgeschwindigkeit $c$ :

$c=\lambda \cdot f$

Die Vakuumlichtgeschwindigkeit $c_{0}$ hat eine festgelegte Größe:

$c_{0}=299792458{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$

In allen anderen optischen Medien ist die Lichtgeschwindigkeit $c$ um den Zahlenfaktor $n>1$ kleiner als im Vakuum:

$c={\frac {c_{0}}{n}}$ beziehungsweise $c_{0}=n\cdot c$

Der einheitenlose Zahlenfaktor $n$ wird Brechzahl oder Brechungsindex genannt. Er beträgt für das Vakuum Eins.

Bei elektromagnetischer Strahlung mit der Wellenlänge $\lambda$ respektive der Frequenz $f$ ergibt sich die Photonenenergie $W_{Ph}$ (Maßeinheit Joule, abgekürzt: J) aus der Beziehung:

$W_{Ph}={h}\cdot {f}={\frac {h\cdot c}{\lambda }}$,

wobei $h=6,62607015\cdot 10^{-34}{\text{ J s}}$ für das Plancksche Wirkungsquantum steht.

Der mechanische Impuls $p$ eines Photons ist umgekehrt proportional zu dessen Wellenlänge $\lambda$ beziehungsweise proportional zu dessen Energie $W_{Ph}$:

$p={\frac {h}{\lambda }}={\frac {W_{Ph}}{c}}$

Photometrische Grundbegriffe

Photonenstrom

Die Photonenmenge respektive Strahlungsmenge $Q$ (für Quantität) ist ein einheitenloses Maß für die Anzahl der Photonen mit einer bestimmten Energie (respektive mit einer bestimmten Wellenlänge oder mit einer bestimmten Frequenz). Der Photonenstrom $\Phi$ (Maßeinheit 1/s) ergibt sich aus der in einer bestimmten Zeit $t$ untersuchten Photonenmenge:

$\Phi ={\frac {Q}{t}}$

Strahlungsleistung

Die Strahlungsleistung $\Phi _{e}$ (auch Strahlungsfluss genannt, Maßeinheit Watt, abgekürzt: W, Index e für "elektromagnetisch") ergibt sich bei monochromatischer elektromagnetischer Strahlung wiederum aus dem Produkt von Photonenstrom und der Energie eines einzelnen Photons mit der Wellenlänge $\lambda$.

$\Phi _{e}={W_{Ph}}\cdot {\Phi }={\frac {Q\cdot h\cdot c}{\lambda \cdot t}}$

Entsprechend ergibt sich für die Strahlungsenergie $W_{e}$:

$W_{e}=Q\cdot {W_{Ph}}=\Phi _{e}\cdot t={\frac {Q\cdot h\cdot c}{\lambda }}$

Sowie für die Strahlungsstromdichte $E_{e}$ (auch Bestrahlungsstärke, siehe unten) senkrecht durch eine Fläche $A$:

$E_{e}={\frac {\Phi _{e}}{A}}$

Photonen, die mit dem Photonenstrom $\Phi$ im Winkel $\alpha$ zum Oberflächenlot auf eine Fläche $A$ treffen, erzeugen dort den mechanischen Strahlungsdruck $p_{St}$:

$p_{St}={\frac {E_{e}}{c}}\cos ^{2}\alpha$

Für monochromatisches Licht mit den Photonenstrom $\Phi$ aus Photonen mit dem mechanischen Impuls $p$ gilt demnach:

$p_{St}={\frac {p\cdot \Phi }{A}}\cos ^{2}\alpha =h\cdot {\frac {\Phi }{\lambda \cdot A}}\cos ^{2}\alpha$

Lichtstrom

Der Lichtstrom $\Phi _{v}$ (Index v für "visuell", also elektromagnetische Strahlung im sichtbaren Wellenlängenbereich zwischen etwa 380 und 780 Nanometer) ergibt sich aus der Multiplikation der elektromagnetischen Strahlungsleistung $\Phi _{e}$ mit dem entsprechenden wellenlängenabhängigen photometrischen Strahlungsäquivalent $K(\lambda )$:

$\Phi _{v}={K(\lambda )}\cdot {\Phi _{e}}$

Das spektrale photometrische Strahlungsäquivalent $K(\lambda )$ hat die Maßeinheit Lumen pro Watt, so dass für den Lichtstrom die Maßeinheit Lumen (abgekürzt: lm, lateinisch: Leuchte) resultiert.

Bezogen auf die spektrale Empfindlichkeit der menschlichen Netzhaut müssen das farbige Tagesehen (photopisches Sehen) mit den Zapfen und das monochrome Nachtsehen (skotopisches Sehen) mit den Stäbchen unterschieden werden. Die entsprechenden photometrischen Strahlungsäquivalente sind in der DIN 5031 festgelegt: das maximale photometrische Strahlungsäquivalent für das Tagsehen $K_{m}$ beträgt 683,002 Lumen pro Watt, und das maximale photometrische Strahlungsäquivalent für das Nachtsehen $K'_{m}$ beträgt 1700,13 Lumen pro Watt (vergleiche CIE 191:2010 Recommended System for Mesopic Photometry based on Visual Performance, International Commission on Illumination (CIE), Wien).

Mit der physiologischen, wellenlängenabhängigen und einheitenlosen Bewertungsfunktion des menschlichen Auges $0\leq V(\lambda )\leq 1$ (auch Hellempfindlichkeitskurve oder relativer spektraler Hellempfindlichkeitsgrad) sowie für das spektrale photometrische Strahlungsäquivalent $K(\lambda )$ in Lumen pro Watt ergibt sich für das Tagsehen:

$\Phi _{v}=K_{m}\cdot V(\lambda )\cdot \Phi _{e}=K(\lambda )\cdot \Phi _{e}$

Und für das Nachtsehen mit der entsprechenden Bewertungsfunktion $0\leq V'(\lambda )\leq 1$ beziehungsweise mit dem spektralen photometrischen Strahlungsäquivalent $K'(\lambda )$ in Lumen pro Watt:

$\Phi _{v}'=K'_{m}\cdot V'(\lambda )\cdot \Phi _{e}=K'(\lambda )\cdot \Phi _{e}$

Die Lichtmenge $Q_{v}$ beim Tagsehen und $Q_{v}'$ beim Nachtsehen kann für monochromatisches Licht der Wellenlänge $\lambda$ also als Funktion des Lichtstroms $\Phi _{v}$ ausgedrückt werden:

$Q_{v}={\frac {\Phi _{v}}{K(\lambda )}}\cdot {\frac {\lambda }{h\cdot c}}\cdot t$

$Q_{v}'={\frac {\Phi _{v}}{K'(\lambda )}}\cdot {\frac {\lambda }{h\cdot c}}\cdot t$

Bei grünem Licht ($\lambda$ = 550 Nanometer) mit einem Lichtstrom von einem Lumen sind in jeder Nanosekunde beim Tagsehen demzufolge rund vier Millionen Photonen beteiligt.

Der Wirkungsgrad einer Lichtquelle kann durch das Verhältnis des Lichtstroms mit der für die Lichterzeugung aufgewendeten Leistung $P$ beschrieben werden, das auch Lichtausbeute $\eta _{v}$ genannt wird (Maßeinheit Lumen pro Watt):

$\eta _{v}={\frac {\Phi _{v}}{P}}$

• Wahrnehmung von elektromagnetischer Strahlung durch Menschen
• 
  Relative Hellempfindlichkeitskurven für das Tagsehen V(λ) (rot) und für das Nachtsehen V'(λ) (blau).
• 
  Spektrale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen in der menschlichen Netzhaut (S, M, L) über der Lichtwellenlänge. Der Unterschied zwischen L und M liegt vor allem bei den roten und grünen Wellenlängen, und S reagiert vor allem auf die Wellenlängen im blauen Bereich.
• 
  Spektrale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen und der Stäbchen in der menschlichen Netzhaut über der Lichtwellenlänge in Nanometern (nm). Die maximale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen liegt bei den Farben ⬤ (420 nm, violett), ⬤ (534 nm, grün) und ⬤ (564 nm, gelbgrün).
• 
  Spektrales photometrisches Strahlungsäquivalent für Tagsehen K(λ) und für Nachtsehen K′(λ).

Beleuchtungsstärke

Verhältnisse bei emittierender Fläche $A_{E}$, emittiertem Raumwinkel $\Omega$ und projizierter Fläche $A_{P}$

Verhältnisse bei emittierender Fläche $A_{E}$, projiziertem Raumwinkel $\Omega$ und projizierter Fläche $A_{P}$

Wird ein Lichtstrom auf eine entsprechende definierte geometrische Fläche $A_{P}$ projiziert, kann die Beleuchtungsstärke der Projektion $E_{v}$ innerhalb dieser Fläche ermittelt werden:

$E_{v}={\frac {\Phi _{v}}{A_{P}}}$

Für eine kreisförmige Projektionsfläche mit dem Durchmesser $d$ gilt demzufolge:

$E_{v}={\frac {4\Phi _{v}}{\pi d^{2}}}$

Emittiert die definierte geometrische Fläche $A_{E}$ einer Lichtquelle einen Lichtstrom, wird von der spezifischen Lichtausstrahlung $M_{v}$ (also eigentlich eine Leuchtstärke) dieser Fläche gesprochen, die sich entsprechend berechnet:

$M_{v}={\frac {\Phi _{v}}{A_{E}}}$

Für einen kreisförmigen Emitter mit dem Durchmesser $D$ gilt demzufolge:

$M_{v}={\frac {4\Phi _{v}}{\pi D^{2}}}$

Die Beleuchtungsstärke und die spezifische Lichtausstrahlung stellen also eine Lichtstromdichte dar und haben die Maßeinheit Lumen pro Quadratmeter, was meist mit der Maßeinheit Lux (lateinisch: Licht, abgekürzt: lx) abgekürzt wird.

Die Beleuchtungsstärke kann unmittelbar mit einem Messgerät mit definierter Messfläche, einem sogenannten Luxmeter, ermittelt werden.

Bestrahlungsstärke

Die Bestrahlungsstärke $E_{e}$ ist das photometrische Äquivalent der visuellen Beleuchtungsstärke $E_{v}$ für das gesamte elektromagnetische Spektrum. Im Gegensatz zur Beleuchtungsstärke als eine Lichtstromdichte mit der Maßeinheit Lumen pro Quadratmeter hat die Bestrahlungsstärke als eine Strahlungsstromdichte die Maßeinheit Watt pro Quadratmeter. Sie ist wie folgt definiert:

$E_{e}={\frac {\Phi _{e}}{A_{P}}}={\frac {4\Phi _{e}}{\pi d^{2}}}$

Die Bestrahlungsleistung $\Phi _{e}$ innerhalb einer definierten Messfläche $A_{P}$ kann mit unmittelbar einem sogenannten Powermeter (Leistungsmessgerät) ermittelt werden. Aus dem Verhältnis von gemessener Leistung und Messfläche ergibt sich dann rechnerisch die Bestrahlungsstärke.

Entsprechend ergibt sich für die spezifische Ausstrahlung $M_{e}$ einer Strahlungsquelle mit der Strahlungsleistung $\Phi _{e}$ und der emittierenden Fläche $A_{E}$ die folgende Beziehung:

$M_{e}={\frac {\Phi _{e}}{A_{E}}}={\frac {4\Phi _{e}}{\pi D^{2}}}$

Raumwinkel

Der Raumwinkel $\Omega$ (Maßeinheit Steradiant, abgekürzt: sr, Kunstwort aus griechisch στερεό für Körper und lateinisch radiant für sie strahlen) ist ein Maß für die Ausdehnung eines flächenhaften Objektes in Winkelkoordinaten.

In der Astronomie wird der Raumwinkel häufig in der Maßeinheit Quadratgrad (abgekürzt: deg²) angegeben:

$1\ \mathrm {deg} ^{2}=\left({\frac {2\pi }{360}}\right)^{2}\mathrm {sr}$

Raumwinkel eines Kreiskegels

Darstellung des Zusammenhangs zwischen dem Raumwinkel Ω im Mittelpunkt einer Kugel, der Mantelfläche A eines Kugelsegments auf der Kugeloberfläche und dem Radius r der Kugel.

Der kanonische Raumwinkel eines geraden Kreiskegels $\Omega$ kann leicht aus dem Öffnungswinkel $\omega$ oder aus dem Verhältnis der bestrahlten oder strahlenden, kreisrunden Mantelfläche eines Kugelsegments $A$ zu ihrem Quadratradius $r^{2}$ berechnet werden:

$\Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\omega }{2}}\right)=4\pi \sin ^{2}{\frac {\omega }{4}}={\frac {A}{r^{2}}}$

Siehe hierzu auch: Öffnungswinkel

Emittiert eine Lichtquelle in den gesamten Raumwinkel oder wird ein Punkt aus dem gesamten Raumwinkel beleuchtet (der Öffnungswinkel beträgt dann 360° beziehungsweise $2\pi \,{\text{rad}}$), dann ist der Wert des Raumwinkels $\Omega _{max}$ maximal, nämlich:

$\Omega _{\text{max}}=4\pi \,{\text{sr}}\approx 12{,}566\,{\text{sr}}$

Die Radien der Kugelsegmente $r_{e}$ und $r_{p}$ können hierbei wie folgt aus dem Durchmesser der emittierenden Fläche $d_{e}$ beziehungsweise aus dem Durchmesser der projizierten Fläche $d_{p}$ und dem Abstand zwischen der ebenen Grundfläche und Scheitelpunkt des Kugelsegments $s$ bestimmt werden:

$r_{e}={\sqrt {{\frac {d_{e}^{2}}{4}}+s^{2}}}$

beziehungsweise

$r_{p}={\sqrt {{\frac {d_{p}^{2}}{4}}+s^{2}}}$

Die Mantelflächen der dazugehörigen Kugelsegmente $A_{e}$ und $A_{p}$ ergeben sich dann zu:

$A_{e}=\pi \left({\frac {d_{e}^{2}}{4}}+(r_{e}-s)^{2}\right)$

beziehungsweise

$A_{p}=\pi \left({\frac {d_{p}^{2}}{4}}+(r_{p}-s)^{2}\right)$

Raumwinkel einer rechteckigen Pyramide

Zum Raumwinkel einer Pyramide

Falls der Raumwinkel senkrecht zur optischen Achse nicht kreisrund, sondern rechteckig begrenzt ist, kann er mit den Pyramidengrundseiten $w_{x}$ und $w_{y}$ sowie der Pyramidenhöhe $h$ berechnet werden:

$\Omega =4\arctan {\frac {w_{x}\cdot w_{y}}{2h\cdot {\sqrt {4h^{2}+w_{x}^{2}+w_{y}^{2}}}}}$

Alternativ können auch die beiden senkrecht aufeinander stehenden Öffnungswinkel $\omega _{x}=2\varphi _{x}$ und $\omega _{y}=2\varphi _{y}$ verwendet werden, um den Raumwinkel zu berechnen:

$\Omega =4\arcsin \left(\sin \varphi _{x}\cdot \sin \varphi _{y}\right)$

Lichtstärke

Soll die Emission von einer punktförmigen Lichtquelle oder die Beleuchtung eines Punktes beschrieben werden, wird in der Photometrie der Lichtstrom auf den Raumwinkel $\Omega$ des Punktes der Lichtemission beziehungsweise des Punktes des Lichteinfalls bezogen, so dass die Lichtstärke $I_{v}$ mit der Maßeinheit Lumen pro Steradiant resultiert, die in der Regel durch die Maßeinheit Candela (lateinisch: Kerze, abgekürzt: cd) ausgedrückt wird:

$I_{v}={\frac {\Phi _{v}}{\Omega }}$

Eine herkömmliche Haushaltskerze emittiert praktisch fast in den gesamten Raumwinkel $\Omega _{max}$ und hat eine Lichtstärke von zirka einem Candela. Der Lichtstrom $\Phi _{Kerze}$ einer solchen Kerze beträgt somit:

$\Phi _{Kerze}=I_{v}\cdot {\Omega _{max}}=1\,{\text{cd}}\cdot 4\pi \,{\text{sr}}=4\pi \,{\text{lm}}$

Leuchtdichte

Soll die Emission von einer flächenhaften Lichtquelle mit der Fläche $A_{E}$ in den Raumwinkel $\Omega$ oder die Beleuchtung einer Fläche $A_{P}$ aus dem Raumwinkel $\Omega$ beschrieben werden, wird in der Photometrie die Leuchtdichte $L_{v}$ verwendet, die gemeinhin als Helligkeit interpretiert wird. Bei senkrechter Beobachtung der zu untersuchenden Fläche ergibt sich die Leuchtdichte mit der Maßeinheit Candela pro Quadratmeter beziehungsweise Lux pro Steradiant oder im englischsprachigen Raum auch abgekürzt mit Nit (vom lateinischen Verb "nitere", zu Deutsch "leuchten").

Für emittierende Flächen gilt:

$L_{v}={\frac {\Phi _{v}}{A_{E}\cdot \Omega }}={\frac {I_{v}}{A_{E}}}={\frac {M_{v}}{\Omega }}$

Und für beleuchtete Flächen entsprechend:

$L_{v}={\frac {\Phi _{v}}{A_{P}\cdot \Omega }}={\frac {I_{v}}{A_{P}}}={\frac {E_{v}}{\Omega }}$

Bei konstantem Lichtstrom innerhalb einer optischen Abbildung nimmt die Lichtstärke mit steigendem Abbildungsmaßstab zu, wohingegen die Beleuchtungsstärke mit steigendem Abbildungsmaßstab abnimmt. Siehe auch Abbildungsmaßstab.

Die Leuchtdichte ändert sich durch eine geometrischen Abbildung jedoch nicht, sie wird in der Regel jedoch durch die Absorption oder Zerstreuung in den dafür erforderlichen optischen Komponenten etwas vermindert. Die Invarianz der Leuchtdichte bei optischen Abbildungen wird mit Hilfe der folgenden Skizze deutlich:

Zur Invarianz der Leuchtdichte bei einer optischen Abbildung eines in den Raumwinkel $\Omega$ leuchtenden Objekts mit der Fläche $y^{2}$ in der Objektweite $a$ (Emitter, links) über eine kreisförmige Querschnittsfläche mit dem Durchmesser $D$ in einen Raumwinkel mit einem Bild der Fläche $y'^{2}$ in der Bildweite $a'$ (Projektion, rechts).

Die Flächen von Emitter $A_{E}$ (links) und Projektion P $A_{P}$ (rechts) ergeben sich aus ihren quadratischen Flächen, die durch die Objektgröße $y$ und die Bildgröße $y'$ bestimmt sind:

$A_{E}=y^{2}$

$A_{P}=y'^{2}$

Die kreisförmige Querschnittsfläche $A$ in der Hauptebene der optischen Abbildung (blau) ergibt sich aus deren Durchmesser $D$:

$A=\pi \,{\frac {D^{2}}{4}}$

Damit können unter Berücksichtigung der Objektweite $a$ und der Bildweite $a'$ die beiden entsprechenden Raumwinkel bestimmt werden:

$\Omega ={\frac {A}{a^{2}}}$

$\Omega '={\frac {A}{a'^{2}}}$

Die Leuchtdichten des Emitters $L_{E}$ und in der Projektion $L_{P}$ lauten:

$L_{E}={\frac {\Phi _{v}}{y^{2}\,\Omega }}={\frac {\Phi _{v}\,a^{2}}{y^{2}\,A}}$

$L_{P}={\frac {\Phi _{v}}{y'^{2}\,\Omega '}}={\frac {\Phi _{v}\,a'^{2}}{y'^{2}\,A}}$

Der Lichtstrom $\Phi _{v}$ bleibt erhalten, wenn bei der optischen Abbildung kein Licht absorbiert wird.

Sowohl die Bildweite $a'$ als auch die Bildgröße $y'$ können durch den Abbildungsmaßstab $\beta$ ausgedrückt werden, wenn dieser auf die Objektweite $a$ und die Objektgröße $y$ angewendet wird:

$a'=\beta \,a$

$y'=\beta \,y$

Eingesetzt für die Leuchtdichte in der Projektionsebene $L_{P}$ ergibt sich schließlich:

$L_{P}={\frac {\Phi _{v}\,\beta ^{2}\,a^{2}}{\beta ^{2}\,y^{2}A}}={\frac {\Phi _{v}\,a^{2}}{y^{2}A}}=L_{E}$

Die Leuchtdichte in der Projektionsebene $L_{P}$ ist also mit der Leuchtdichte des abgebildeten Objekts $L_{E}$ identisch, und insbesondere ist die Leuchtdichte in der Projektionsebene unabhängig vom Abbildungsmaßstab $\beta$.

Aus der Beziehung zwischen zwei verschiedenen Leuchtdichten kann ein Kontrastwert bestimmt werden. Siehe auch Modulation.

Geometrischer Fluss

Das Verhältnis aus Lichtstrom $\Phi _{v}$ und Leuchtdichte $L_{v}$ wird manchmal auch als geometrischer Fluss $G$ oder als Lichtleitwert bezeichnet:

$G={\frac {\Phi _{v}}{L_{v}}}=A\cdot \Omega$

Abstandsgesetz

Das Verhältnis einer zusammenhängenden Teilfläche $A$ der Kugeloberfläche zum Quadrat des Kugelradius $R$ entspricht dem Raumwinkel $\Omega$ dieser Teilfläche, der von Mittelpunkt dieser Kugel umfasst wird, in der Maßeinheit Streradiant:

$\Omega ={\frac {A}{R^{2}}}$ beziehungsweise $A=\Omega \cdot R^{2}$

Die Oberfläche einer Kugel $A_{\text{Kugel}}$ ergibt sich aus:

$A_{\text{Kugel}}=4\pi R^{2}$

Daraus folgt unmittelbar, dass die gesamte Kugel von ihrem Mittelpunkt aus gesehen den vollen Raumwinkel $\Omega _{max}$ von $4\pi$ Steradiant umfasst.

• Zum Abstandsgesetz
• 
  Zwei Kugeln mit dem Verhältnis der Radien $2\,R:R$.
• 
  Zwei Kugelausschnitte unter dem Raumwinkel $\Omega$ mit dem Verhältnis der Radien $2\,R:R$ und dem Verhältnis der Oberflächen $4\,A:A$.

Wird eine beliebige Teilfläche $A$ auf einer Kugel mit dem Radius $R$ mit radialen Strahlen auf eine konzentrische Kugel mit doppeltem Radius $2\,R$ projiziert, ergibt sich, dass der Raumwinkel $\Omega$ erhalten bleibt, die projizierte Teilfläche auf der Kugel mit dem doppelten Radius jedoch vier Mal so groß ist wie die Teilfläche auf der Kugel mit dem einfachen Radius $R$.

Photometrische Größen, die sich geometrisch ausschließlich auf den Raumwinkel beziehen, sind für solche Teilflächen invariant, wie zum Beispiel die Lichtstärke $I_{v}$:

$I_{v}={\frac {\Phi _{v}}{\Omega }}=const.$

Diejenigen photometrischen Größen, die sich bei konstantem Raumwinkel $\Omega$ jedoch auf eine vom Radius $R$ abhängige Fläche

$A(R)=\Omega \cdot R^{2}$

beziehen, wie zum Beispiel die Beleuchtungsstärke $E_{v}(R)$, verhalten sich bei verändertem Abstand von der Lichtquelle (und bei somit verändertem Radius) umgekehrt proportional zu den Teilflächen auf den jeweiligen Kugeloberflächen und gleichzeitig umgekehrt proportional zu den Quadraten der dazugehörigen Kugelradien. Dieser Sachverhalt wird durch das Abstandsgesetz beschrieben:

$E_{v}(R)={\frac {\Phi _{v}}{A(R)}}={\frac {\Phi _{v}}{\Omega \cdot R^{2}}}={\frac {I_{v}}{R^{2}}}$

Belichtung

Die Belichtung $H_{v}$ ist ein Maß für die Beleuchtungsstärke $E_{v}$ während der Belichtungszeit $t$. Im allgemeinen Fall mit zwischen den Zeitpunkten $0$ und $t$ variierender Beleuchtungsstärke ergibt sich das folgende Integral:

$H_{v}=\int _{0}^{t}E_{v}(\tau )\,\mathrm {d} \tau$

Die Maßeinheit der Belichtung ist demzufolge die Luxsekunde (abgekürzt: lx s).

Wenn die Beleuchtungsstärke zeitlich konstant ist, also

$E_{v}(\tau )=E_{v}={\text{const.}}$,

dann vereinfacht sich die Berechnung der Belichtung wie folgt:

$H_{v}=E_{v}\cdot t$

Die Anzahl der Photonen $Q_{\lambda }$ mit einer bestimmten Wellenlänge $\lambda$, die während der Belichtung $H_{v}$ auf die Fläche $A_{P}$ fallen, ergibt sich dann wie folgt:

$Q_{\lambda }={\frac {H_{v}\cdot A_{P}\cdot \lambda }{K(\lambda )\cdot h\cdot c}}$

Beim Tagsehen kann bei einer Wellenlänge $\lambda$ von 555 Nanometern zum Beispiel $K(\lambda )=K_{m}\cdot V(\lambda )=K_{m}\cdot V(555{\text{ nm}})=K_{m}=683\,{\frac {\text{lm}}{\text{W}}}$ gewählt werden, so dass sich ergibt:

$Q_{\lambda }\approx 7{,}37\cdot 10^{21}{\frac {1}{{\text{lx s m}}^{3}}}\cdot H_{v}\cdot A_{P}\cdot \lambda =7{,}37\cdot 10^{21}{\frac {1}{\text{lm s m}}}\cdot \Phi _{v}\cdot t\cdot \lambda$

Beim Nachtsehen liegt das Empfindlichkeitsmaximum des menschlichen Auges bei einer Wellenlänge $\lambda$ von 507 Nanometern, so dass sich $K(\lambda )=K'_{m}\cdot V'(\lambda )=K'_{m}\cdot V'(507{\text{ nm}})=K'_{m}=1699\,{\frac {\text{lm}}{\text{W}}}$ ergibt:

$Q_{\lambda }'\approx 2{,}96\cdot 10^{21}{\frac {1}{{\text{lx s m}}^{3}}}\cdot H_{v}\cdot A_{P}\cdot \lambda =2{,}96\cdot 10^{21}{\frac {1}{\text{lm s m}}}\cdot \Phi _{v}'\cdot t\cdot \lambda$

Belichtungswert

Im Zusammenhang mit der Photographie wird die Leuchtdichte $L_{v}$ oft in einen einheitenlosen Belichtungswert $B$ (nach DIN 19017) oder $EV$ (englisch: exposure value) umgerechnet. Mit dem Belichtungswert als Exponent der Basis 2 kann die Leuchtdichte auf eine Referenzleuchtdichte $L_{v_{0}}$ bezogen werden:

$L_{v}=L_{v_{0}}\cdot {2^{EV}}$

Die Referenzleuchtdichte ergibt sich aus einer empirisch zu ermittelnden Konstante $c_{r}$, die je nach Messverfahren beziehungsweise Vorzugswerten zwischen 10,6 und 16,9 (oft 12,5 oder 14,0, nach DIN 19017 13,3 bis 16,9) Candelasekunden pro Quadratmeter liegt:

$10{,}6{\frac {\text{cd s}}{\text{m²}}}\leq c_{r}\leq 16{,}9{\frac {\text{cd s}}{\text{m²}}}$

Sie bezieht sich heute auf eine Belichtungszeit $t_{0}$ von einhundert Sekunden (früher eine Sekunde):

$L_{v_{0}}={\frac {c_{r}}{t_{0}}}$

mit

$t_{0}=100\,{\text{s}}$

Somit beträgt die entsprechende Referenzleuchtdichte je nach Messverfahren:

$0{,}106{\frac {\text{cd}}{\text{m²}}}\leq L_{v_{0}}\leq 0{,}169{\frac {\text{cd}}{\text{m²}}}$

Die Leuchtdichte $L_{v}$ kann auch mit der am Objektiv einer Kamera gegebenen beziehungsweise eingestellten Blendenzahl $k$ (siehe auch Abschnitt Blendenzahl) und der Belichtungszeit $t$ bestimmt werden:

$L_{v}={\frac {c_{r}\cdot k^{2}}{S_{i}\cdot t}}$

$S_{i}$ steht hierbei für den maßeinheitenlosen Belichtungsindex (englisch: exposure index, E.I.), der typischerweise mit den ISO-Hauptwerten …, 50, 100, 200, 400, … oder auch Zwischenwerten angegeben wird und der auf eine verwendete Filmempfindlichkeit beziehungsweise eine äquivalente Bildsensorempfindlichkeit abgestimmt werden kann. Der Belichtungsindex ist umgekehrt proportional zur Belichtung $H_{v}$ und ist unabhängig von den Eigenschaften des verwendeten Films oder Bildsensors. Als Bezugswert für die Belichtung $H_{0}$ wird nach ISO 2721 ein Wert von 10 Luxsekunden angenommen:

$S_{i}={\frac {H_{0}}{H_{v}}}={\frac {10\,{\text{lx s}}}{H_{v}}}={\frac {10\,{\text{lx s}}}{E_{v}\cdot t}}$

Die Leuchtdichte $L_{v}$ kann daher auch wie folgt zeitunabhängig über die oben definierte Beleuchtungsstärke $E_{v}$ (trotz des ähnlichen Formelzeichens nicht zu verwechseln mit dem einheitenlosen Lichtwert des APEX-Systems $Ev$ oder dem einheitenlosen Belichtungswert $EV$) berechnet werden:

$L_{v}={\frac {E_{v}\cdot c_{r}\cdot k^{2}}{10\,{\text{lx s}}}}$

Ferner können natürlich auch die erforderliche Belichtungszeit t oder die erforderliche Blendenzahl k ermittelt werden, wenn alle anderen Parameter bekannt sind:

$k={\sqrt {\frac {L_{v}\cdot S_{i}\cdot t}{c_{r}}}}$

$t={\frac {c_{r}\cdot k^{2}}{L_{v}\cdot S_{i}}}$

Der Belichtungswert $EV$ kann wie folgt aus der ermittelten Leuchtdichte $L_{v}$ oder bei maximal ausgenutzter Leuchtdichte aus den Aufnahmeparametern berechnet werden:

$EV=\log _{2}{\frac {L_{v}}{L_{v_{0}}}}=\log _{2}{\frac {t_{0}\cdot k^{2}}{{t}\cdot S_{i}}}=\log _{2}{\frac {10\cdot E_{v}\cdot k^{2}}{1\,{\text{lx}}}}$

Und entsprechend:

$k={\sqrt {\frac {2^{EV}\cdot t\cdot S_{i}}{t_{0}}}}\rightarrow {\frac {E_{v}\cdot t\cdot S_{i}}{H_{0}}}=1$

$t={\frac {t_{0}\cdot k^{2}}{2^{EV}\cdot S_{i}}}={\frac {H_{0}}{E_{v}\cdot S_{i}}}$

$S_{i}={\frac {t_{0}\cdot k^{2}}{t\cdot 2^{EV}}}={\frac {H_{0}}{E_{v}\cdot t}}$

• Extreme Belichtungswerte
• 
  Aufnahme der Sonnenscheibe mit einigen kleinen Sonnenflecken mit einem Neutraldichtefilter mit einem Promille Transmission bei einer Blendenzahl 8, einem Belichtungsindex von ISO 200 und einer Belichtungszeit von 1/32000 Sekunde (der Belichtungswert der Sonnenscheibe betrug 30 EV).
• 
  Aufnahme der Milchstraße mit einem Fischaugenobjektiv bei einer Blendenzahl 2,8, einem Belichtungsindex von ISO 6400 und einer Belichtungszeit von 40 Sekunden (der Belichtungswert der Himmelssphäre betrug unter -8 EV).

APEX-System

Die einheitenlosen Leitwerte des APEX-Systems sind wie folgt definiert (vergleiche hierzu auch die ehemalige Norm DIN 19017, die ISO 2720 sowie das APEX-System (Additive System of Photographic Exposure)):

Der Blendenleitwert (englisch: aperture value):

$Av=\log _{2}{k^{2}}$

Der Zeitleitwert (englisch: time value) wird auf eine Sekunde bezogen:

$Tv=\log _{2}{\frac {1\,{\text{s}}}{t}}$

Der Lichtwert (englisch: exposure value, nicht zu verwechseln mit Beleuchtungsstärke $E_{v}$ oder dem Belichtungswert $EV$):

$Ev=\log _{2}{\frac {k^{2}\cdot 1\,{\text{s}}}{t}}=Av+Tv=EV-\log _{2}{\frac {t_{0}}{S_{i}\cdot 1\,{\text{s}}}}=EV-\log _{2}{\frac {H_{v}}{{\frac {1}{10}}{\text{lx s}}}}=EV-\log _{2}{\frac {E_{v}\cdot {t}}{{\frac {1}{10}}{\text{lx s}}}}$

Der Empfindlichkeitsleitwert (englisch: sensitivity value):

$Sv=\log _{2}2^{-{\frac {7}{4}}}\cdot S_{i}=-1{,}75+\log _{2}{S_{i}}$

Der Helligkeitsleitwert $Bv$ (englisch: brightness value, umgangssprachlich auch "Helligkeitswert"):

$Bv=Ev-Sv=Av+Tv-Sv=EV-\log _{2}-{\frac {t_{0}}{S_{i}\cdot 1\,{\text{s}}}}+1{,}75-\log _{2}S_{i}=EV+1{,}75-\log _{2}{100}\approx EV-4{,}89$

Und entsprechend:

$Av=Ev-Tv=Bv+Sv-Tv$

$Tv=Ev-Av=Bv+Sv-Av$

$Sv=Ev-Bv=Av+Tv-Bv$

Beziehungsweise:

$E_{v}={\frac {{\frac {1}{10}}\,{\text{lx s}}}{t}}2^{EV-Ev}$

$EV=Bv-1{,}75+\log _{2}{100}\approx Bv+4{,}89$

Astronomie

Wenn ein Stern den Lichtstrom $\Phi _{S}$ erzeugt, wird dessen Licht in der Regel in den gesamten Raum emittiert. Die Lichtstärke des Sterns $I_{S}$ ergibt sich somit zu:

$I_{S}={\frac {\Phi _{S}}{4\pi {\text{ sr}}}}$

Wird der Stern mit einem Teleskop der Öffnungsweite $D$ beobachtet, dann tritt nur ein winziger Bruchteil der Strahlung in das Teleskop mit der Querschnittsfläche $A_{T}$:

$A_{T}=\pi {\frac {D^{2}}{4}}$

Der sehr kleine objektseitige Raumwinkel $\Omega _{T,o}$, den ein solches Teleskop vom Stern erfasst, der sich in der Entfernung $s$ befindet, ergibt sich zu:

$\Omega _{T,o}={\frac {A_{T}}{s^{2}}}$

Der Anteil des Lichtstroms $\Phi _{T}$, der vom als punktförmig angenommenen Stern in das Teleskop eintritt, ergibt sich dann folgendermaßen:

$\Phi _{T}=\Phi _{S}\cdot {\frac {\Omega _{T,o}}{4\pi {\text{ sr}}}}=I_{S}\cdot \Omega _{T,o}=I_{S}\cdot {\frac {A_{T}}{s^{2}}}={\frac {\Phi _{S}}{4\pi {\text{ sr}}}}\cdot {\frac {\pi {\frac {D^{2}}{4}}}{s^{2}}}={\frac {\Phi _{S}\cdot D^{2}}{16\cdot s^{2}}}$

Der bildseitig erfasste Raumwinkel $\Omega _{T,b}$ ergibt sich aus der Brennweite des Teleskops $f$ beziehungsweise der Blendenzahl $k$, da ein Stern wegen seiner sehr großen Entfernung in die Brennebene abgebildet wird:

$\Omega _{T,b}={\frac {A_{T}}{f^{2}}}={\frac {\pi \,D^{2}}{4\,f^{2}}}={\frac {\pi }{4\,k^{2}}}$

Somit ist die Lichtstärke $I_{T}$ im Brennpunkt des Teleskops:

$I_{T}={\frac {\Phi _{T}}{\Omega _{T.b}}}={\frac {I_{S}\cdot {\frac {A_{T}}{s^{2}}}}{\frac {A_{T}}{f^{2}}}}=I_{S}\left({\frac {f}{s}}\right)^{2}$

Aus dem Lichtstrom $\Phi _{T}$ im Teleskop kann dann mit dem bildseitig erfassten Raumwinkel $\Omega _{T,b}$ die Leuchtdichte $L_{v}$ des Sterns in einem Flächenelement $A_{b}$ der Bildebene des Teleskops berechnet werden:

$L_{v}={\frac {I_{T}}{A_{b}}}={\frac {\Phi _{T}}{\Omega _{T,b}\cdot A_{b}}}={\frac {\Phi _{T}\cdot f^{2}}{A_{T}\cdot A_{b}}}={\frac {\Phi _{T}\cdot f^{2}}{\pi {\frac {D^{2}}{4}}\cdot A_{b}}}={\frac {4\,\Phi _{T}\cdot k^{2}}{\pi \cdot A_{b}}}$

In der Bildebene verteilt sich das Licht des Sterns fast vollständig auf das Beugungsscheibchen mit dem Durchmesser $d_{B}$ und der Fläche $A_{B}$:

$d_{B}=2{,}44\cdot k\cdot \lambda$

$A_{b}=A_{B}=\pi {\frac {d_{B}^{2}}{4}}={\frac {\pi \cdot 2{,}44^{2}\cdot k^{2}\cdot \lambda ^{2}}{4}}$

Somit ergibt sich für die durch den Stern verursachte Leuchtdichte $L_{v}$ des Sterns:

$L_{v}={\frac {4\,\Phi _{T}\cdot k^{2}}{\pi \cdot {\frac {\pi \cdot 2{,}44^{2}\cdot k^{2}\cdot \lambda ^{2}}{4}}}}={\frac {16\,\Phi _{T}}{\pi ^{2}\cdot 2{,}44^{2}\cdot \lambda ^{2}}}={\frac {16\,{\frac {\Phi _{S}\cdot D^{2}}{16\cdot s^{2}}}}{\pi ^{2}\cdot 2{,}44^{2}\cdot \lambda ^{2}}}={\frac {\Phi _{S}\cdot D^{2}}{\pi ^{2}\cdot 2{,}44^{2}\cdot \lambda ^{2}\cdot s^{2}}}$

Die Leuchtdichte hängt also nur vom im Teleskop erfassten Lichtstrom $\Phi _{T}$ der beobachteten Sterne ab, welcher proportional zur Fläche der Apertur des Objektivs ist.

Für die visuelle Beleuchtungsstärke $E_{v}$ in der Bildebene gilt entsprechend:

$E_{v}=L_{v}\cdot \Omega _{T,b}={\frac {\Phi _{T}}{A_{B}}}={\frac {\frac {\Phi _{S}\cdot D^{2}}{16\cdot s^{2}}}{\frac {\pi \cdot 2{,}44^{2}\cdot k^{2}\cdot \lambda ^{2}}{4}}}={\frac {\Phi _{S}\cdot D^{2}}{4\pi {\text{ sr}}\cdot s^{2}\cdot 2{,}44^{2}\cdot k^{2}\cdot \lambda ^{2}}}={\frac {\Phi _{S}\cdot D^{4}}{4\pi {\text{ sr}}\cdot s^{2}\cdot 2{,}44^{2}\cdot f^{2}\cdot \lambda ^{2}}}={\frac {I_{S}\cdot D^{4}}{s^{2}\cdot 2{,}44^{2}\cdot f^{2}\cdot \lambda ^{2}}}$

Je kürzer die Brennweite $f$ und je größer die Öffnungsweite $D$ sind, desto größer ist also die Beleuchtungsstärke $E_{v}$ im Beugungsscheibchen des Brennpunkts:

$E_{v}\propto \left({\frac {D^{2}}{f}}\right)^{2}=\left({\frac {D}{k}}\right)^{2}$

Scheinbare Helligkeit

In der Astronomie wird die Beleuchtungsstärke in der Regel als die scheinbare (visuelle) Helligkeit $m_{v}$ mit der Maßeinheit "Magnitude" (Größenklasse, abgekürzt mit "mag" oder mit einem hochgestellten "m") angegeben.

Ein astronomisches Objekt in Richtung der optischen Achse mit der scheinbaren visuellen Helligkeit $m_{v}$ bewirkt in der senkrecht dazu stehenden Bildebene in der Bildmitte die Beleuchtungsstärke:

$E_{v}=10^{-0{,}4\left({\frac {m_{v}}{1{\text{ mag}}}}+14{,}2\right)}{\text{ lx}}$

Anhand der Basis $b$ wird deutlich, dass sie die Beleuchtungsstärke verhundertfacht, wenn die scheinbare Helligkeit um fünf Magnituden abnimmt:

$b=10^{-0{,}4}=10^{-{\frac {2}{5}}}=100^{-{\frac {1}{5}}}={\sqrt[{-5}]{100}}={\frac {1}{\sqrt[{5}]{100}}}\approx 0{,}3981$

Damit glit dann:

$E_{v}=b^{\left({\frac {m_{v}}{1{\text{ mag}}}}+14{,}2\right)}{\text{ lx}}=b^{\frac {m_{v}}{1{\text{ mag}}}}\cdot b^{14{,}2}{\text{ lx}}=10^{-{\frac {2\cdot m_{v}}{5{\text{ mag}}}}}\cdot 10^{-{\frac {142}{25}}}{\text{ lx}}\approx 2\cdot 10^{-{\frac {2\cdot m_{v}}{5{\text{ mag}}}}}{\text{ µlx}}$

Kleine scheinbare Helligkeiten verursachen also eine größere Beleuchtungsstärke als große scheinbare Helligkeiten. Besonders helle Objekte wie die Sonne, der Mond, der Planet Venus oder der hellste Stern des Nachthimmels, Sirius, erreichen sogar negative scheinbare Helligkeiten.

Umgekehrt kann auch die scheinbare visuelle Helligkeit aus der Beleuchtungsstärke berechnet werden:

$m_{v}={\frac {-\log _{10}{\left({\frac {E_{v}}{1{\text{ lx}}}}\right)}}{0{,}4}}{\text{ mag}}-14{,}2{\text{ mag}}\approx {\frac {-5\cdot \log _{10}{\frac {E_{v}}{2{\text{ µlx}}}}}{2}}{\text{ mag}}$

Beleuchtungsstrahlengänge

Ein Objekt (Gegenstand) muss beleuchtet werden, damit er mit einem Objektiv abgebildet werden kann. Der entsprechende Strahlengang mit einem Leuchtmittel (gegebenenfalls einem Reflektor zur Ausnutzung des rückwärtig abgestrahlten Lichts) und meist auch einem Kondensor zur Bündelung der beleuchtenden Strahlen heißt Beleuchtungsstrahlengang. Im Gegensatz dazu wird bei der Abbildung des Objekts mit einem Objektiv vom Abbildungsstrahlengang gesprochen. Die beiden Strahlengänge können, wie zum Beispiel bei Projektoren üblich, verkettet werden (siehe auch Kapitel Projektoren).

Kondensor

Prinzip eines Kondensors: die Lichtquelle befindet sich im Brennpunkt des Kollektors F_koll im Abstand f_koll von der Hauptebene H_koll, der Wärmefilter W absorbiert die Wärmestrahlung der Lichtquelle und wird durch den kühlenden Luftstrom von oben (blau) nach unten (rot) gekühlt, und das Kondensorelement mit der Hauptebene H_kond bündelt den Beleuchtungsstrahlengang in den Abbildungsstrahlengang rechts vom Kondensor.

In Beleuchtungsstrahlengängen können einfache Kollektoren eingesetzt werden, um wie mit einem optisch korrigierten Kollimator eine punktförmige Lichtquelle ins Unendliche abzubilden. Ein nachfolgender lichtsammelnder Kondensor kann im sich anschließenden konvergenten Strahlengang ein Objekt beleuchten und in der Hauptebene des Abbildungsstrahlengangs ein Bild der Lichtquelle erzeugen. Das zu beleuchtenden Objekt wird in der Regel dicht hinter die Kondensorlinse gebracht.

Die optische Güte solcher Kollektoren und Kondensoren muss in der Regel nicht übermäßig groß sein, so dass diese relativ kostengünstig hergestellt werden können, wie zum Beispiel mit plankonvexen Linsen. Oft werden zwei solche plankonvexe Linsen verwendet, deren ebene Flächen nach außen gewandt sind, also mit den Scheitelpunkten der konvexen Flächen in der Mitte einander zugewandt. Zur Optimierung des Kondensors wird für den Kollektor häufig eine asphärische Linse verwendet.

Zwischen der Kollektor- und der Kondensorlinse befindet sich bei Lichtquellen, die auch im infraroten Wellenlängenbereich emittieren, zur Vermeidung von Wärme im nachfolgenden Abbildungsstrahlengang und im zu beleuchtenden Objekt häufig noch eine planparallele Platte mit wärmestrahlungsabsorbierenden Eigenschaften, die durch einen quer zur optischen Achse verlaufenden Luftstrom gekühlt werden kann, oder eine Küvette mit einer entsprechenden Flüssigkeit, die zum Beispiel in einem Kühlkreislauf kontinuierlich ausgetauscht wird.

• Kondensor
• 
  Schematische Darstellung des Beleuchtungssystems eines Diaprojektors (von links nach rechts):
  Sphärischer Hohlspiegel, Leuchtmittel, sphärische Kollektorlinse, Wärmefilter, Kondensorlinse.
• 
  Doppelkondensor eines Diaprojektors mit asphärischer Kollektorlinse und sphärischer Kondensorlinse (von links nach rechts):
  Sphärischer Hohlspiegel, Leuchtmittel (Halogenlampe mit Glühwendel), asphärische Kollektorlinse, Wärmefilter, Kondensorlinse, Aufnahme für Diapositiv.

Durchlicht

Beleuchtung durch Transmission

Der verkettete Strahlengang kann zur Beleuchtung und Bildaufnahme von durchsichtigen Objekten in Transmission eingesetzt werden, wie zum Beispiel bei der Hellfeldmikroskopie.

Auflicht

Beleuchtung durch Reflexion mit teildurchlässigem Spiegel

Helligkeit im Objektiv beziehungsweise im Bild des Objektes bei Beleuchtung mit teildurchlässigem Spiegel in Abhängigkeit vom Transmissionsgrad $t$ des Spiegels

Das Licht des Beleuchtungsstrahlengangs wird mit dem Transmissionsgrad $t$ des teildurchlässigen Spiegels hindurchgelassen und mit dem komplementären Wert $1-t$ auf das Objekt reflektiert. Das Licht des Objektstrahlengangs wird ebenfalls mit dem Transmissionsgrad $t$ des teildurchlässigen Spiegels hindurchgelassen, so dass für den verketteten Strahlengang insgesamt der folgende Transmissionsgrad $t_{\text{total}}$ resultiert:

$t_{\text{total}}(t)=(1-t)\cdot t=t-t^{2}$

Die maximale Helligkeit ergibt sich dann aus der folgenden Bedingung:

${\frac {dt_{\text{total}}(t)}{dt}}=1-2\cdot t=0$

Daraus folgt das Maximum bei $t={\frac {1}{2}}=0{,}5$, und für die maximale Transmission $t_{\text{total}}(t)$ im verketteten Strahlengang gilt dann:

$t_{\text{total}}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}={\frac {1}{4}}=0{,}25$

Bei der Auflichtmikroskopie wird das Objekt meist von mehreren Seiten außerhalb des Bildwinkels oder bei verketteten Strahlengängen mit Hilfe von teildurchlässigen Spiegeln beleuchtet, und die am aufzunehmenden Objekt reflektierten Strahlen tragen in diesem Fall zur Bildgebung bei. In der Photographie werden zur Beleuchtung häufig Scheinwerfer oder Blitzlichter eingesetzt. Für Nahaufnahmen gibt es Klammer- oder Ringblitzgeräte, die außerhalb des Bildfeldes aber dennoch nahe am aufnehmenden Objektiv angebracht werden können.

Streuung

Beleuchtung durch Diffusion (Streuung)

Anders verhält es sich bei seitlicher Beleuchtung, wenn keine hindurchgelassenen oder reflektierten Strahlen zur Abbildung beitragen, sondern das Streulicht des aufzunehmenden Objekts verwendet wird, wie zum Beispiel in der Dunkelfeldmikroskopie oder bei optischen Computermäusen, die die Arbeitsfläche beleuchten und das Bild des Streulichts der Arbeitsfläche auswerten. Je nachdem wie groß die Streuzentren im Verhältnis zur Wellenlänge des verwendeten Lichtes sind, ergeben sich verschiedene Möglichkeiten der Streuung, von denen die wichtigsten in der folgende Tabelle dargestellt sind:

Streuung von Licht

Art der Streuung	Anwendungsfall	Beschreibung
Raman-Streuung	Wellenlänge deutlich größer als das Streuobjekt	Streuung an Molekülen oder Atomen durch Wechselwirkung mit den Elektronenhüllen
Mie-Streuung	Wellenlänge in der Größenordnung des Streuobjektes	Komplexe Verteilung des gestreuten Lichtes
Lichtbrechung in Kugel	Wellenlänge deutlich kleiner als das Streuobjekt	Vorwärtsstreuung in der Regel stärker als Rückwärtsstreuung
Thomson-Streuung	Streuung an freien Elektronen	Elastische Stöße zwischen Photonen und Elektronen mit Verlängerung der Photonenwellenlänge

Bei der Raman-Streuung können drei Fälle unterschieden werden:

Raman-Streuung

Art der Streuung	Beschreibung
Rayleigh-Streuung	Wellenlänge, Kohärenz und Photonenenergie bleiben erhalten; Vorwärtsstreuung bei langwelligem Licht, Rückwärtsstreuung bei kurzwelligem Licht
Stokes-Streuung	Wellenlänge wird größer (Verschiebung nach rot); ein Teil der Photonenenergie wird an das Streuobjekt abgegeben
Anti-Stokes-Streuung	Wellenlänge wird kleiner (Verschiebung nach blau); die zusätzliche Photonenenergie wird vom Streuobjekt aufgenommen

Spektroskopie

Mit Spektroskopen kann Strahlung nach den Wellenlängen ihre spektralen Bestandteile zerlegt und betrachtet werden. Die dabei auftretenden Intensitätsverteilungen werden Spektren genannt. Mit Spektrometern können die Wellenlängen der Spektren quantitativ bestimmt und gemessen werden.

Optische Prismen zeigen eine wellenlängenabhängige Brechung (Diffraktion) des einfallenden Lichtes. Die verwendeten optischen Gläser haben in der Regel keine lineare Dispersion, so dass der Zusammengang zwischen Brechungswinkeln und Wellenlängen komplex ist. Dies erschwert die Quantifizierung der Ablenkwinkel bei vorgegebenen Wellenlängen. Prismen werden deswegen oft nur in Spektroskopen zur qualitativen Analyse eingesetzt.

Optische Gitter nutzen die wellenlängenabhängige Beugung (Diffraktion) des einfallenden Lichtes an den Gitterlinien aus und können sowohl in Transmission als auch in Reflexion eingesetzt werden.

• Beugung an einem Liniengitter
• 
  Bild eines Liniengitters.
• 
  Beugung am optischen Liniengitter bei einer einfallenden ebenen Welle mit der Intensität $I_{0}$. Die Gitterkonstante $g$ gibt den regelmäßigen Abstand zwischen den Gitterelementen an, der Ablenkwinkel $\varphi$ gilt für abgelenkten Strahlen mit der Intensität $I(\varphi )$, der Gangunterschied $d$ in Richtung einer Beugungsordnung ist ein ganzzahliges Vielfaches $n$ der Wellenlänge $\lambda$.

Für die Intensität $I_{max}(\varphi )$ der gebeugten Strahlen in Abhängigkeit vom Ablenkwinkel $\varphi$ ergeben sich Extremwerte, wenn sich die Intensität mit dem Winkel nicht ändert:

${\frac {dI_{max}(\varphi )}{d\varphi }}=0$

Dies ist genau dann der Fall, wenn die gebeugten Wellen in der Richtung des Ablenkwinkels $\varphi$ im Unendlichen destruktiv oder konstruktiv interferieren.

Bei den Maxima mit konstruktiver Interferenz muss die Phasenlage der an allen Gitterlinien gebeugten Strahlen muss dann ein ganzzahliges Vielfaches $n$ der Wellenlänge $\lambda$ sein:

Maxima im Beugungsbild: $d_{max,n}=n\cdot \lambda$ mit $n=0,1,2,\dots$

Das n-te Maximum entspricht hierbei der n-ten Beugungsordnung im Beugungsbild der Gitters.

Bei den Minima mit destruktiver Interferenz muss die Phasenlage der an allen Gitterlinien gebeugten Strahlen muss dann ein um eine halbe Wellenlänge verschobenes ganzzahliges Vielfaches $n$ der Wellenlänge $\lambda$ sein:

Minima im Beugungsbild: $d_{min,n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \lambda$ mit $n=0,1,2,\dots$

Bei Spektrometern mit optischen Gittern, die senkrecht zur Oberflächennormalen mit einer ebenen Welle bestrahlt werden, ist der Zusammenhang zwischen Beugungswinkel der ersten Beugungsordnung $\varphi _{1}$ und Wellenlänge $\lambda$ allein von der Gitterkonstante $g$ des Gitters, also vom Abstand der benachbarten Gitterlinien abhängig:

$d_{max,1}=\lambda =g\cdot \sin \varphi _{1}$

$\varphi _{1}=\arcsin {\frac {\lambda }{g}}$

Für eine beliebige Beugungsordnung $n$ gilt entsprechend:

$d_{max,n}=n\cdot \lambda =g\cdot \sin \varphi _{n}$

$\varphi _{n}=\arcsin {\frac {n\cdot \lambda }{g}}$

Bei der nullten Beugungsordnung ist der Ablenkwinkel für alle Wellenlängen gleich Null, und demzufolge tritt hier keine Dispersion auf.

Je mehr Linien des Gitters zur Beugung beitragen, desto ausgeprägter erscheinen die Maxima im Beugungsbild:

Interferenzmuster eines optischen Gitters für blaues und rotes Licht bei 2 bis 30 Gitterlinien.

Ausführungsbeispiele

• Historische Geräte zur Vermessung von Lichtspektren
• 
  Das Spektrometer von Joseph Fraunhofer (1787–1826) von 1814 zur Bestimmung des Brechungs- und Farbzerstreuungsvermögens verschiedener Glasarten stand auf einem Goniometer und verwendete ein optisches Prisma. Oben von links nach rechts: 60°-Dreiecksprisma, Objektiv, Okular.
• 
  Das Spektrometer von Anders Jonas Ångström (1814–1874) von 1868 stand auf einem Goniometer und verwendete ein Transmissionsgitter. Oben von links nach rechts: Spalt, Kollimator, Beugungsgitter, Objektiv, Okular.

Gewinnung des Wasserstoffemissionsspektrums mit einem optischen Dreiecksprisma: Die Lichtquelle auf der linken Seite mit zum leuchten angeregtem Wasserstoff wird über eine Sammellinse (Kondensor) in einen Spalt abgebildet. Der Spalt wird durch eine Kollimatorlinse nach Unendlich abgebildet, und diese Strahlen werden durch ein Dreiecksprisma geschickt. Dieses Prisma bricht das einfallende Licht je nach Wellenlänge in verschiedene Richtungen (Dispersion); rotes, langwelliges Licht wird schwächer gebrochen als violettes, kurzwelliges Licht. Mit einer weiteren Linse (Objektiv) werden die fünf sichtbaren Spektrallinien der Balmer-Serie auf einen Projektionsschirm (rechts unten) abgebildet, wo sie in der geometrischen Form des Spalts erkennbar werden. Je nach wellenlängenabhängigem Brechungsindex des optischen Glases, aus dem das Prisma besteht, ergeben sich für verschiedene Wellenlängen unterschiedliche Brechungswinkel.

Der sichtbare Bereich des Wasserstoffspektrums mit den Linien der Balmer-Serie. Die Wellenlängen des emittierten Lichtes werden von links (violett) nach rechts (rot) immer größer, die Frequenzen immer kleiner. Solche Lichtspektren können durch die wellenlängenabhängige Ablenkung von Licht, das aus einer Lichtquelle stammt, an einem optischen Prisma oder einem optischen Gitter gewonnen werden (siehe die beiden Bilder oben).

Gewinnung des Emissionsspektrums mit einem Transmissionsgitter: Die Lichtquelle auf der linken Seite wird über einen Sammellinse (Kondensor) in einen Spalt abgebildet. Der Spalt wird durch eine Kollimatorlinse nach Unendlich abgebildet, und diese Strahlen werden durch ein Transmissionsgitter geschickt. Dieses Transmissionsgitter beugt das einfallende Licht je nach Wellenlänge in verschiedene Richtungen (Diffraktion), wobei nur die erste und die zweite Beugungsordnung beispielhaft dargestellt sind; violettes, kurzwelliges Licht wird schwächer gebeugt als rotes, langwelliges Licht. Mit einer weiteren Linse (Objektiv) werden drei Spektrallinien (rot, türkis, violett) auf einen Projektionsschirm (rechts) abgebildet, wo sie in der geometrischen Form des Spalts erkennbar werden. Je nach Gitterkonstante des optischen Gitters ergeben sich für verschiedene Wellenlängen unterschiedliche Beugungswinkel.

Lichtquellen

Photographisch aufgenommenes Sonnenlichtspektrum.

Als Lichtquellen werden im Allgemeinen sehr helle Leuchtmittel verwendet, wie zum Beispiel Kohlebogenlampen, Halogenmetalldampflampen oder Hochleistungs-Leuchtdioden. Da die Projektionen meist von Menschen betrachtet werden, die weißes Licht von thermischen Strahlern gewohnt sind, ist es hierbei wichtig, dass das weiße Lichtspektrum ungefähr dem kontinuierlichen Sonnenlichtspektrum entspricht.

Sichtbare Spektrallinien, wie sie bei Leuchtdioden oder Niederdruck-Gasentladungslampen auftreten, können hierbei als sehr störend empfunden werden und werden daher mit Leuchtstoffen verändert und verbreitert. Diese Leuchtstoffe verändern dabei gegebenenfalls auch die Wellenlänge des einfallenden Lichtes, um ein mehr oder weniger kontinuierliches Spektrum zu erzeugen. Bei getakteten Lichtquellen, bei denen zu einem Zeitpunkt immer nur innerhalb eines begrenzten Längenwellenbereichs beleuchtet wird (Drehscheiben mit Farbsegmenten oder nacheinander ein- und ausgeschaltete Leuchtdioden oder Laser) können nicht nur fluoreszierende (kurzes Nachleuchten), sondern auch phosphoreszierende Leuchtstoffe (langes Nachleuchten) eingesetzt werden, um für menschlichen Betrachter eine bessere Farbmischung hervorzurufen.

Manche Menschen können selbst bei mehreren Dutzend Farbwechseln pro Sekunde in bestimmten Situationen (zum Beispiel an kontrastreichen Kanten oder sich schnell bewegenden Bildern) die verschiedenen Einzelfarben unterscheiden, so dass es bei der Wahrnehmung zum sogenannten Regenbogeneffekt kommt.

Lichtspektren

Je nach Erzeugungsart des Lichtes gibt es eine Reihe von typischen Merkmalen der dazugehörigen Lichtspektren. Diese Spektren enthalten häufig unsichtbare Anteile im Ultravioletten (unterhalb von 380 Nanometern) oder im Infraroten (oberhalb von 780 Nanometern). Im folgenden werden einige häufig auftretende Lichtspektren qualitativ erläutert.

• Spektren verschiedener Lichtquellen
• 
  Grüner Laser
• 
  Blaue Leuchtdiode
• 
  Gelblicher Leuchtstoff
• 
  Blaue Leuchtdiode mit einem gelblich leuchtenden Leuchtstoff
• 
  Gasentladung mit Quecksilberdampf
• 
  Mit einem gelblich leuchtenden Leuchtstoff beschichtete Gasentladungslampe mit Quecksilberdampf

Schwarze Körper

Schwarze Körper reflektieren kein Licht, sondern emittieren nur aufgrund ihrer Körpertemperatur Photonen. Das Licht hat eine kontinuierliche Verteilung, und sehr große Teile des kontinuierlichen Spektrums liegen im Infraroten. Der Wirkungsgrad für sichtbares Licht von glühenden Leuchtmitteln aus Festkörpern (in der Regel werden in einem evakuierten Glaskolben wegen des hohen Schmelzpunktes Drähte aus Wolfram verwendet) ist daher sehr gering und liegt typischerweise im Bereich von 5 bis 10 Prozent. Auch die Sonne ist näherungsweise ein Schwarzer Körper mit einem kontinuierlichem Spektrum, dessen maximale Intensität bei 555 Nanometern liegt (die Oberflächentemperatur und die entsprechende Farbtemperatur betragen knapp 5800 Kelvin). Das gleiche gilt für die Anoden von Kohlebogenlampen, die sich durch den Beschuss mit Elektronen aus dem Lichtbogen stark aufheizen und dadurch zum Leuchten angeregt werden.

Durch Hinzufügung eines Halogens, wie zum Beispiel Iod oder Brom, kann das Metallgas in einer Glühlampe stabilisiert werden. Bei dem im Betrieb einsetzenden Wolfram-Halogen-Kreisprozess schlägt sich das unvermeidlich verdampfende Wolfram des Glühdrahtes dann nicht auf der Innenseite des Glaskolbens nieder, sondern auf dem heißen Wolframdraht. Die entsprechenden Leuchtmittel werden als Halogenlampen bezeichnet und haben eine größere Lebensdauer und einen höheren Wirkungsgrad als herkömmliche Wolframdrahtlampen.

• Spektren Schwarzer Körper
• 
  Spektrum eines Schwarzen Körpers mit einer Oberflächentemperatur beziehungsweise Farbtemperatur von 3500 Kelvin
• 
  Spektren und Farbeindruck von Schwarzen Körpern mit verschiedenen Farbtemperaturen in Kelvin beziehungsweise Mired (Microreciprocal degrees)

Gasentladungen

Verschiedene Geißler-Röhren aus der Anfangszeit im 19. Jahrhundert.

Niederdruck-Kaltkathoden-Gasentladungsröhren konnten seit 1857 von Heinrich Geißler (1814–1879) gebaut werden und werden Geißler-Röhren genannt. Er fand ein Verfahren, um metallische Drähte in Glaskolben einzuschmelzen, die unter niedrigem Druck mit Gasen gefüllt sind.

Gasentladungen erzeugen diskrete Lichtspektren mit mehreren Spektrallinien, die den Energieniveaudifferenzen der Gasatome oder Gasmoleküle entsprechen. Je heißer das leuchtende Gas ist, desto breiter werden die Spektrallinien.

Solche Gasentladungslampen können verwendet werden, um farbiges Licht zu erzeugen. Hierbei werden oft Edelgase, wie Neon oder Krypton, oder Metalldämpfe verwendet, wie zum Beispiel Quecksilber oder Natrium.

Findet die Gasentladung in einem durchsichtigen Gefäß statt, das mit einem Leuchtstoff beschichtet ist, können die kurzwelligen Lichtteilchen der Gasentladung eingesetzt werden, um im Leuchtstoff längerwellige Photonen zu generieren (Fluoreszenz). Je nach Abstimmung zwischen dem Gasentladungsspektrum und dem Emissionsspektrum des Farbstoffes können die spektralen Lichtverteilungen in einen sehr großen Bereich variiert und angepasst werden. Dieses Prinzip wird bei herkömmlichen Leuchtstofflampen angewendet.

Bei Hochdruckgasentladungslampen befindet sich der Metalldampf (meist Quecksilber oder Natrium) während des Betriebs unter hohem Druck in einem Glaskolben, wobei während der Gasentladung hohe Temperaturen herrschen. Die Spektrallinien der Atome sind daher stark verbreitert, und hierdurch entsteht ein quasi-kontinuierliches Spektrum, so dass zur Erzeugung von weißlichem Licht auf den Einsatz von zusätzlichen Leuchtstoffen verzichtet werden kann.

Bei Höchstdruckgasentladungslampen befindet sich das Gas (meist Argon oder Xenon) bereits bei Zimmertemperatur unter einem hohen Druck in einem dickwandigen Glaskolben. Wird die Gasentladung gezündet, steigt dieser Druck während des Betriebs noch weiter an und erreicht unter Umständen mehrere hundert Bar. Die Spektrallinien sind in diesem Fall so stark verbreitert, dass das resultierende Lichtspektrum dem kontinuierlichen Spektrum der Sonne recht ähnlich kommt. Ferner haben Höchstdruckgasentladungslampen in der Regel nur eine lichtemittierende Fläche von wenigen Quadratmillimetern, so dass sie als gute Annäherung an eine Punktlichtquelle verwendet werden können, was beispielsweise in Beleuchtungsstrahlengängen mit einem Kollimator wünschenswert ist. Höchstdruckgasentladungslampen werden daher sehr häufig in Projektoren mit hohem Lichtstrom eingesetzt.

Leuchtstoffe

Leuchtstoffe, die eine Lumineszenz zeigen, erzeugen je nach chemischer Zusammensetzung der beteiligten Farbstoffe verschiedene Lichtspektren, die meist einen größeren Wellenlängenbereich umfassen. Die Farbstoffmoleküle des Leuchtstoffes werden durch Licht bestimmter Wellenlänge angeregt und emittieren bedingt durch inelastische Verluste innerhalb der Moleküle Photonen größerer Wellenlänge (Stokes-Lumineszenz).

Besteht die Anregung der Farbstoffmoleküle nur für kurze Zeit, wird von Fluoreszenz gesprochen. Hier finden sowohl die Anregung als auch die Emission meist innerhalb von Mikrosekunden über erlaubte Übergänge in den Elektronenniveaus statt. Die Bezeichnung leitet sich vom chemischen Stoff Calciumfluorit (CaF₂) ab, das im Mineral Fluorit (auch Flussspat)) enthalten ist, bei welchem dieser Effekt häufig durch blaues Leuchten beobachtet werden kann, wenn es mit ultraviolettem Licht bestrahlt wird.

Geben die Elektronen ihre Anregungsenergie indirekt ab, dauert der Vorgang deutlich länger und kann stundenlang anhalten. In diesem Fall wird von Phosphoreszenz gesprochen. Der Name leitet sich vom chemischen Element Phosphor ab, bei dem ein solcher Effekt beobachtet werden kann, der allerdings auf der Aktivierung chemischer Reaktionen beruht. Dennoch hat sich der Begriff Phosphoreszenz allgemein für den Effekt des langen Nachleuchtens von Stoffen etabliert.

Leuchtstoffe können also auch durch ultraviolettes Licht zum Leuchten im sichtbaren Bereich angeregt werden. Solche Farbstoffe werden beispielsweise eingesetzt, um weißes Papier oder weiße Textilien im Sonnenlicht heller erscheinen zu lassen. Der ultraviolette Anteil im Sonnenspektrum wird durch geeignete Farbstoffe (Aufheller) in sichtbare Anteile umgewandelt. Im Extremfall kann der von einer solchen Oberfläche reflektierte sichtbare Lichtstrom $\Phi _{v}$ sichtbaren Lichts sogar stärker sein, als der sichtbare Lichtstrom der zur Beleuchtung verwendeten Lichtquelle, da die elektromagnetischen Strahlungsleistung $\Phi _{e}$ unsichtbare Anteile enthält, die in sichtbare Anteile umgewandelt werden.

Wird eine Lichtquelle, die im Blauen oder Ultravioletten kurzwellig emittiert, mit einem geeigneten Leuchtstoff kombiniert, der bei einer längeren Wellenlänge luminesziert, so entsteht ein Lichtspektrum dass auch längere sichtbare Wellenlängen enthält und einem menschlichen Beobachter dann je nach Leuchtstoff mehr oder weniger weißlich erscheinen kann. Dieses Prinzip wird bei zahlreichen Leuchtmitteln für die Beleuchtung von Räumen oder auch für Projektoren und Taschenlampen angewendet. Als Lichtquelle werden hierfür sehr häufig leistungsstarke, im Blauen emittierende Leuchtdioden verwendet.

Für sehr lichtstarke Leuchtmittel werden zunehmend auch im Blauen emittierende Laser verwendet. Die Leistungsdichte im Leuchtmittel kann dann allerdings so groß sein, dass es nach einer gewissen Benutzungsdauer zu einer Beeinträchtigung oder gar der Zerstörung des Leuchtstoffes oder seines Trägermaterials kommen kann. Falls die Energiedichte so groß werden kann, dass eine thermische Beeinträchtigung des Leuchtstoffes droht, besteht die Möglichkeit, die im Leuchtstoff deponierte Energie räumlich zu verteilen, indem der Leuchtstoff auf einen beweglichen Träger aufgebracht und dieser während der Lichterzeugung bewegt wird, wie zum Beispiel mit einer rotierenden Trägerscheibe.

Wenn das Lichtspektrum des Leuchtmittels zeitlich nicht konstant sein muss oder soll, können trotz konstanter Beleuchtung durch die Lichtquelle bei beweglichen Leuchtstoffträgern mehrere nebeneinanderliegende Leuchtstoffe mit verschiedenen Eigenschaften kombiniert werden.

Leuchtdioden

Beispiel eines optischen Bauelements mit drei Leuchtdioden, die die Farben Rot, Grün und Blau emittieren.

Leuchtdioden erzeugen monochromatisches Licht, dessen Verteilung sich durch eine geringe Bandbreite von typischerweise 20 bis 40 Nanometern auszeichnet. Je heißer die Leuchtdiode im Betrieb ist, desto breiter wird die Spektrallinie. Je nach Kühlung der Leuchtdiode kann diese Bandbreite begrenzt oder sogar herabgesetzt werden.

Die Farbe von Leuchtdioden hängt vom verwendeten Halbleiter ab, und die verfügbaren Wellenlängen liegen im Bereich zwischen 200 und 1000 Nanometern. Bei der Wellenlänge um 555 Nanometer, im Grünen, bei der die Sonne ihre maximale Emissionsintensität erreicht, ist der Wirkungsgrad der im Markt angebotenen Leuchtdioden nur relativ gering ("green gap"). Daher ist es schwierig, helle Lichtquellen mit den drei Primärfarben rot, grün und blau mit Leuchtdioden zu kombinieren. Aus diesem Grund ist es üblich, die grünen Anteile in einem Lichtspektrum, das ausschließlich mit Leuchtdioden erzeugt werden soll, durch die Kombination einer hellen blauen Leuchtdiode mit einem orange oder gelb leuchtenden Leuchtstoff zu generieren.

Laser

Laser erzeugen monochromatisches Licht, dessen Verteilung sich durch eine sehr geringe Bandbreite auszeichnet.

Divergenz

Geometrische Divergenz

Zur geometrischen Divergenz

Ohne Berücksichtigung von Beugungseffekten breiten sich die Randstrahlen eines Strahlenbündels vom Ursprung ($z=0$, $w=0$) entlang der optischen z-Achse geradlinig aus (siehe Abbildung). In diesem Fall kann die geometrische Divergenz des Strahlenbündels $\theta$ mit HIlfe eines an der Stelle $z_{0}$ gemessenen Strahlradius $w_{0}$ wie folgt angegeben werden (die Näherung gilt für kleine Divergenzwinkel im Bogenmaß):

$\theta =\arctan {\frac {w_{0}}{z_{0}}}\approx {\frac {w_{0}}{z_{0}}}$

Gaußsche Divergenz

Zur Gaußschen Divergenz

Bei kleinen Strahldurchmessern muss die Beugung berücksichtigt werden. Das Strahlprofil ist hierbei nicht mehr scharf begrenzt, sondern bildet ein Gaußsches Profil (Glockenkurve) mit dem Maximum der Lichtintensität auf der optischen Achse. Dies bedeutet jedoch, dass der Strahl senkrecht zur Ausbreitungsrichtung unendlich ausgedehnt ist. Für mathematische Berechnungen wird üblicherweise der Randstrahl verwendet, bei dem die Amplitude der Lichtwelle mit der Wellenlänge $\lambda$ um den Faktor ${\frac {1}{e}}$ beziehungsweise bei dem die Intensität um den Faktor ${\frac {1}{e^{2}}}$ abgenommen hat.

Befindet sich die engste Stelle eines Strahlenbündels, die sogenannte Strahltaille mit dem Durchmesser $2\cdot w_{0}$, im Ursprung eines Zylinderkoordinatensystems ($z=0$) und breitet sich das Licht in Richtung der optischen z-Achse durch ein Medium mit der Brechzahl $n$ aus (siehe Abbildung), heißt die Länge entlang der optischen Achse, bei der der Lichtstrahl die doppelte Querschnittsfläche beziehungsweise das Wurzel-2-fache des Durchmessers der Strahltaille erreicht hat, Rayleigh-Länge $z_{0}$:

$z_{0}={\frac {n\cdot \pi \cdot w_{0}^{2}}{\lambda }}$

Daraus ergibt sich die Gaußsche Divergenz $\theta (z)$ für paraxiale Strahlen:

$\theta (z)=\arctan \left({\frac {w_{0}}{z}}{\sqrt {1+\left({\frac {z}{z_{0}}}\right)^{2}}}\right)=\arctan \left({\frac {w_{0}}{z}}{\sqrt {1+\left({\frac {\lambda \cdot z}{n\cdot \pi \cdot w_{0}^{2}}}\right)^{2}}}\right)$

Im Fernfeld (also für $z\gg w_{0}$) vereinfacht sich diese Beziehung zu:

$\lim _{z\to \infty }\theta (z)=\theta =\arctan {\frac {\lambda }{n\cdot \pi \cdot w_{0}}}$

Falls die Wellenlänge hinreichend klein gegenüber dem Durchmesser der Strahltaille ist (also für $\lambda \ll w_{0}$) und $\theta$ im Bogenmaß bestimmt ist, vereinfacht sich diese Gleichung noch weiter zur folgenden Näherung:

$\theta \approx {\frac {\lambda }{n\cdot \pi \cdot w_{0}}}$

Strahldivergenz

Die Strahldivergenz $\Theta$ ist definitionsgemäß doppelt so groß wie die Divergenz $\theta$ und beschreibt den Winkel zwischen gegenüberliegenden Randstrahlen:

$\Theta =2\cdot \theta$

Projektionen

Kontrastverhältnis

Bei Projektoren wird häufig das einfache Verhältnis $K$ zwischen der größten Leuchtdichte $L_{max}$ und der kleinsten Leuchtdichte $L_{min}$ angegeben (siehe auch Kapitel Leuchtdichte), die in der Projektionsebene erreicht werden können:

$K={\frac {L_{max}}{L_{min}}}$

Dieses Kontrastverhältnis steht folgendermaßen in Bezug zu Modulation $M$:

$K={\frac {1+M}{1-M}}$ beziehungsweise $M={\frac {K-1}{K+1}}$

Siehe hierzu auch: Modulation

Es ist zu beachten, ob die minimale und maximale Helligkeit gleichzeitig an verschiedenen Stellen einer Projektion oder mit verschiedenen Helligkeitseinstellungen des Gerätes in zwei verschiedenen Projektionen gemessen wurden.

Manche Geräte haben im Objektiv eine gesteuerte Blende, mit denen die Gesamthelligkeiten der jeweils zu projizierenden Bilder entsprechend ihrer Bildinhalte in Echtzeit angepasst werden können, um den Kontrast aufeinanderfolgender Bilder zu erhöhen.

Lichtstrom

Zur Ermittlung des Lichtstroms eines Projektors $\Phi _{v}$ werden in $N$ angrenzenden Feldern die $N$ Beleuchtungsstärken $E_{v,i}$ an der Stelle des Projektionsschirms bestimmt, auf die dazugehörigen Flächeninhalte $A_{i}$ bezogen und über die gesamte Projektionsfläche summiert.

$\Phi _{v}=\sum _{i=1}^{N}\left({E_{v,i}}\cdot {A_{i}}\right)$

Siehe hierzu auch: Lichtstrom

Beispiel einer Lichtstrombestimmung mit drei mal drei gleich großen, aneinandergrenzenden rechteckigen Teilflächen $A_{i}$ mit neun Messpunkten in den Schwerpunkten der Teilflächen bei rechteckiger Projektion

Werden wie in der Norm DIN EN 61947 - Teil 1 $N$ gleich große, angrenzende Teilflächen $A_{i}$ mit der Gesamtfläche

$A=\sum _{i=1}^{N}A_{i}=N\cdot A_{i}$ beziehungsweise $A_{i}={\frac {A}{N}}=constans$

betrachtet, vereinfacht sich die Formel für den Lichtstrom zu:

$\Phi _{v}={\frac {A}{N}}\cdot {\sum _{i=1}^{N}E_{v,i}}={A}\cdot {\frac {\sum _{i=1}^{N}E_{v,i}}{N}}={A}\cdot {\bar {E}}_{v,i}$

Siehe hierzu auch: Beleuchtungsstärke

Beispiel einer Lichtstrombestimmung mit neun gleich großen, aneinandergrenzenden Teilflächen $A_{i}$ mit neun Messpunkten in den Schwerpunkten der Teilflächen bei kreisförmiger Projektion

Nicht nur bei rechteckigen Projektionen, sondern auch bei kreisförmigen Projektionen kann die Kreisfläche zur Lichtrommessung entsprechend in neun gleich große Teilflächen aufgeteilt werden. Die Teilflächen sind in diesem Fall gleich, wenn die Radien im Verhältnis $1:{\sqrt {5}}:{\sqrt {9}}$ stehen. Die Messungen finden dann in den Schwerpunkten der Teilflächen statt, die auf Kreisradien im Verhältnis $0:{\sqrt {3}}:{\sqrt {7}}$ liegen.

Erforderlicher Lichtstrom

Wenn eine Projektionsfläche mit dem Flächeninhalt $A$ durch eine vorgegebene Hintergrundbeleuchtung mit der Beleuchtungsstärke $E_{v,{\text{Hintergrund}}}$ erhellt ist, kann der erforderliche Lichtstrom eines Projektors $\Phi _{v}$ aus dem gewünschten Kontrastverhältnis $K$ beziehungsweise aus der gewünschten Modulation $M$ berechnet werden:

$\Phi _{v}=E_{v,{\text{Hintergrund}}}\cdot A\cdot K=E_{v,{\text{Hintergrund}}}\cdot A\cdot {\frac {1+M}{1-M}}$

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