Clausen-Funktion

In der Mathematik ist die Clausen-Funktion (nach Thomas Clausen) durch das folgende Integral definiert:

Graph der Clausen-Funktion $\mathrm {Cl} _{2}(\theta )$ (rot) und $\mathrm {Cl} _{4}(\theta )$ (grün)

$\operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log |2\sin(t/2)|\,\mathrm {d} t.$

Allgemeine Definition

Allgemeiner definiert man für komplexe $s$ mit $\operatorname {Re} (s)>1$:

$\operatorname {Cl} _{s}(\theta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n\theta )}{n^{s}}}=\sin(\theta )+{\frac {\sin(2\theta )}{2^{s}}}+{\frac {\sin(3\theta )}{3^{s}}}+{\frac {\sin(4\theta )}{4^{s}}}+\cdots$

Diese Definition kann auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortgesetzt werden.

Verallgemeinerte Definition

Beispiele von Glaisher-Clausen-Funktionen im Intervall $[0,\,2\cdot \pi ]$.

Beispiele von Standard-Clausen-Funktionen im Intervall $[0,\,2\cdot \pi ]$.

Eine verallgemeinerte Definition der Clausen-Funktionen für lautet:

$\operatorname {Cl_{z}} \left(\theta \right)={\begin{cases}\operatorname {S_{z}} \left(\theta \right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(k\cdot \theta \right)}{k^{z}}}\\\operatorname {C_{z}} \left(\theta \right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(k\cdot \theta \right)}{k^{z}}}\\\end{cases}}$

Clausen-Funktionen der Form $\operatorname {S_{z}} \left(\theta \right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(k\cdot \theta \right)}{k^{z}}}$ sind Glaisher-Clausen-Funktionen (nach James Whitbread Lee Glaisher) und $\operatorname {C_{z}} \left(\theta \right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(k\cdot \theta \right)}{k^{z}}}$ sind Standard-Clausen-Funktionen.

Beziehung zum Polylogarithmus

Die Clausen-Funktion steht in Beziehung zum Polylogarithmus:

$\operatorname {Cl} _{s}(\theta )=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{s}(e^{i\theta }))$.

Kummers Beziehung

Ernst Kummer und Rogers führen folgende für $0\leq \theta \leq 2\pi$ gültige Beziehung an:

$\operatorname {Li} _{2}(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

Beziehung zu den Dirichlet L-Funktionen

Für rationale Werte von $\theta /\pi$ kann die Funktion $\sin(n\theta )$ als periodischer Orbit eines Elementes einer zyklischen Gruppe aufgefasst werden. Folglich kann $\operatorname {Cl} _{s}(\theta )$ als einfache Summe aufgefasst werden, welche die hurwitzsche Zeta-Funktion beinhaltet. Das erlaubt es, Beziehungen zwischen bestimmten dirichletschen L-Funktionen einfach zu berechnen.

Die Clausen-Funktion als eine Regularisierungs-Methode

Die Clausen-Funktion kann auch als Methode betrachtet werden, um folgenden divergenten Fourier-Reihen eine Bedeutung zu geben:

$\sin(\theta )+2\sin(2\theta )+3\sin(3\theta )+\dots$

was mit $\operatorname {Cl} _{-1}(\theta )$ bezeichnet werden kann. Durch Integration erhält man:

$\cos(\theta )+\cos(2\theta )+\cos(3\theta )+\dots =-\int d{\theta }\operatorname {Cl} _{-1}(\theta )$

Dieses Ergebnis kann durch analytische Fortsetzung für alle negativen $s$ verallgemeinert werden.

Reihenentwicklung

Eine Reihenentwicklung für die Clausen-Funktion (für $|\theta |<2\pi$) ist

${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\log |\theta |+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}{\text{.}}$

$\zeta (s)$ ist dabei die riemannsche Zeta-Funktion. Eine schneller konvergierende Reihe ist

${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\log \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\log \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}{\text{.}}$

Die Konvergenz wird dadurch sichergestellt, dass $\zeta (n)-1$ für große $n$ schnell gegen 0 konvergiert.

Spezielle Werte

Allgemeine Spezielle Fälle

Einige Spezialfälle sind gegeben durch:

${\begin{aligned}\operatorname {S_{1}} \left(\theta \right)&={\frac {1}{2}}\cdot \pi -{\frac {1}{2}}\cdot \theta \\\operatorname {S_{3}} \left(\theta \right)&={\frac {1}{6}}\cdot \pi ^{2}\cdot \theta -{\frac {1}{4}}\cdot \pi \cdot \theta ^{2}+{\frac {1}{12}}\cdot \theta ^{3}\\\operatorname {S_{5}} \left(\theta \right)&={\frac {1}{90}}\cdot \pi ^{4}\cdot \theta -{\frac {1}{36}}\cdot \pi ^{2}\cdot \theta ^{3}+{\frac {1}{48}}\cdot \pi \cdot \theta ^{4}-{\frac {1}{240}}\cdot \theta ^{5}\\\operatorname {C_{2}} \left(\theta \right)&={\frac {1}{6}}\cdot \pi ^{2}\cdot \theta -{\frac {1}{2}}\cdot \pi \cdot \theta +{\frac {1}{4}}\cdot \theta ^{2}\\\operatorname {C_{4}} \left(\theta \right)&={\frac {1}{90}}\cdot \pi ^{4}\cdot \theta -{\frac {1}{12}}\cdot \pi ^{2}\cdot \theta ^{2}+{\frac {1}{12}}\cdot \pi \cdot \theta ^{3}-{\frac {1}{48}}\cdot \theta ^{4}\\\end{aligned}}$

(für $0\leq \theta \leq 2\cdot \pi$)

Weitere Spezialfälle sind:

${\begin{aligned}\operatorname {S_{n}} \left(\theta \right)&={\frac {i}{2}}\cdot \left[\operatorname {Li_{n}} \left(\exp \left(-\theta \cdot i\right)\right)-\operatorname {Li_{n}} \left(\exp \left(\theta \cdot i\right)\right)\right]\\\operatorname {C_{n}} \left(\theta \right)&={\frac {1}{2}}\cdot \left[\operatorname {Li_{n}} \left(\exp \left(-\theta \cdot i\right)\right)+\operatorname {Li_{n}} \left(\exp \left(\theta \cdot i\right)\right)\right]\\\end{aligned}}$

wobei $\operatorname {Li_{n}}$ der Polylogarithmus ist,

$\operatorname {Ti_{2}} \left(\tan \left(\theta \right)\right)=\theta \cdot \log \left(\tan \left(\theta \right)\right)+{\frac {1}{2}}\cdot \operatorname {Cl_{2}} \left(2\cdot \theta \right)+{\frac {1}{2}}\cdot \operatorname {Cl_{2}} \left(\pi -2\cdot \theta \right)$

für $0\leq \tan \left(\theta \right)\leq 1$ wobei $\operatorname {Ti_{2}}$ das Arkustangensintegral ist,

$\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)$

wobei $G$ Barnessche G-Funktion und $\Gamma$ die Gammafunktion ist,

$\operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\mathcal {L}}s_{2}^{0}(\theta )$,

wobei ${\mathcal {L}}s_{2}^{0}$ der verallgemeinerte Logsinus ${\displaystyle {\mathcal {L}}s_{n}^{m}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }x^{m}\log ^{n-m-1}\left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx}$ ist

$\operatorname {Cl} _{s}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (s)$

wobei $\beta (s)$ die dirichletsche Beta-Funktion ist.

Spezifische Fälle

Einige spezielle Werte sind:

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K$,

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-3\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+\pi \log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)$,

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)$,

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)+{\frac {\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}\right)$,

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {5}{8}}\right)}{G\left({\frac {3}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)+{\frac {3\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\right)$,

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {11}{12}}\right)}{G\left({\frac {1}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)+{\frac {\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}-1}}\right)$ und

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {5\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{12}}\right)}{G\left({\frac {5}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {5}{12}}\right)+{\frac {5\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+1}}\right)$

wobei K die catalansche Konstante ist.

Literatur

• Leonard Lewin (Hrsg.): Structural Properties of Polylogarithms. American Mathematical Society, Providence (RI) 1991, ISBN 0-8218-4532-2 (englisch). 
• Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational Strategies for the Riemann Zeta Function. In: J. Comp. App. Math. Band 121, 2000, S. 11 (englisch, maths.ex.ac.uk [PDF; 526 kB]).