Nùmer perfèt

C'l artìcol chè 'l è scrit in Carpśàn

In dla teorìa di nùmer, un nùmer perfêt 'l è 'n nùmer naturêl ( $\mathbb {N}$ ) ch'l è cumpàgn a la sòma di só diviśōr propi pośitìv, a dir ch'l è cumpàgn a la sòma di só diviśōr pośitîv fóra che lò medéśum (anca cgnusùda cuma sòma alìquota). A la stèsa manéra, al nùmer perfêt 'l è cal nùmer ch'l è la metê dla sòma 'd tùt i só diviśōr pośitìv (tolt dèint'r anca lò medéśum), scrìt:

n = σ₁(n) / 2

P'r eśèimpi, al 6 'l è 'n nùmer perfêt, send diviśìbil per i sō fatōr 1, 2 e 3 che somê 'l ûn cun cl èter, i dàn pròpia al 6 n'ètra vòlta; al 'l è anc al nùmer 28, diviśìbil per 1, 2, 4, 7, 14 che, somê tùt insèm, i dàn n'ètra volta al 28 ch'a-j-éren partî:

6=1+2+3={(1+2+3+6) \over 2}

28=1+2+4+7+14={(1+2+4+7+14+28) \over 2}

D'indû a deśvìn la só teorìa

In dal IX lìber di só Elemèint, al matemàtic Euclîd, in dal III sécol prìma 'd Crist, al dimostrèva che se $M=2^{p}-1\,$ 'l è 'n prìm (nuèt'r incō chi prìm lè a i cgnusòm c'ma quī 'd Mersenne"), dòunca:

{\frac {M\cdot \left(M+1\right)}{2}}=2^{p-1}(2^{p}-1)

'l è 'n nùmer perfêt^[1]; p'r eśèimpi:

per $M=3=2^{2}-1$ e dòunca per p = 2 : ${\frac {M\cdot \left(M+1\right)}{2}}={\frac {3\cdot \left(3+1\right)}{2}}={\frac {4\cdot 3}{2}}=2\cdot 3=2^{2-1}(2^{2}-1)=6$
per p = 3 : $2^{2}(2^{3}-1)=28$
per p = 5 : $2^{4}(2^{5}-1)=496$
per p = 7 : $2^{6}(2^{7}-1)=8128$
$\dots$

Quèl ch'a s cgnùs incō

I prìm 12 nùmer perfêt egl'ìn:

6
28
496
8128
33 550 336 (8 ciffri)
8 589 869 056 (10 ciffri)
137 438 691 328 (12 ciffri)
2 305 843 008 139 952 128 (19 ciffri)
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 (37 ciffri)
191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 (54 ciffri)
13 164 036 458 569 648 337 239 753 460 458 722 910 223 472 318 386 943 117 783 728 128 (65 ciffri)
14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128 (77 ciffri)^[2]

Per scrìver al tredicéśim nùmer perfêt a gh'vōl 314 ciffri. Infìn a 'l fervèr 2013 a s cgnusìva sōl 48 prìm ed Mersenne^[3], e dòunc'anca 48 nùmer perfêt. Al più grôs ed quischè 'l è 2^57.885.160 × (2^57.885.161 − 1), che in dla bêś decimèla al se scrìv cun 34.850.340 ciffri.

I nùmer perfêt egl'ìn tùt pèra e dòunca i s pólen anca scrìver cuma 2ⁿ(2ⁿ⁺¹ - 1), indû i prìm 44 nùmer i gh'àn:

n+1 = p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657^[4] .

Chi èter 4 nùmer perfêt più grand, i gh'àn:

n+1 = p = 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, mo a incō a n's è brìśa incòr controlê se da mêś a chi ùltem quàter chè, a gh'in sìa un quelchidùn èter.

Vóś lighèdi

Noti e referèinsi

↑ (EN) La frêś 36 dal IX lìber edl Euclîd in dla reda.
↑ (EN) La sequèinsa A000396 di nùmer perfêt in dal sit OEIS in dla réda.
↑ (EN) I nùmer prìm ed Mersenne ind un sît dedichê.
↑ (EN) Sequèinsa A000043 di esponèint p per catèr i prìm ed Mersenne in dl OEIS in dla réda.

Colegamèint estèren

(EN) "Perfect, amicable and sociable numbers" dal David Moews.
(EN) "Perfect numbers - History and Theory" in MacTutor.
(EN) Sequèinsa A000396 edla On-Line Encyclopedia of Integer Sequences in dla réda.

[1] (EN) La frêś 36 dal IX lìber edl Euclîd in dla reda.

[2] (EN) La sequèinsa A000396 di nùmer perfêt in dal sit OEIS in dla réda.

[3] (EN) I nùmer prìm ed Mersenne ind un sît dedichê.

[4] (EN) Sequèinsa A000043 di esponèint p per catèr i prìm ed Mersenne in dl OEIS in dla réda.

[1]

[2]

[3]

[4]