Εικοσάεδρο

Εικοσάεδρο στη στερεομετρία λέγεται ένα πολύεδρο που έχει είκοσι έδρες.

Εικοσάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
Τύπος	Πλατωνικό στερεό
Έδρες	20 τρίγωνα
Ακμές	30
Κορυφές	12
Διαμόρφωση κορυφής	(3.3.3.3.3)
Σύμβολο Σλέφλι (Schläfli)	{3,5}
Ομάδα συμμετρίας	εικοσαεδρική (Ih)
Δυϊκό	Δωδεκάεδρο
Ανάπτυγμα

Το κανονικό εικοσάεδρο είναι ένα από τα Πλατωνικά στερεά, που έχει ως έδρες είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα, τα οποία ενώνονται ανά πέντε σε κάθε κορυφή του.

Ο Ευκλείδης ασχολείται με το εικοσάεδρο στην Πρόταση 16 του 13ου βιβλίου των Στοιχείων του (XXIII.16).

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά κανονικού εικοσαέδρου

Αν θεωρήσουμε $\alpha \,\!$ το μήκος της ακμής του εικοσαέδρου, τότε ισχύουν τα εξής:

Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση κορυφών από το κέντρο)	$R={\frac {a}{2}}{\sqrt {\phi {\sqrt {5}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})}}\alpha \approx 0,951\alpha$
Ακτίνα εγγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση εδρών από το κέντρο)	$r={\frac {\phi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{12}}(3+{\sqrt {5}})\alpha \approx 0,756\alpha$
Απόσταση ακμών από το κέντρο	$\rho ={\frac {a\phi }{2}}={\frac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})\alpha \approx 0,809\alpha$
Συνολική επιφάνεια	$S=5{\sqrt {3}}\alpha ^{2}\approx 8,66\alpha ^{2}$
Όγκος	$V={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})\alpha ^{3}\approx 2,182\alpha ^{3}$

όπου $\phi \,\!$ ο χρυσός αριθμός.

Η δίεδρη γωνία του κανονικού εικοσαέδρου είναι ίση με 138,189685°.

Το δυϊκό πολύεδρο του εικοσαέδρου είναι το δωδεκάεδρο, δηλαδή τα κέντρα των είκοσι τριγωνικών εδρών του εικοσαέδρου αποτελούν κορυφές δωδεκαέδρου. Επίσης, ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή τα κέντρα των εδρών του δωδεκαέδρου αποτελούν κορυφές εικοσαέδρου. Τόσο το εικοσάεδρο όσο και το δωδεκάεδρο ανήκουν στην ίδια ομάδα συμμετρίας, την εικοσαεδρική.

Πηγές - Παραπομπές

• Weisstein, Eric W., Icosaedron (Αγγλικά)