Diraka delta funkcio

La diraka delta funkcio aŭ unuobla impulsa funkcio estas funkcio (teknike, distribucio) δ(x) tia ke

$\delta (x)={\begin{cases}0&{\text{se }}x\neq 0\\\infty &{\text{se }}x=0\end{cases}}$

kaj

$\int _{-a}^{a}\delta (x)=1$ por iu $a>0$.

Ĝi nomiĝas pro la brita teoria fizikisto Paul Dirac. La diskreta analogo de la delta funkcio estas la degenera distribuo, kelkfoje ankaŭ nomiĝanta la delta funkcio.

Ĝenerala priskribo

Dirakaj funkcioj povas esti de iu ajn amplekso en kiu okazo ilia 'forteco' estas difinita per multipliko de ilia amplitudo. La grafikaĵo de la delta funkcio povas esti kutime konsiderata sekva la tuta x-akso kaj la pozitiva y-akso. (Ĉi tiu neformala bildo povas iam esti iluzia, ekzemple en la limiganta okazo de la funkcio sinc.)

Malgraŭ ĝia nomo, la delta funkcio ne estas funkcio kiel difinita en la plej rigora matematika senco. Unu kaŭzo por ĉi tiu estas ke la funkcioj f(x) = δ(x) kaj g(x) = 0 estas egalaj ĉie escepte de x = 0 ankoraŭ havi integraloj, kiuj estas malsamaj. Laŭ lebega integralada teorio, se f, g estas funkcioj tiaj ke f = g preskaŭ ĉie, do f estas integralebla se kaj nur se g estas integralebla kaj la integraloj de f kaj g estas la samaj. Preciza kuracado de la diraka delto postulas mezuran teorion aŭ la teorion de distribucioj.

La diraka delto estas tre utila kiel proksimuma kalkulado por alta mallarĝa alkoholigi funkcio (impulso). Ĝi estas la sama tipo de abstraktado kiel punkto akuz(aĵ)o, punkta maso aŭ elektrona punkto. Ekzemple, kalkulante la dinamikon de basbalo batita per batilo, aproksimanta la forto de la batilo batanta la basbalon per delta funkcio estas helpema artifiko. Farante tiel, oni ne nur simpligas la ekvaciojn, sed tiel ankaŭ eblas kalkuli la moviĝon de la basbalo per nura konsiderado de la tuta impulso de la batilo kontraŭ la pilko anstataŭ postuli scion de la detaloj pri tio kiel la batilo tradonas energion al la pilko.

La diraka delta funkcio estis nomita honore al la delto de Kronecker, ĉar ĝi povas esti uzata kiel kontinua analogo de la diskreta delto de Kronecker.

Formala enkonduko

La diraka delto estas ofte prezentita kun la propraĵo:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)$

valida por iu ajn kontinua funkcio f.

Tamen, estas neniu reala funkcio δ(x) kun ĉi tiu propraĵo. La diraka delto estas ne funkcio; sed ĝi povas esti utile traktita kiel distribucio, kaj ankaŭ mezuro.

Kiel distribucio, la diraka delto estas lineara funkcionalo sur la spaco de testaj funkcioj kaj estas difinita per

$\delta [\phi ]=\phi (0)\,$

por ĉiu testa funkcio $\phi \$. Ĝi estas distribucio kun kompakta subteno (la subteno estas {0}). Pro ĉi tiu difino, kaj la foresto de vera funkcio kun la deltaj funkciaj propraĵoj, estas grave kompreni ke la pli supre integrala notacio estas simple notacia oportunaĵo, kaj ne vera integralo.

Kiel mezuro, $\delta (A)=1$ se $0\in A$, kaj $\delta (A)=0$ alie. Tiam,

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\delta (x)=f(0)$

por ĉiu kontinua funkcio f.

Kiel distribucio, la hevisida ŝtupara funkcio estas malderivaĵo de la diraka delta distribucio.

Delta funkcio de pli komplikaj argumentoj

Helpema idento estas la skalada propraĵo:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}$

kaj do

$\delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}$

Ĉi tiu koncepto povas esti ĝeneraligita al:

$\delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$

kie x_i estas la radikoj de g(x). En la integrala formo ĝi estas ekvivalenta al

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$

En n-dimensia spaco kun radiusvektoro $\mathbf {r}$, ĉi tiu estas ĝeneraligita al:

$\int _{V}f(\mathbf {r} )\,\delta (g(\mathbf {r} ))\,d^{n}r=\int _{\partial V}{\frac {f(\mathbf {r} )}{|\mathbf {\nabla } g|}}\,d^{n-1}r$

kie la integralo dekstre estas super $\partial V$, la n-1  dimensia surfaco difiniĝis per $g(\mathbf {r} )=0$.

Konverto de Fourier

La kontinua konverto de Fourier de la Diraka delto estas la konstanta funkcio ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$. La inversa konverto de ĉi tiu konstanta funkcio estos esti la diraka delto denove, cedanta la orteca propraĵo por la kerno de Fourier:

${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx}\,dx=\delta (k)$

De la ruluma teoremo por la konverto de Fourier, la rulumo de δ kun iu ajn distribucio S estas S.

La diraka delta funkcio kiel probablodensa funkcio

La diraka delta funkcio povas esti interpretita kiel probablodensa funkcio. Ĝia karakteriza funkcio estas tiam simple unueco, kiel estas la momanta generanta funkcio, tiel ke ĉiuj momantoj estas nulo. La tuteca distribua funkcio estas la hevisida ŝtupara funkcio.

Derivaĵoj de la delta funkcio

La derivaĵo de la diraka delta funkcio (ankaŭ nomata kiel duoblaĵo) estas la distribucio δ' difinita per

$\delta '[\phi ]=-\phi '(0)\,$

por ĉiu testa funkcio $\phi \$. De ĉi tiu sekvas, ke

$x\delta '(x)=-\delta (x)\,$

La n-a derivaĵo δ⁽ⁿ⁾ estas donita per

$\delta ^{(n)}[\phi ]=(-1)^{n}\phi ^{(n)}(0)\,$

La derivaĵoj de la diraka delto estas grava ĉar ili aperas en la Fourier-aj konvertoj de polinomoj.

Ekvivalenta difino

La diraka delta funkcio $\delta :\mathbb {R} \ni \xi \longrightarrow \delta (\xi )\in \delta (\mathbb {R} )$ estas distribucio $\delta (\xi )$ kies nedifinita integralo estas la funkcio

$h:\mathbb {R} \ni \xi \longrightarrow {\frac {1+{\rm {sgn}}\,\xi }{2}}\in \mathbb {R} ,$

kutime nomata kiel hevisida ŝtupara funkcio aŭ unua ŝtupa funkcio. Tio estas, ĝi verigas la integralan ekvacion

$\int _{-\infty }^{x}\delta (t)dt=h(x)\equiv {\frac {1+{\rm {sgn}}(x)}{2}}$

por ĉiuj reelaj nombroj x.

Prezentoj de la delta funkcio

La delta funkcio povas esti konsiderata kiel la limigo de vico de funkcioj

$\delta (x)=\lim _{a\to 0}\delta _{a}(x),$

kie $\delta _{a}(x)$ estas iam nomita ne-plenumigita delta funkcio. Ĉi tiu povas esti utila en specifaj aplikoj; alivorte, unu pliĝustigo por la delto-funkcia notacio estas, ke ĝi ne premisas kiu limiganta vico estos uzita. Aliflanke la termino limigo bezonas esti farita preciza, kiel ĉi tiu egaleco tenas nur por iu signifoj de limigo. La termino aproksima idento havas apartan signifon en analizo de Fourier, en rilato al limiganta vico al identa ero por la ruluma operacio (sur grupoj pli ĝeneralaj ol la reelaj nombroj, ekz. la unuobla cirklo). Tie la kondiĉo estas farita, ke la limiganta vico devus esti de pozitivaj funkcioj.

Iuj naskantoj de delta funkcio estas:

$\delta _{a}(x)={\frac {1}{a{\sqrt {\pi }}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/a^{2}}$	Limigo de Normala distribuo
$\delta _{a}(x)={\frac {1}{\pi }}{a \over a^{2}+x^{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx-|ak|}\;dk$	Limigo de Koŝia distribuo
$\delta _{a}(x)={\frac {e^{-|x/a|}}{2a}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ikx}}{1+a^{2}k^{2}}}\,dk$	Koŝio $\varphi$ (vidu noton pli sube)
$\delta _{a}(x)={\frac {{\textrm {rect}}(x/a)}{a}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\textrm {sinc}}(ak/2)e^{ikx}\,dk$	Limigo de rektangula funkcio
$\delta _{a}(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-1/a}^{1/a}\cos(kx)\;dk$	Rektangula funkcio $\varphi$ (vidu noton pli sube)
$\delta _{a}(x)=\partial _{x}{\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-x/a}}}=-\partial _{x}{\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{x/a}}}$
$\delta _{a}(x)={\frac {a}{\pi x^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {x}{a}}\right)$
$\delta _{a}(x)={\frac {1}{a}}A_{i}\left({\frac {x}{a}}\right)$	Limigo de la aera funkcio
$\delta _{a}(x)={\frac {1}{a}}J_{1/a}\left({\frac {x+1}{a}}\right)$	Limigo de funkcio de Bessel

Notu: Se δ(a, x) estas ne-plenumigita delta funkcio kiu estas probablodistribuo super la tuta reala linio (kio estas estas ĉiam nenegativa inter -∞ kaj +∞) tiam alia ne-plenumigita delta funkcio δ_φ(a, x) povas esti konstruita de ĝia karakteriza funkcio kiel sekvas:

$\delta _{\varphi }(a,x)={\frac {1}{2\pi }}~{\frac {\varphi (1/a,x)}{\delta (1/a,0)}}$

kie

$\varphi (a,k)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (a,x)e^{-ikx}\,dx$

estas la karakteriza funkcio de la ne-plenumigita delta funkcio δ(a, x). Ĉi tiu rezulto estas rilatanta al la lokiga propraĵo de la kontinua konverto de Fourier.

Vidu ankaŭ artikolojn

• Delto de Kronecker
• Diraka kombilo
• Verda funkcio

Eksteraj ligiloj

• Delta Funkcio sur MathWorld