Eŭlera karakterizo

En geometrio, la eŭlera karakterizo estas entjero kiu priskribas pluredron aŭ pli ĝenerale hiperpluredron.

En algebra topologio, la eŭlera karakterizo estas topologia invarianto, entjero kiu priskribas unu aspekton de topologia spaca formo aŭ strukturo.

La du okazoj estas interligitaj. La eŭlera karakterizo estas kutime skribata kiel χ (ĥio).

Por pluredro

La eŭlera karakterizo χ de pluredro estas difinita kiel:

χ=V-L+E

kie V, L, kaj E estas respektive la kvantoj de verticoj, lateroj kaj edroj en la donita pluredro. Konveksa pluredro estas homeomorfa al sfero, ĝia eŭlera karakterizo egalas al 2. Ĉi tio estas la eŭlera formulo. Ĝi povas esti aplikita ne nur al pluredroj sed ankaŭ al ebenaj grafeoj, ĉe ili eŭlera karakterizo egalas al 1 (vidu sube).

Pruvo

Unuaj ŝtupoj de la pruvo ĉe kubo

Ĉi tio estas la unua rigora pruvo de la eŭlera formulo, donita de Augustin Louis Cauchy.

Forprenu unu edron de la pluredro. Per distiro la lateroj de la forestanta edro, reformigu la restaĵon en ebenan grafeon (ebenan reton) de punktoj kaj kurboj. Ĉi tio eblas ĉar la fonta pluredro estas homeomorfa al la sfero je la komenco. La operacio estas ilustrita en la unua el la tri bildoj por la okazo de la kubo. La kvantoj de verticoj kaj lateroj restas la samaj, sed la kvanto de edroj malpligrandiĝas je 1. Tiel, por pruvo de la eŭlera formulo por la pluredro, necesas pruvi ke ĉe la ebena reto V-L+E=1.

Se estas edroj kun pli ol tri lateroj desegnu diagonalojn (ne nepre rektajn) ĝis kiam ĉiuj edroj estas trianguloj. Ĉiu tiel desegnita diagonalo aldonas unu lateron kaj unu edron kaj ne ŝanĝas la kvanton de verticoj, kaj tiel konservas valoron V-L+E

Apliku multfoje du jenajn transformoj (en ajna ordo) ĝis kiam nur unu triangulo restas:

• Forpreni triangulon ĉe kiu nur unu latero estas najbara al la eksteraĵo, kiel estas ilustrite en la dua el la tri bildoj. Ĉi tio malgrandigas la kvanton de lateroj je 1 kaj la kvanton de edroj je 1 kaj ne ŝanĝas la kvanton de verticoj, tiel konservas valoron V-L+E.
• Forpreni triangulon ĉe kiu du latero estas najbaraj al la eksteraĵo, kiel estas ilustrite en la tria el la tri bildoj. Ĉi tio malgrandigas la kvanton de lateroj je 2, la kvanton de verticoj je 1 kaj la kvanton de edroj je 1, tiel konservas valoron V-L+E.

Kiam nur unu triangulo restas, V=3, L=3 kaj E=1, kaj V-L+E=1. Pro tio ke la transformoj de la ebena grafeo ne ŝanĝas valoron V-L+E, por la fonta ebena grafeo V-L+E=1. Tiel ĉe la fonta pluredro V-L+E=2.

Por hiperpluredro

Por hiperpluredro la eŭlera karakterizo estas difinita kiel sumo kun alternaj signoj

χ = k₀ - k₁ + k₂ - k₃ + ... k_n-1

kie k_m estas la kvanto de hiperĉeloj de dimensio m, por 0≤m<n, tiel la hiperpluredro mem ne estas enkalkulata.

Por topologia spaco

Por ĉiu topologia spaco, la m-a nombro de Betti b_m estas la rango de la m-ona homologeca grupo. La eŭlera karakterizo estas difinita kiel sumo kun alternaj signoj

χ = b₀ - b₁ + b₂ - b₃ + ...

χ estas bone difinita se ĉiuj nombroj de Betti estas finiaj kaj se ili estas nuloj ekde certa indekso n.

La difino por topologia spaco respektivas al la difino por hiperpluredro se konsideri kiel la topologia spaco la randon de la hiperpluredro. La rando estas tiel kahelaro de la topologia spaco. Tiel ekzemple ĉiu konveksa pluredro povas esti konsiderata kiel kahelaro de sfero.

Propraĵoj

Homotopeca invarianto

La eŭlera karakterizo estas homotopeca invarianto ĉar la homologeco estas topologia invarianto (fakte, homotopeca invarianto - du topologiaj spacoj kiuj estas homotopece ekvivalentaj havas izomorfiajn homologecajn grupojn).

Produto

La eŭlera karakterizo de produta spaco M × N estas

χ(M × N) = χ(M) χ(N)

Disa unio

Se M kaj N estas du topologiaj spacoj, tiam la eŭlera karakterizo de ilia disa unio estas sumo de iliaj eŭleraj karakterizoj, ĉar homologeco estas adicia sub disa unio:

$\chi (M\sqcup N)=\chi (M)+\chi (N)$

Nepara dimensio

Kiel konsekvenco de la dualeco de Poincaré, la eŭlera karakterizo de ĉiu fermita sternaĵo de nepara dimensio estas nulo. Ĉi tiu aplikas pli ĝenerale al ĉiu kompakta topologie tavoliĝita spaco kies ĉiuj tavoloj estas de nepara dimensio.

Tiel, ĉar rando de plurĉelo estas 3-dimensia, la eŭlera karakterizo de ĉiu konveksa plurĉelo estas nulo.

Rilatoj al aliaj invariantoj

La eŭlera karakterizo de fermita orientebla surfaco povas esti kalkulita de ĝia genro g (la kvanto de toroj en koneksa suma malkomponaĵo de la surfaco; intuicie, la kvanto de ansoj) kiel

χ = 2 - 2g

La eŭlera karakterizo de fermita ne-orientebla surfaco povas esti kalkulita de ĝia ne-orientebla genro k (la kvanto de reelaj projekciaj ebenoj en koneksa suma malkomponaĵo de la surfaco kiel

χ = 2 - k

La "tuteca difekto" de pluredro, mezurita en plenaj cirkloj (plena cirklo estas 2π radianoj), estas la eŭlera karakterizo de la pluredro. Vidu plu en angula difekto.

Por fermita rimana sternaĵo, la eŭlera karakterizo povas ankaŭ troviĝi per integraligo de la kurbeco. Vidu plu en la teoremo de Gauss-Bonnet por la 2-dimensia okazo kaj en la ĝeneraligita Gaŭso-Kufa teoremo por la ĝenerala okazo.

Por fermita glata sternaĵo, la eŭlera karakterizo koincidas kun la eŭlera nombro, kiu estas la eŭlera klaso de ĝia tanĝanta pakaĵo komputita sur la fundamenta klaso de la sternaĵo. La eŭlera klaso, laŭvice, rilatas al ĉiuj aliaj karakterizaj klasoj de vektoraj pakaĵoj.

Ĉiu punktigebla spaco (spaco kiu estas homotopece ekvivalenta al punkto) havas bagatelan homologecon, la 0-a nombro de Betti estas 1 kaj ĉiuj la aliaj estas 0. Pro tia ĝia eŭlera karakterizo estas 1. Ĉi tiu okazo inkluzivas eŭklidan spacon $\mathbb {R} ^{n}$ de ĉiu dimensio, kaj ankaŭ la solida unua pilko en ĉiu eŭklida spaco - la unu-dimensia intervalo, la du-dimensia disko, la tri-dimensia pilko, kaj tiel plu.

Ekzemploj

Pluredro	Bildo	Konveksa	Verticoj V	Lateroj L	Edroj E	Eŭlera karakterizo χ=V-L+E
Kvaredro		Jes	4	6	4	2
kubo		Jes	8	12	6	2
Okedro		Jes	6	12	8	2
Dekduedro		Jes	20	30	12	2
Dudekedro		Jes	12	30	20	2
Plilongigita triangula kupolo		Jes	15	27	14	2
Kvar-duon-sesedro		Ne	6	12	7	1
Ok-duon-okedro		Ne	12	24	12	0
Kubo-duon-okedro		Ne	12	24	10	-2
Granda dudekedro		Ne	12	30	20	2

Topologia spaco	Bildo	Eŭlera karakterizo
1-dimensiaj topologiaj spacoj
Intervalo		1
Cirklo		0
2-dimensiaj topologiaj spacoj
Disko		1
Sfero		2
Du ne koneksaj sferoj (Disa unio de du sferoj)		2 + 2 = 4
Toro (Toro estas homeomorfie invarianta al produta spaco de du cirkloj)		0
Duopa toro		-2
Triopa toro		-4
Filmo de Möbius		0
Botelo de Klein		0
Reela projekcia ebeno (La rando de kvar-duon-sesedro)		1

Vidu ankaŭ

• Listo de uniformaj pluredroj kun iliaj eŭleraj karakterizoj

Eksteraj ligiloj

• 19 pruvoj de eŭlera formulo de David Eppstein