Diverĝenco

En vektora kalkulo, diverĝenco de vektora kampo estas diferenciala operatoro, kiu rezultigas iun skalaran kampon. Diverĝenco taksas kiel multe fluon, kies kurso estas priskribata per la vektora kampo, naskiĝas (aŭ malaperas) en iu punkto de la spaco.

Estu ekzemple vektora kampo kiu priskribas rapidon kaj direkton de fluo de likvaĵo. Se la likvaĵo, dum fluo, ne ŝanĝas sian volumenon, diverĝenco de la kampo estas nulo. Sed se, dum fluo, volumeno de la likvaĵo naskiĝas el nenio, la diverĝenco estas pozitiva en la regiono de naskiĝo. Se dum fluo la likvaĵo parte malaperas, la diverĝenco estas negativa en la regiono de malapero. Ĉi tio povas okazi, ekzemple ĉar ĉi tie gravas volumeno sed ne maso de la likvaĵo. Se, dum fluo, premo malpligrandiĝas do la volumeno iom pligrandiĝas. Notu, ke en la ekzemplo estas subkomprenate, ke la tuta mapo de la fluo ne ŝanĝiĝas kun tempo, kvankam ĉiu aparta ero de la likvaĵo trapasas diversajn lokojn.

Vektora kampo kiu ĉie havas nulan diverĝencon estas solenoida vektora kampo.

Difino

La diverĝenco de vektora kampo F en punkto p estas difinita kiel la limeso de la neta fluo de F tra la kontinua bordero de tri-dimensia regiono V dividita per la valoro de la volumeno V, kiam V malŝvelas ĝis p:

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} (p)=\lim _{V\rightarrow \{p\}}\iint _{S(V)}{\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \over |V|}\;dS,$

kie |V | estas la volumeno de V, S(V) estas la surfaca rando de V, kaj la integralo estas la surfaca integralo, kun n estanta la ekstera unuvektoro orte al la surfacero dS. El tia difino klaras, ke div F povas esti konsiderata kiel fonta denseco de la fluo de F.

Laŭ tiu fizika interpreto, vektora kampo kun konstanta nula diverĝenco nomiĝas nekunpremebla: en tia kazo, eblas neniu neta fluo trans fermita surfaco.

La intuicio, ke la sumo de ĉiuj fontoj minus la sumo de ĉiuj sorbaĵoj devu doni netan fluon eksteren de iu regiono, precizigiĝas per la diverĝenca teoremo.

Estu x, y, z sistemo de karteziaj koordinatoj en 3-dimensia eŭklida spaco, kaj estu i, j, k esti la respektiva bazo de unuvektotoj ($h_{x}=h_{y}=h_{z}=1,\ V=dx.dy.dz$).

La diverĝenco de kontinue diferencialebla vektora kampo F = F₁ i + F₂ j + F₃ k estas difinita kiel funkcio kun skalara valoro:

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}.$

La rezulto estas invarianta sub ĉiuj turnoj de la koordinatosistemo, do sub transformoj per ĉiuj pozitivaj perpendikularaj matricoj. Ĉi tiel devas esti ĉar laŭ la senco diverĝenco ne dependas de koordinatosistemo uzata.

Ofte uzata skribmaniero por la diverĝenco ∇·F estas mnemonika, kun la punkto signifanta kvazaŭ skalaran produton: preni la komponantojn de ∇ kaj apliki ilin al la komponantoj de F kaj sumi la rezultojn.

Simile diverĝenco estas difinta en iu ajn kvanto de dimensioj.

Estu

$\mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\dots ,F_{n}),$

Tiam

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}.$

En polusaj koordinatosistemoj

- En cilindraj koordinatoj ($h_{r}=h_{z}=1,\ h_{\theta }=r,\ V=rd\theta .dr.dz$):

$\mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{z}F_{z}\ ,$

$\nabla \cdot \mathbf {F} (r,\theta ,z)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rF_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}},$

kie θ estas la angulo de la abscisa akso kaj

z estas koordinato koincidanta kun la kartezia.

- En sferaj koordinatoj ($h_{r}=1,\ h_{\phi }=r,\ h_{\theta }=r{\sin }\phi ,\ V=r{\sin }\phi d\theta .rd\phi .dr$):

$\mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{\phi }F_{\phi }\ ,$

$\nabla \cdot \mathbf {F} (r,\theta ,\phi )={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}F_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r{\sin }\phi }}{\frac {\partial ({\sin }\phi F_{\phi })}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r{\sin }\phi }}{\frac {\partial (F_{\theta })}{\partial \theta }},$

kie θ estas la angulo de la abscisa akso kaj

φ estas la zenita angulo.

Propraĵoj

Jenaj propraĵoj povas ĉiuj esti derivita de la ordinaraj diferencialadaj reguloj de kalkulo. Plej grave, la diverĝenco estas lineara operatoro, do

$\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {div} (\mathbf {F} )+b\;\operatorname {div} (\mathbf {G} )$

por ĉiuj vektoraj kampoj F kaj G kaj ĉiuj reelaj nombroj a kaj b.

Estas produta regulo: se φ estas skalara valora funkcio kaj F estas vektora kampo, do

$\operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {div} (\mathbf {F} ),$

aŭ en la alia skribmaniero

$\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} ).$

Alia produta regulo por la kruca produto de du vektoraj kampoj F kaj G en tri dimensioj enhavas la kirlon:

$\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {rot} (\mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \;-\;\mathbf {F} \cdot \operatorname {rot} (\mathbf {G} ),$

aŭ

$\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).$

La laplaca operatoro de skalara kampo estas la diverĝenco de la kampa gradiento.

La diverĝenco de la kirlo de ĉiu vektora kampo (en tri dimensioj) estas konstanto kaj egalas al nulo. Male, se estas vektora kampo F kun nula diverĝenco en pilko en R³, do tie ekzistas iu vektora kampo G en la pilko tia ke F = rot(G). Por regionoj en R³ topologie pli komplikaj ol pilkoj, ĉi tiu lasta propozicio povas ne esti vera.

Vidu ankaŭ

• Nabla operatoro
• Gradiento (matematiko)
• Kirlo (matematiko)
• Vektora kalkulo
• Diverĝenca teoremo