Βικιπαίδεια

Αλ Χουαρίζμι

Πέρσης μαθηματικός, αστρονόμος και γεωγράφος

Ο Αμπού Αμπντουλάχ Μοχάμεντ ιμπν Μουσά αλ-Χουαρίζμι [4] (Περσικά/Αραβικά: أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي Χορασμία [5][6][7] 781 - 850) ήταν Πέρσης[8][5][9] μαθηματικός, αστρονόμος και γεωγράφος, ένας λόγιος στον Οίκο της Σοφίας στη Βαγδάτη.

Αλ Χουαρίζμι
Όνομα στη
μητρική γλώσσα		أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي (Αραβικά)
Γέννηση780 (περίπου)[1][2][3]
Θάνατος850 (περίπου)[1][2]
Γνωστός γιαThe Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing
Επιστημονική σταδιοδρομία
Ερευνητικός τομέαςαστρονομία, μαθηματικά, άλγεβρα, Devanagari numeral, αριθμητική, τριγωνομετρία, γεωγραφία και επιστήμες γης και περιβάλλοντος
Ιδιότηταμαθηματικός, αστρονόμος, γεωγράφος, φιλόσοφος, μεταφραστής και ιστορικός
δεδομένα (π • σ • ε )

Στο βιβλίο του σχετικά με τους υπολογισμούς Κιταμπ αλ-τζαμπρ παρουσίασε για πρώτη φορά τη συστηματική λύση της γραμμικής και δευτεροβάθμιας εξίσωσης.[10] Θεωρείται ο «πατέρας» της άλγεβρας,[11]. Στον δωδέκατο αιώνα, οι λατινικές μεταφράσεις του έργου του στους Ινδικούς αριθμούς παρουσίασαν το δεκαδικό θεσιακό σύστημα αριθμού στον Δυτικό Κόσμο.[7] Αναθεώρησε τη «Γεωγραφία» του Πτολεμαίου και έγραψε για την αστρονομία και την αστρολογία.

Οι συνεισφορές του είχαν μεγάλο αντίκτυπο και στη γλώσσα: η λέξη «Άλγεβρα» προέρχεται από το Αλ-τζαμπρ μια από τις δύο πράξεις που χρησιμοποιούσε για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Ο όρος Αλγόριθμος προέρχεται από το Algoritmi (Αλγκορίτμι), το Λατινικό του όνομα. [12] Η Ισπανική λέξη guarismo[13] και η πορτογαλική algarismo προέρχονται από το όνομα του, και οι δυο λέξεις σημαίνουν ψηφίο.

Βίος

Επεξεργασία

Λίγα πράγματα είναι γνωστά, με σιγουριά, για τη ζωή του Αλ-Χουαρίζμι, ακόμα και η γενέτειρα του δεν είναι σίγουρη. Το όνομα του μπορεί να δηλώνει ότι προέρχεται από το Χουαρέζμ (Χωρασμία) στο σημερινό Ουζμπεκιστάν. Ο Αμπού Ρειχάν αλ-Μπιρούν αποκαλούσε τους ανθρώπους του Χουαρέζμ ως «παρακλάδι του Περσικού λαού» [14]

Η ιστορία του Αλ-Ταμπαρί τον ονομάζει ως Muhammad ibn Musa al-Khwārizmī al-Majousi al-Katarbali. Το επίθετο al-Katarbali, ή με άλλη ορθογραφία al-Qutrubbulli, μπορεί να δηλώνει ότι προέρχεται από το Qutrubbul,[15] μια αμπελουργική περιοχή κοντά στη Βαγδάτη. Παρόλα αυτά ο Ρασέντ Ροσντί[16] σημειώνει:

Δεν χρειάζεται κάποιος να είναι ειδικός στην εποχή ή φιλόλογος για να καταλάβει ότι η πρόταση του Αλ-Ταμπαρί πρέπει να διαβάζεται ως «Muhammad ibn Mūsa al-Khwārizmī και al-Majūsi al-Qutrubbulli» και συνεπώς υπήρχαν δύο άνθρωποι (al-Khwārizmī και al-Majūsi al-Qutrubbulli) μεταξύ των οποίων το αραβικό γράμμα wa το οποίο σημαίνει και, παραλείφθηκε σε προηγούμενο αντίγραφο.

Στο βιβλίο του Ιμπν Ισχάκ αλ-Ναντίμ, Kitāb al-Fihrist υπάρχει μια μικρή βιογραφία του Αλ-Χουαρίζμι, μαζί με μια λίστα με τα βιβλία που έγραψε. Ο Αλ-Χουαρίζμι έκανε το μεγαλύτερο μέρος του έργου του κατά την περίοδο μεταξύ του 813 και 833. Μετά τη Μουσουλμανική κατάκτηση της Περσίας η Βαγδάτη έγινε το κέντρο των επιστημονικών σπουδών και του εμπορίου με αποτέλεσμα να έρχονται πολλοί έμποροι και επιστήμονες, από μακρινές χώρες όπως την Ινδία και την Κίνα, όπως έκανε και ο Αλ-Χουαρίζμι. Δούλεψε στη Βαγδάτη στον Οίκο της Σοφίας, καθιερωμένο από τον Χαλίφη Αλ-Μαμούν, εκεί μελετούσε τις θετικές επιστήμες και τα μαθηματικά, επίσης συμμετείχε στη μετάφραση ελληνικών και σανσκριτικών επιστημονικών χειρόγραφων.

Συνεισφορά

Επεξεργασία

Τα έργα του Αλ-Χουαρίζμι στα μαθηματικά στη γεωγραφία στην αστρονομία και στη χαρτογραφία έθεσαν τις βάσεις για τις εξελίξεις στην άλγεβρα και την τριγωνομετρία. Η συστηματική του προσέγγιση στην επίλυση γραμμικών και δευτεροβάθμιων εξισώσεων οδήγησε στη λέξη άλγεβρα η οποία προέρχεται από τον τίτλο του βιβλίου του «Συνοπτικό Βιβλίο για τον Υπολογισμό με Μεταφορά και Απλοποίηση» (Αλ-Κιταμπ αλ μουχτασαρ φι χισαμπ αλ-τζαμπρ ουαλ-μουκα μπαλαالكتاب المختصر في حساب الجبر والمق).

Το βιβλίο του Υπολογισμός με Ινδικούς Αριθμούς, γραμμένο περίπου το 825, ήταν υπεύθυνο για τη διάδοση του Ινδικού αριθμητικού συστήματος σε όλη τη Μέση Ανατολή και την Ευρώπη. Το βιβλίο μεταφράστηκε στα Λατινικά ως Algoritmi de numero Indorum. Το Αλ-Χουαρίζμι αποδόθηκε στα Λατινικά ως Algoritmi το οποίο οδήγησε στο Αλγόριθμος.

Μερικά από τα έργα του βασίστηκαν σε Περσική και Βαβυλωνιακή αστρονομία, στους Ινδικούς αριθμούς και σε Ελληνικά μαθηματικά.

Ο Αλ-Χουαρίζμι συστηματοποίησε και διόρθωσε τις πληροφορίες του Πτολεμαίου για την Αφρική και τη Μέση Ανατολή. Ένα άλλο σημαντικό βιβλίο του ήταν το Kitab surat al-ard («Η εικόνα της Γης», μεταφράστηκε ως Γεωγραφία) το οποίο παρουσίαζε τις συντεταγμένες βασισμένο στη «Γεωγραφία» του Πτολεμαίο αλλά με διορθωμένες τιμές για τη Μεσόγειο, την Ασία και την Αφρική.

Έγραψε επίσης για μηχανικές συσκευές όπως ο αστρολάβος και το ηλιακό ρολόι.

Βοήθησε ένα έργο για τον καθορισμό της περιμέτρου της Γης και στη σύνταξη ενός παγκόσμιου χάρτη για τoν χαλίφη Αλ-Μαμούν, επιβλέποντας 70 γεωγράφους.[17]

Όταν, τον 12ο αιώνα, τα έργα του απλώθηκαν στην Ευρώπη μέσω λατινικών μεταφράσεων, είχαν σημαντικές επιπτώσεις στο επίπεδο της ανάπτυξης των μαθηματικών στην Ευρώπη. Εισήγαγε αραβικούς αριθμούς στη Λατινική Δύση, βασισμένους σε δεκαδικό σύστημα το οποίο αναπτύχθηκε από ινδικές πηγές.[18]

Άλγεβρα

Επεξεργασία
 
Μια σελίδα από την Άλγεβρα του Αλ-Χουαρίζμι

Το βιβλίο του Συνοπτικό Βιβλίο για τον Υπολογισμό με Μεταφορά και Απλοποίηση είναι ένα μαθηματικό βιβλίο γραμμένο περίπου το 830 μ.Χ. Το βιβλίο γράφτηκε με την ενθάρρυνση του χαλίφη Αλ-Μαμούν ως ένα δημοφιλές έργο σχετικά με τον υπολογισμό και είναι γεμάτο με παραδείγματα και εφαρμογές σε ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων στο εμπόριο, τις τοπογραφικές και τις νομικές κληρονομιές[19].

Ο όρος άλγεβρα προέρχεται από τον ένα από τους βασικούς χειρισμούς με τις εξισώσεις που περιγράφεται σε αυτό το βιβλίο. Το βιβλίο μεταφράστηκε στα λατινικά ως Liber algebrae et almucabala από τον Ρόμπερτ Τσέστερ (Σεγκόβια, 1145) ως εκ τούτου άλγεβρα. Ένα μοναδικό αραβικό αντίγραφο, διατηρείται στην Οξφόρδη και μεταφράστηκε το 1831 από τον Φ. Ροζέν. Μια λατινική μετάφραση φυλάσσεται στο Κέιμπριτζ.[20]

Το Αλ-τζαμπρ (al-jabr ) θεωρείται το θεμελιώδες κείμενο της σύγχρονης άλγεβρας. Παρείχε μια έκθεση για την επίλυση των εξισώσεων πολυωνύμου μέχρι δευτέρου βαθμού,[21] και εισήγαγε τις θεμελιώδεις μεθόδους της "μείωσης" και "εξισορρόπησης", αναφερόμενος στη μεταφορά των αφαιρουμένων όρων στην άλλη πλευρά της εξίσωσης, δηλαδή, την ακύρωση των όρων, όπως στις αντίθετες πλευρές της εξίσωσης.

Η μέθοδος του Αλ-Χουαρίζμι για την επίλυση των γραμμικών και δευτεροβάθμιων εξισώσεων περιλαμβάνει αρχικά τη μετατροπή τις εξίσωσης σε μία από τις έξι βασικές μορφές.

Πολλοί συγγραφείς δημοσίευσαν κείμενο με το τίτλο Kitāb al-ğabr wa-l-muqābala συμπεριλαμβανομένου των Abū Ḥanīfa al-Dīnawarī, Abū Kāmil Shujā ibn Aslam, Abū Muḥammad al-ʿAdlī, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, 'Abd al-Hamīd ibn Turk, Sind ibn ʿAlī, Sahl ibn Bišr, και Šarafaddīn al-Ṭūsī.

Οι Τζ. Τζ. Ο'Κόννερ και Ε.Φ Ρόμπερτσον γράφουν στο MacTutor History of Mathematics archive::

Ίσως ένας από τους πιο σημαντικούς προόδους από άραβες μαθηματικούς ξεκίνησε με το έργο του Αλ-Χουαρίζμι, δηλαδή η αρχή της άλγεβρας. Είναι σημαντικό να κατανοηθεί η σπουδαιότητα της νέας αυτής ιδέας. Ήταν μια επαναστατική κίνηση μακριά από την ελληνική έννοια των μαθηματικών που ήταν ουσιαστικά γεωμετρία. Η Άλγεβρα ήταν μια ενοποιητική θεωρία η οποία επέτρεψε τους ρητούς αριθμούς, τους άρρητους αριθμούς, τα γεωμετρικά μεγέθη, κ.λπ., να αντιμετωπίζονται ως "αλγεβρικά αντικείμενα". Έδωσε στα μαθηματικά μια νέα αναπτυξιακή πορεία με πολύ ευρύτερη έννοια από εκείνη που υπήρχε πριν, και παρείχε ένα όχημα για τη μελλοντική εξέλιξη του θέματος. Μια άλλη σημαντική πτυχή της εισαγωγής των αλγεβρικών ιδεών ήταν ότι έδωσε τη δυνατότητα στα μαθηματικά κατά έναν τρόπο που δεν είχε συμβεί στο παρελθόν."[22]

Ο R. Rashed και η Angela Armstrong γράφουν:

Το κείμενο του Αλ-Χουαρίζμι μπορεί να διαπιστωθεί ότι είναι διαφορετικό όχι μόνο από τους βαβυλωνιακούς δίσκους, αλλά και από την Αριθμητική του Διοφάντου. Πλέον δεν αφορά μια σειρά προβλημάτων που πρέπει να επιλυθούν, αλλά μια έκθεση η οποία ξεκινά με πρωτόγονους όρους με τους οποίους οι συνδυασμοί πρέπει να να παρέχουν κάθε δυνατή πρωτοτυπία για εξισώσεις, η οποία στο εξής αποτελούν ρητά το πραγματικό αντικείμενο της μελέτης. Από την άλλη πλευρά, η ιδέα μιας εξίσωσης προς ίδιον όφελος της εμφανίζεται από την αρχή και θα έλεγε κανείς, με γενικό τρόπο, στο μέτρο που κάνει απλώς δεν εμφανίζονται κατά τη διάρκεια της επίλυσης ενός προβλήματος, αλλά καλείται να καθορίσει ένα άπειρο σύνολο προβλημάτων. [23]

 
Σελίδα από μια λατινική μετάφραση, ξεκινάει με το «Dixit algorizmi»

Αριθμητική

Επεξεργασία

Το δεύτερο μεγάλο έργο του Αλ-Χουαρίζμι αφορά το θέμα της αριθμητικής, το έργο σώθηκε από μία λατινική μετάφραση αλλά το πρωτότυπο αραβικό χάθηκε. Η μετάφραση πιθανότατα έγινε από τον Αδελάρδο του Μπαθ, ο οποίος είχε μεταφράσει επίσης τους αστρονομικούς πίνακες το 1126.

Τα λατινικά χειρόγραφα δεν έχουν τίτλο, αλλά συνήθως ονομάζονται από τις δύο πρώτες λέξεις που ξεκινούν: Dixit algorizmi (τάδε έφη Αλ-Χουαρίζμι), ή Algoritmi de numero Indorum (Ο Αλ-Χουαρίζμι σχετικά με την ινδική τέχνη της μέτρησης) ένα όνομα που δόθηκε στο έργο από τον Baldassarre Boncompagni το 1857. Ο αρχικός τίτλος στα Αραβικά είναι πιθανόν να ήταν Kitāb al-Jamʿ wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind («Το Βιβλίο της Πρόσθεσης και της Αφαίρεσης σύμφωνα με τους Ινδικούς Υπολογισμούς»).[24] Χάρη στο έργο του Αλ-Χουαρίζμι οι Ινδικοί αριθμοί παρουσιάστηκαν στον Δυτικό Κόσμο.

Τριγωνομετρία

Επεξεργασία

Στην τριγωνομετρία, ο Αλ-Χουαρίζμι έφτιαξε πίνακες ημτόνων και συνημίτονων για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις στο Zīj al-Sindhind[25], μαζί με τον πρώτο πίνακα για την εφαπτομένη. Υπήρξε, επίσης, πρωτοπόρος στη σφαιρική τριγωνομετρία και έγραψε μια πραγματεία σχετικά με το θέμα.

Αστρονομία

Επεξεργασία

Το Zīj al-Sindhind του Αλ-Χουαρίζμι είναι ένα έργο το οποίο περιλαμβάνεται από περίπου 37 κεφάλαια με ημερολογιακούς και αστρονομικούς υπολογισμούς και 116 πίνακες με ημερολογιακά και αστρονομικά δεδομένα.

Γεωγραφία

Επεξεργασία

Το τρίτο μεγάλο έργο του Αλ-Χουρίζμι ήταν το Kitāb Surat al-Ard (αραβικά: كتاب صورة الأرض «Βιβλίο σχετικά με την εμφάνιση της Γης» ή «Η εικόνα της Γης» το οποίο μεταφράστηκε ως Γεωγραφία), ολοκληρώθηκε το 833. Πρόκειται για μια αναθεωρημένη και ολοκληρωμένη έκδοση της «Γεωγραφίας» του Πτολεμαίου, το οποίο αποτελείται από έναν κατάλογο συντεταγμένων 2402 πόλεων και άλλων γεωγραφιών χαρακτηριστικών.[26]

Υπάρχει μόνο ένα αντίγραφο του al Kitāb Surat al-Ard, το οποίο φυλάσσεται στη Βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου του Στρασβούργο. Μια λατινική μετάφραση διατηρείται στο Biblioteca Nacional de España στη Μαδρίτη. Ο πλήρης τίτλος μεταφράζεται ως Βιβλίο για την εμφάνιση της Γης, με τις πόλεις της, τα βουνά, τις θάλασσες, όλα τα νησιά και τα ποτάμια, που γράφτηκε από Αμπού Αμπντουλάχ Μοχάμεντ ιμπν Μουσά αλ-Χουαρίζμι, βασισμένη στη γεωγραφική πραγματεία που γράφτηκε από τον Πτολεμαίο.

Το βιβλίο ξεκινάει με έναν κατάλογο τον γεωγραφικών πλατών και μηκών των «ζωνών καιρού».

Ούτε το αραβικό αντίγραφο αλλά και η Λατινική μετάφραση περιλάμβανε έναν χάρτη του Κόσμου, Παρόλα αυτά κατασκευάστηκε ο χαμένος χάρτης από τον Hubert Daunicht με τα στοιχεία των συντεταγμένων.

Άλλα έργα

Επεξεργασία

Αρκετά αραβικά χειρόγραφα στο Βερολίνο, στην Κωνσταντινούπολη, στην Τασκένδη, το Κάιρο και το Παρίσι περιέχουν επιπλέον υλικό που σίγουρα ή με κάποια πιθανότητα προέρχεται από τον Αλ Χουρίζμι. Το χειρόγραφο Κωνσταντινούπολη περιέχει ένα έγγραφο σχετικά με τα ηλιακά ρολόγια, η οποία αναφέρεται στο Fihirst. Άλλα έγγραφα, όπως σχετικά με τον καθορισμό της κατεύθυνσης προς τη Μέκκα, που βρίσκονται στη σφαιρική αστρονομία.

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. ↑ 1,0 1,1 Sonja Brentjes: «Khwārizmī: Muḥammad ibn Mūsā al‐Khwārizmī» (Αγγλικά) Springer Science+Business Media. 2007.
  2. ↑ 2,0 2,1 John O'Connor, Edmund Robertson: «Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi»
  3. ↑ Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας: (Γερμανικά) Gemeinsame Normdatei. 118676180. Ανακτήθηκε στις 15  Οκτωβρίου 2015.
  4. ↑ Υπάρχει σύγχυση στη βιβλιογραφία αν το πλήρες όνομα του Αλ-Χουαρίζμι είναι Αμπού Αμπντουλάχ Μοχάμεντ ιμπν Μουσά Αλ-Χουαρίζμι ή Αμπού Τζαφάρ Μουσά Αλ-Χουαρίζμι. Ο Ιμπν Χαλντούν σημειώνει στο εγκυκλοπαιδικό έργο του: «Ο πρώτος που έγραψε σε αυτόν τον κλάδο (άλγεβρα) ήταν ο Αμπού Αμπντουλάχ Μοχάμεντ ιμπν Μουσά Αλ-Χουαρίζμι.
  5. ↑ 5,0 5,1 Hogendijk, Jan P. (1998). «al-Khwarzimi». Pythagoras 38 (2): 4–5. 0033–4766. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2008-03-19. https://web.archive.org/web/20080319024147/http://www.kennislink.nl/web/show?id=116543. Ανακτήθηκε στις 2010-05-12. 
  6. ↑ Berggren 1986
  7. ↑ 7,0 7,1 Struik 1987, σελ. 93
  8. ↑ Toomer 1990
  9. ↑ Oaks, Jeffrey A. «Was al-Khwarizmi an applied algebraist?». Πανεπιστήμιο της Ιντιανάπολις. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 15 Νοεμβρίου 2010. Ανακτήθηκε στις 10 Μαΐου 2010. 
  10. ↑ Κουνάδης, Φώτης (Ιανουάριος 2022). «Ο al-Khwarizmi (αλ-Χαρίζμι) και οι εξισώσεις 2ου βαθμού». Ευκλείδης Α΄ (123): 40-41. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_A_t123_2022.pdf. 
  11. ↑ Gandz 1936
  12. ↑ Daffa 1977
  13. ↑ Ντόναλντ Κνουθ (1979). Ο Αλγόριθμος στα σύγχρονα Μαθηματικά και την Επιστήμη των Υπολογιστών (PDF). Springer-Verlag. ISBN 0-387-11157-3. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 7 Νοεμβρίου 2006. Ανακτήθηκε στις 12 Μαΐου 2010. 
  14. ↑ Abu Rahyan Biruni, "Athar al-Baqqiya 'an al-Qurun al-Xaliyyah"(Λείψανα του παρελθόντος: το χρονολόγιο των αρχαίων λαών), Tehran, Miras-e-Maktub, 2001. Αραβικά: "و أما أهل خوارزم، و إن کانوا غصنا ً من دوحة الفُرس" (σελ. 56)
  15. ↑ "Το Ιράκ μετά τη Μουσουλμανική Κατάκτηση", του Μάικλ Τζ. Μόρονυ, ISBN 1-59333-315-3 (επανέκδοση το 2005 από το αρχικό βιβλίο του 1984), p. 145 Αρχειοθετήθηκε 2014-06-27 στο Wayback Machine.
  16. ↑ Rashed, Roshdi (1988), «al-Khwārizmī's Concept of Algebra», στο: Zurayq, Qusṭanṭīn; Atiyeh, George Nicholas; Oweiss, Ibrahim M., επιμ., Arab Civilization: Challenges and Responses : Studies in Honor of Constantine K. Zurayk, SUNY Press, σελ. 108, ISBN 0887066984, http://books.google.com/books?id=JXbXRKRY_uAC&pg=PA108&dq=Qutrubbulli#PPA108,M1 
  17. ↑ «al-Khwarizmi». Encyclopædia Britannica. Ανακτήθηκε στις 30 Μαΐου 2008. 
  18. ↑ «"Khwarizmi, Abu Jafar Muhammad ibn Musa al-" Ισλαμικές σπουδές της Οξφόρδης - Ίντερνετ». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 18 Ιουνίου 2013. Ανακτήθηκε στις 12 Μαΐου 2010. 
  19. ↑ Rosen, Frederic. «The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing, Al-Khwārizmī». 1831 English Translation. Ανακτήθηκε στις 14 Σεπτεμβρίου 2009. 
  20. ↑ Λ. Σ. Καρπίνισκι (1912). «History of Mathematics in the Recent Edition of the Encyclopædia Britannica». American Association for the Advancement of Science. 
  21. ↑ Boyer, Carl B. (1991). «Η Αραβική ηγεμονία». Ιστορία των μαθηματικών (Second έκδοση). John Wiley & Sons, Inc. σελίδες 228. ISBN 0471543977. 

    "Οι Άραβες γενικά αγαπούσαν μια καλή σαφές επιχείρημα το αξίωμα από τη σύναψη, καθώς και τη συστηματική οργάνωση - για τα οποία ούτε ο Διόφαντος ούτε και οι Ινδοί διακρίθηκαν."
  22. ↑ Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi. «Al-Khwarizmi». 
  23. ↑ Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994), The Development of Arabic Mathematics, Springer, σελ. 11–2, ISBN 0792325656, OCLC 29181926 
  24. ↑ Ruska
  25. ↑ Kennedy, 1956
  26. ↑ «The history of cartography». GAP computer algebra system. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 24 Μαΐου 2008. Ανακτήθηκε στις 30 Μαΐου 2008. 


Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/w/index.php?title=Αλ_Χουαρίζμι&oldid=10385941"
  NODES
Association 1